基于TMS320C5402的IIR数字滤波器的设计毕业设计(DOC毕业设计论文).doc

基于TMS320C5402的IIR数字滤波器的设计作者： 班级： 学号： 指导教师： 目录1 引言12 数字滤波器的概述32.1 滤波器的工作原理32.1.1 模拟滤波器的工作原理32.1.2 数字滤波器的工作原理42.2 滤波器的基本特性52.2.1 模拟滤波器和数字滤波器的基本特征52.2.2 无限冲击响应IIR滤波器和有限冲击响应FIR滤波器62.3 滤波器的主要技术指标72.4 模拟滤波器的简介72.4.1 模拟滤波器的基本设计方法82.4.2巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择92.4.3 低通滤波器的系统函数142.4.4 椭圆滤波器及最小阶数的选择152.4.5贝塞尔滤波器163 IIR数字滤波器的设计183.1 IIR数字滤波器的设计方法183.2 IIR滤波器的经典设计183.3 IIR数字滤波器的直接设计254 IIR数字滤波器的MATLAB仿真264.1.模拟低通滤波器及其数字滤波器的仿真264.1.1 模拟低通滤波器的仿真264.1.2 数字低通滤波器的仿真274.2 模拟带通滤波器和数字带通滤波器的设计294.2.1 模拟带通滤波器的设计294.2.2 数字带通滤波器的设计314.3 模拟带阻滤波器和数字带阻滤波器的设计324.3.1 模拟带阻滤波器的设计324.3.2 数字带阻滤波器的设计334.4 复杂数字滤波器的设计354.4.1 通过模拟低通原型设计数字带通滤波器354.4.2 数字带通滤波器的设计374.4.3 直接数字滤波器的设计385 DSP芯片及硬件系统的设计415.1 DSP芯片简介415.1.1 DSP芯片的介绍415.1.2 DSP芯片结构425.1.3 DSP系统的特点455.1.4 TMS320C5402简介455.1.5 TMS320C5402编程465.2 DSP硬件系统的设计465.2.1 电源电路设计465.2.2 时钟电路的设计475.2.3 复位电路设计495.2.4 仿真接口电路505.2.5 IIR数字滤波器的硬件电路506 IIR数字滤波器的DSP实现526.1 CCS的简介526.1.1 CCS的介绍526.1.2 CCS工作模式536.2 IIR数字滤波器的C语言代码546.3 程序仿真图626.3.1 输入端的图像变化626.3.2 输出端图像变化64参考文献661 引言 DSP从字面上来说即为“数字信号处理(DSP，Digital Signal Processing)”，也就是说将现实世界的模拟信号转换成数字信号，再用数学的方法来处理此数字信号，得到相应的结果。经典的数字信号处理有时域的信号滤波(如IIR、FIR)和频域的频谱分析(如FFT)。IIR、FIR和FFT归根结底为AiXi，即乘加运算。“数字信号处理”的关键在于研发一种处理器，对这种处理器从结构上进行优化，使其更适合于乘加运算，从而高速实现IIR、FIR和FFT等数字信号处理。 美国TI公司从20世纪80年代初推出了第一款数字信号处理器TMS32010后，由此引发了一场数字信号处理革命。我们现在所说的DSP实际是指“数字信号处理器”，它是一种特别适合于进行数字信号处理的微处理器。它强调运算处理的实时性，因此除了具备普通微处理器所强调的高速运算和控制功能外，主要针对实时数字信号处理，在处理器结构、指令系统和数据流程上做了大的改动。其特点如下：(1) DSP芯片采用了数据总线和程序总线分离的哈佛结构及改进的哈佛结构，因此比传统处理器的冯诺依曼结构具有更高的指令执行速度。(2) DSP芯片大多采用流水技术，即每条指令都由片内多个功能单元分别完成取指、译码、取数和执行等多个步骤，从而在不提高时钟频率的条件下减少了每条指令的执行时间。(3) 片内有多条总线可以同时进行取指令和多个数据存取操作，并且有辅助寄存器用于寻址，它们可以在寻址访问前或访问后自动修改内容，以指向下一个要访问的地址。(4) DSP芯片大多带有DMA通道控制器和串行通信口等，配合片内总线结构，数据块传送速度会大大提高。(5) 配有中断处理器和定时控制器，可以方便地构成一个小规模系统。(6) 具有软、硬件等待功能，能与各种存取速度的存储器接口。(7) 针对滤波、相关和矩阵运算等需要大量乘法累加运算的特点，DSP芯片大多配有独立的乘法器和加法器，使得在同一时钟周期内可以完成乘、累加两个运算。(8) 低功耗，DSP一般为0.54 W，而采用低功耗技术的DSP芯片只有0.1 W，可用电池供电。正是DSP芯片的这些特点，使其运算速度要比通用微处理器(MPU)高。例如FIR滤波器的实现，每输入一个数据，对应每阶滤波器系数需要一次乘、一次加、一次取指和两次取数，有时还需要专门的数据移位操作。DSP芯片可以单周期完成乘加并行操作，以及34次数据存取操作，而普通MPU至少需要4个指令周期。因此，在相同的指令周期和片内指令缓存条件下，DSP运算程度是普通MPU运算速度的4倍以上。抗混叠滤波输入输出A/DD/ADSP芯片平滑滤波典型的DSP系统如图1.1所示。图中的输入信号可以是语音信号、传真信号，也可以是视频，还可以是传感器(如温度传感器)的输出信号。输入信号处理一般是用DSP芯片和在其上运行的实时处理软件对A/D转换后的数字信号按照一定的算法进行处理，然后将处理后的信号输出给D/A转换器，经D/A转换、内插和平滑滤波后得到连续的模拟信号。图1.1 典型的DSP系统输入信号首先进行带限滤波和抽样，然后进行模数(A/D，Analog to Digital)变换将信号变换成数字比特流。根据奈奎斯特抽样定理，为保持信息的不丢失，抽样频率必须是输入带限信号最高频率的二倍。DSP芯片的输入是A/D变换后得到的以抽样形式表示的数字信号，DSP芯片对输入的数字信号进行某种形式的处理，如进行一系列的乘累加操作(MAC)。数字处理是DSP的关键，这与其他系统(如电话交换系统)有很大的不同，在交换系统中，处理器的作用是进行路由选择，它并不对输入数据进行修改。因此虽然两者都是实时系统，但两者的实时约束条件却有很大的不同。最后，经过处理后的数字样值再经D/A(Digital to Analog)变换转换为模拟样值，之后再进行内插和平滑滤波就可得到连续的模拟波形。设计DSP系统，首先应确定所设计DSP系统的性能指标，选择合适的DSP芯片，不同的DSP应用系统由于应用场合、应用目的不尽相同，对DSP芯片的选择也是不同的。本文所使用的DSP设计IIR数字滤波器是采用的TI公司生产的TMS320C5402芯片进行设计。2 数字滤波器的概述从广义上讲，任何对某些频率(相对于其他频率来说)进行修正的系统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。2.1 滤波器的工作原理2.1.1 模拟滤波器的工作原理我们知道，模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线性时不变系统，如图2.1所示。在时域内，它的动态特性可以用系统的单位冲激函数的响应来描述，也就是该滤波系统在任何时刻对输入单位冲激信号=(t)的输出响应。这个函数从时域上反映了该滤波系统的传输特性。对于任意输入信号，系统的输出可以卷积表示： (2-1)上式表明在对线性滤波器系统进行时域分析时，采用了叠加原理，先将任意输入信号波形分成不同时间的窄脉冲之和，再分别求出各个脉冲通过滤波器之后的响应，并进行线性叠加从而得到总的输出信号。模拟滤波器,H(z)图2.1模拟滤波器原理在频域分析时，线性滤波器的转移函数等于系统的单位冲激函数的响应的拉普拉斯变换： (2-2)很明显，当s=j，上式就是傅立叶变换的表达式，它反映了滤波器的传输特性对各种频率的响应，也就是滤波器的频率响应函数，它决定着滤波特性。当滤波器输入信号与输出信号的拉普拉斯变换，得： (2-3)这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入信号的频谱，经过滤波器的作用后，被变换成的频谱。因此，根据不同的滤波要求来选定，就可以得到不同类型的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的滤波过程就是完成信号与它的单位冲激函数响应之间的数学卷积运算过程。2.1.2 数字滤波器的工作原理在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图2.2所示。设输入序列为，离散或数字滤波器对单位抽样序列的响应为。因在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。数字滤波器,H(z)图2.2 数字滤波器原理数字滤波器的序列将是这两个序列的离散卷积，即： (2-4)同样，两个序列卷积的z变换等于个自z变换的乘积，即： (2-5)用代入上式，其中T为抽样周期，则得到： (2-6)式中和 分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而为单位抽样序列响应的频谱。由此可见，输入序列的频谱经过滤波后，变为 ，按照的特点和我们处理信号的目的，选取适当的使的滤波后的符合我们的要求。2.2 滤波器的基本特性2.2.1 模拟滤波器和数字滤波器的基本特征如利用模拟电路直接对模拟信号进行处理则构成模拟滤波器，它是一个连续时间系统。如果利用离散时间系统对数字信号(时间离散、幅度量化的信号)进行滤波则构成数字滤波器。数字滤波器的差分方程表示为： (2-7)系统函数表示: (2-8)数字滤波器的特性通常用其频率响应函数来描述，包括幅度特性和相位特性。按信号通过系统时的特性(主要是幅频特性)来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。(1) 低通数字滤波器：图2.3所示 (2-9)|H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf图2.3 低通数字滤波器的频谱(2) 高通数字滤波器：图2.4所示 (2-10)|H(ej)|c-c-22图2.4 高通数字滤波器的频谱(3) 带通数字滤波器：图2.5所示 (2-11)|H(ej)|2-2-221-1图2.5 带通数字滤波器的频谱(4) 带阻数字滤波器：图2.6所示 (2-12)1|H(ej)|2-2-22-1 图2.6 带阻数字滤波器的频谱其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。2.2.2 无限冲击响应IIR滤波器和有限冲击响应FIR滤波器按系统冲击响应(或差分方程)可以分成无限冲击响应 IIR和有限冲击响应FIR滤波器两类。这两种滤波器都可以现实各种频率特性要求，但它们在计算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。(1) FIR滤波器(非递归型): (2-13) (2-14)(2) IIR滤波器(递归型) (2-15) (2-16) 还有一些其他的分类方法，例如在特定场合使用的滤波器。2.3 滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益(即通带允许起伏)；最大阻带增益；通带截止频率；阻带截止频率。如图2.7所示dB0dBdB图2.7 滤波器的主要技术指标2.4 模拟滤波器的简介模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth滤波器.切比雪夫(Chebyshev)滤波器等。这些工作的理论分析和设计方法在20世纪30年代就完成，然而烦琐.冗长的数字计算使它难以付诸实用。直到50年代，由于计算机技术的逐步成熟，求出大量设计参数和图表，这种方法才得到广泛应用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有波动发，可以提高选择性。这样根据具体要求可以选择不同类型的滤波器。模拟滤波器按幅度特征可以分成低通、高通、带通和带阻滤波器。它们的理想幅度特性如图2.8所示，但我们设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器带通带阻图2.8 模拟滤波器理想幅度特性低通高通2.4.1 模拟滤波器的基本设计方法利用频率变换设计模拟滤波器的步骤为：(1) 给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率或上、下边界频率等。(2) 确定滤波器阶数(3) 设计模拟低通原型滤波器。(4) 按频率变换设计模拟滤波器(低通、高通、带通、带阻)。模拟低通滤波器的设计指标有，和，其中和分别称为通带截止频率和阻带截止频率。 是通带(=0)中的最大衰减系数，是阻带的最小衰减系数，和一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： (2-17) (2-18)如果=0处幅度已归一化为一，即，和表示为： (2-19) (2-20)以上技术指标用图2.9表示，图中称为3dB 截止频率，因: (2-21)10.7070图2.9 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数，希望其幅度平方函数满足给定的指标和，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此： (2-22)如果能由，求出，那么就可以求出所需的，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。这里要说明的是必须是稳定的。因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的的极点落在右半平面。2.4.2巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择巴特沃斯滤波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅频特性模平方为： (2-23)式中N是滤波器的阶数。当=0时，；当=时，是3dB截止频率。不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性如图2.10所示，这一幅频特性具有下列特点：(1)最大平坦性：可以证明：在=0点，它的前(2N-1)阶导数都等于0，这表明巴特沃斯滤波器在=0附近一段范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。“最平响应”即由此而来。(2)通带，阻带下降的单调性。这种滤波器具有良好的相频特性。(3)3dB的不变性：随着N的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅频特性都通过-3dB点。当时，特性以20NdB/dec速度下降。图2.10 不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性现根据式(2-23)求巴特沃斯滤波器的系统函数Ha(s)。令=s/j，带入式(2-23)，得： (2-24)对应的极点： (2-25) (2-26)其中，即为的极点，此极点分布有下列特点：(1)的2N个极点以/N为间隔均匀分布在半径为的圆周上，这个圆称为巴特沃斯圆。(2)所有极点以j轴为对称轴成对称分布，j轴上没有极点。(3)当N为奇数时，有两个极点分布在的实轴上；N为偶函数时，实轴上没有极点。所有复数极点两两呈共轭对称分布。图2.11画出了N=3时的极点分布。全部零点位于s=处。j图2.11 N=3时Ha(s)Ha(-s)极点分布为得到稳定的，取全部左半平面的极点。 (2-27)当N为偶数时，则： (2-28)当N为奇数时，则： (2-29)为使用方便把式(2-28)和式(2-29)对进行归一化处理，为此，分子分母各除以，并令，称为归一化复频率：(N为偶数) (2-30) (N为奇数) (2-31)用归一化频率表示的频率特性称为原型滤波特性(即归一化复频率s 的虚部)。对式(2-25)所示的低通巴特沃斯特性用表示得到： (2-32)称为巴特沃斯低通原型滤波器幅频特性。在低通原型滤波频率特性上，截止频率=1。若给出模拟低通滤波器的设计性能指标要求：通带边界频率，阻带边界频率，通带波纹，阻带衰减，要确定butterworth ,，低通滤波器最小阶数N及截止频率。，的意义如图所示。当=时， 即，以截至频率(幅值下降3dB)为1，化为相对为相对的相对频率由上式可写为 (2-33)同理，当=时，则： (2-34) (2-35)由此可见 N应向上取整，再用MATLAB 编程计算滤波器最小阶数N和截止频率。就是切比雪夫滤波器的极点，给定N，即可求的2N个极点分布。由式(2.22)实部与虚部的正弦和余弦函数平方约束关系可以看出，此极点分布满足椭圆方程，其短轴和长轴分别为 (2-36)图2.12画出了N=3时切比雪夫滤波器的极点分布。abj图2.12极点所在的椭圆可以和半径为a的圆和半径为b的圆联系起来，这两个圆分别称为巴特沃斯小圆和巴特沃斯大圆。N阶切比雪夫滤波器极点的纵坐标，而横坐标等于N阶巴特沃斯小圆极点的横坐标取左半平面的极点： k=1,2，N (2-37)则切比雪夫滤波器的系统函数： (2-38)其中，常数A=。因而切比雪夫滤波器的系统函数表示为： (2-39)切比雪夫滤波器的截止角频率不是像巴特沃斯滤波器中所规定的(-3dB)处角频率，而是通带边缘的频率。若波纹参数满足，可以求的-3dB处的角频率为 (2-40)将式(2.27)表示的对归一化，得到切比雪夫I型2.4.3 低通滤波器的系统函数 低通滤波器的系统函数： (2-41)对不同的N，式(2-41)的分母多项式已制成表格，供设计参考。和butterworth低通模拟滤波器设计一样，若给定性能指标要求：，确定Chebyshev低通模拟滤波器最小阶数N和截止频率(-3dB频率)。(1) Chbbyshev I型由式 (2-42)可得 故阶数N可由下式求得 (2-43)式中，截至频率由上面两式用Matlab 编程计算滤波器最小阶数N和截止频率 (2) Chbbyshev II型Chbbyshev II型通带内是平滑的，而阻带具有等波纹起伏特性。因此，在阶数N的计算公式上是相同的，而-3dB截止频率则不同。2.4.4 椭圆滤波器及最小阶数的选择椭圆的模拟低通滤波器圆形的平方幅值响应函数为： (2-44)式中，为小于1的正书，表示波纹情况；为截止频率；)为椭圆函数，定义为当N为偶数(N=2m)时： (2-45)当N为奇数(N=2m+1)时： (2-46)其中。椭圆模拟滤波器特点是：在通带和阻带内均具有等波纹起伏特性。何以上滤波器相比，相同的性能指标所需要的阶数最小。但频率响应应具有明显的非线性。由式 (2-47)滤波器的阶数可由下式确定： (2-48)式中： (2-49)由上式计算滤波器的最小阶数N和截止频率。2.4.5贝塞尔滤波器贝塞尔模拟低通滤波器原型的特点是在零频时具有最平坦的群延迟，并在整个通带内延迟几乎不变。在零频时的群延迟为。由于这一特点，贝塞尔模拟滤波器通带内保持信号形状不变。滤波器传递汉书具有下面形式： (2-50)贝塞尔(Bessel)滤波器具有最平坦的幅度和相位相应。带通(通常为用户关注区域)的相位响应近乎呈线性。Bessel滤波器可用于减少所有IIR滤波器固有的非线性相位失真。 贝塞尔(Bessel)线性相位滤波器正是由于具有向其截止频率以下的所有频率提供等量延时的特性，才被用于音频设备中，在音频设备中，必须在不损害频带内多信号的相位关系前提下，消除带外噪声。另外，贝塞尔滤波器的阶跃响应很快，并且没有过冲或振铃，这使它在作为音频DAC输出端的平滑滤波器，或音频ADC输入端的抗混叠滤波器方面，是一种出色的选择。贝塞尔滤波器还可用于分析D类放大器的输出，以及消除其它应用中的开关噪声，来提高失真测量和示波器波形测量的精确度。 虽然贝塞尔滤波器在它的通频带内提供平坦的幅度和线性相位(即一致的群延时)响应，但它的选择性比同阶(或极数)的巴特沃斯(Butterworth)滤波器或切比雪夫(Chebyshev)滤波器要差。因此，为了达到特定的阻带衰减水平，需要设计更高阶的贝塞尔滤波器，从而它又需要仔细选择放大器和元件来达到最低的噪声和失真度。3 IIR数字滤波器的设计3.1 IIR数字滤波器的设计方法IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式： (3-1)由于它的脉冲响应序列是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。IIR滤波器设计方法可分为三种：模拟滤波器变换(经典设计法)、直接设计法、参数模型设计法、最大平滑滤波器设计。3.2 IIR滤波器的经典设计基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。这就是IIR滤波器设计的经典法。经典法可设计出低通、高通、带通、带阻等各种IIR滤波器。在MATLAB中，经典法设计IIR数字滤波器采用下面的主要步骤：模拟低通滤波原型频率变换模拟离散化IIR滤波器由上可见，经典设计法是利用模拟滤波器的设计成果。第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器(低通、高通、带通和带阻)已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数映射成数字滤波器的系统函数。数字滤波器的设计工作就全部完成。实现系统传递函数s域至z域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。(1) 脉冲响应不变法利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计IIR数字低通滤波器是经常用的方法。设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。这样设计的关键问题就是找这种转换关系，将s平面上的转换成z平面上的H(z)。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。我们知道，模拟滤波器因果稳定要求其传输函数的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果则要求H(z)的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射z平面的单位圆内部。 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率至间成线性关系。 将传输函数从s平面传换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。设模拟滤波器的传输函数为，相应的单位冲激响应是，则：=LT (3-2)其中，LT.代表拉氏变换，对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到，将h(n)= 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于。设模拟滤波器只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将用部分分式表示： (3-3)式中为的单阶极点。将逆拉氏变换得到： (3-4)式中u(t)是单位阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为T,得到： (3-5) 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： (3-6)对比3.2、3.5式，的极点映射到z平面，其极点变成，系数不变化。下面我们分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里我们以采样信号作为桥梁，推导其映射关系。设的采样信号用表示， (3-7)对进行拉氏变换，得到： (3-8)式中是在采样点t=n T时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到： (3-9)上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： (3-10)我们知道模拟信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换之间的关系满足式： (3-11)将代入上式，得 (3-12)由(3-10)、(3-12)式得到： (3-13)上式表明将模拟信号的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期延迟后，再按照(3-10)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(3-10)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设 (3-13)按照(3-10)式，得到： (3-14)因此得到： (3-15)则： 上式关系式说明，s平面的虚轴()映射z平面的单位圆()，s平面左平面()映射z平面单位内()，s平面右半平面映射平面单位圆外()。这说明如果因果稳定，转换后得到()仍是因果稳定的。另外，注意到z=是一个周期函数，可写成 (3-16)M为任意整数当不变，模拟频率变化2/T的整数倍时，映射值不变。或者说，将s平面沿着j轴分割成一条条宽为2/T的水平带，每条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。此时所在的s平面与所在的z平面的映射关系如图所示。当模拟频率从变化到时，数字频率则从变化到，且按照(3-15)式，即与之间成线性关系。但是，从模拟信号到采样信号，其拉氏变换要按照(3-13)式。其为周期，沿虚轴方向进行周期化。如果原模拟信号得频带不是限于之间，则会在得奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到平面上，在附近产生频率混叠。脉冲相应不变法的频率混叠现象如图所示。这种会使设计出的滤波器在附近的频率特性，程度不同地偏离模拟滤波在附近的频率特性，严重时使滤波器不满足给定的技术指标。因此，希望设计的滤波器使带通滤波器，如果不是带通的，例如高通滤波器，带阻滤波器，需要在高通带阻滤波器之前加保护滤波器，滤除高于折叠频率以上的频带，以避免产生频率混叠现象。但这样会增加系统的成本和复杂性，因此，高通与带阻滤波器不适合用这种方法设计。假设没有频率混叠现象，即满足： (3-17)将关系式代入，得到： (3-18)说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响。上式中，的幅度特性与采样间隔成反比，这样当T较小时，就会有太高的增益。为避免这一现象，令： (3-19)那么： (3-20)此时： (3-21)一般的极点是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在式中讲一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节点。如果模拟滤波器的二阶基本节点的形式为： (3-22)极点为，可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节点(只有实数乘法)的形式为: (3-23)如果模拟滤波器二阶基本节点的形式为: (3-24)极点为，则对应的数字滤波器二阶基本节的具体形式为: (3-25)利用以上这些变换关系，可以简化设计。(2) 双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，再用转换到z平面上。设Ha(s)，s=j，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)，=j1表示，这里用正切变换实现频率压缩： (3-26)式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有: (3-27)再通过 转换到z平面上，得到： (3-28) (3-29)式(3-28)或式(3-29)称为双线性变换。从s平面映射到平面，再从平面映射到z平面，其映射情况如图3.1所示。由于从s平面到平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。另外，从平面转换到z平面仍然采用标准转换关系 ，平面的 /T之间水平带的左半部分映射z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样，Ha(s)因果稳定，转换成的H(z)也是因果稳定的。下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。令 ，并代入(3.15)式中，有： (3.17)ImRez平面js平面j11s1平面/T-/T图3.1 双线性变换法的映射关系 上式说明，s平面上与平面上的成非线性正切关系，如图3.2所示。在=0附近接近线性关系；当增加是，增加得愈来愈快；当趋近时，趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。-0图3.2 双线性变换法的频率变换与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅度特性和相位特性失真的情况如图3.3所示。这种非线性影响的实质问题是：如果的刻度是均匀的，则影射到z平面的刻度不是均匀的，而是随增加愈来愈密。000000图3.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射双线性变换法可由简单的代数公式(3.15)将Ha(s)直接转换成H(z)，这是该变换法的优点。但当阶数稍高时，将H(z)整理成需要的形式，也不是一件简单的工作。3.3 IIR数字滤波器的直接设计IIR数字滤波器的经典设计法只限于几种标准的低通、高通、带通、带阻滤波器，而对于具有形状或多频带滤波器的设计是无能为力的。如果所设计IIR滤波器幅频特性比较复杂，可采用最小二乘法拟合给定的幅频响应，使设计的滤波器幅频特性逼近期望的频率特性，这种方法称为IIR滤波器的直接设计法。MATLAB信号处理工具箱函数YULEWALK采用直接设计IIR数字滤波器。函数YULEWALK采取下面步骤计算分子多项式：(1) 计算与分子多项式相应的幅值平方响应的辅助式；(2) 由辅助分子式和分母多项式计算完全的频率响应；(3) 计算滤波器的脉冲响应；(4) 采用最小二乘法拟合脉冲响应最终求得滤波器的分子多项式系数。函数YULEWALK允许我们自由定义滤波器的频率向量f和幅值向量m，因此该函数可设计具有任意形状的幅频响应的滤波器，包括多频带滤器。4 IIR数字滤波器的MATLAB仿真4.1.模拟低通滤波器及其数字滤波器的仿真4.1.1 模拟低通滤波器的仿真第三章所讨论的设计思想，在DSP对模拟滤波器进行仿真的过程中依然适用，其具体步骤总结如下：(1) 确定模拟滤波器的性能指标，如截止频率(对于低通和高通)或上、下边界频率,；波纹特性；带阻衰减等。(2) 确定滤波器阶数。(3) 计模拟低通滤波原型滤波器。MATLAB信号处理工具箱的滤波器原型函数buttap,cheb1ap。(4)按频率变换设计模拟滤波器(低通、高通、带通、带阻)。DSP信号处理工具箱的频率变换函数lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照这种设计思想的编程较为麻烦。MATLAB信号处理工具箱还提供模拟滤波器的完全设计函数：butter,cheby1等。用户只需调用一次设计函数就可自动完成全部设计过程，编程十分简单。下面将以模拟低通Butterworth滤波器的设计为例，解释这种设计方法。设计指标：通带截止频率=200，阻带截止频率=300，通带衰减=1dB，阻带衰减=16dB。仿真结果见图4.1ws=300*pi;wp=200*pi;Rp=1;Rs=16;N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s) Fc=Wn/(2*pi) b,a=butter(N,Wn,s); w=linspace(1,3000,1000)*2*pi; H=freqs(b,a,w); magH=abs(H); phaH=unwrap(angle(H); plot(w/(2*pi),20*log10(magH); xlabel(Frequency(Hz); ylabel(Magnidute(dB); grid on图 4.1 模拟低通滤波器的设计4.1.2 数字低通滤波器的仿真IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：(1) 根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。(2) 估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、cheb1ord等。(3) 设计模拟低通滤波器原型，利用MATLAB工具函数buttap、cheb1ap等。(4) 由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器(低通、高通、带通、带阻)，利用MATLAB工具函数lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。(5) 将模拟滤波器离散化获得IIR数字滤波器，利用MATLAB工具函数bilinear。设计IIR滤波器时，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两种。数字性能指标给出通带截止频率，阻带截止频率，通带衰减，阻带衰减等。数字频率和的取值范围为0，单位：弧度，而MATLAB工具函数常采用标准化频率，和的取值范围为01。模拟性能指标给出通带截止频率，阻带起始频率，通带衰减，阻带衰减等。模拟频率和的单位均为弧度/秒。下面是一个利用双线性变换设计一个Butterworth低通滤波器的示例：技术指标：通带截止频率=2，阻带截止频率，通带衰减小于3dB，阻带衰减大于15dB,采样频率。仿真结果见图4.2Wp= 2000*2*pi; Ws=3000*2*pi; Rp=3; Rs=15; Fs=10000; Ts=1/Fs; Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn); bz,az=bilinear(b,a,Fs) freqz(bz,az,Nn,Fs) 图4.2 IIR数字滤波器的仿真另外一种情况，使用汉明窗来设计滤波器，MATLAB的源代码如下：c=95; %定义滤波器阶数96阶fc1=70;fc2=84;fs=1000;w1=2*pi*fc1/fs;w2=2*pi*fc2/fs; %参数转换，将模拟滤波器的技术指标转换为数字滤波器的技术指标window=hamming(c+1); %使用hamming窗函数h=fir1(c,w1/pi w2/pi,window); %使用标准响应的加窗设计函数fir1freqz(h,1,512); %数字滤波器频率响应所生成的图像如下图4.3所示。图4.3 汉明窗滤波后的图形4.2 模拟带通滤波器和数字带通滤波器的设计4.2.1 模拟带通滤波器的设计函数BUTTER用于Butterworth滤波器设计，调用格式： b,a=butter(n,s) b,a=butter(n, ,ftype,s) 其中，n为滤波器阶数；为滤波器截止频率，s为模拟滤波器，确省时为数字滤波器。 ftype滤波器类型： high为高通滤波器，截止频率； stop为带阻滤波器，=()； ftype缺省时为低通或带通滤波器。以下设计一个Butterworth模拟带通滤波器，设计指标为：逼近频率10002000Hz,两侧过渡带宽500Hz，通带衰减1dB，阻带衰减大于100dB。结果见图4.4。Wp=1000 2000*2*pi; Ws=500 2500*2*pi; Rp=1; Rs=100; N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); w=linspace(1,3000,1000)*2*pi; H=freqs(b,a,w); magH=abs(H); phaH=unwrap(angle(H); plot(w/(2*pi),20*log10(magH); xlabel(Frequency(Hz); ylabel(Magnidute(dB); grid on图4.4 模拟带通滤波器的仿真4.2.2 数字带通滤波器的设计设计一个带通chebyshev I 型数字滤波器，通带为100Hz200Hz，过渡带宽均为50Hz，通带衰减小于1dB，阻带衰减30Hz，采样频率1000Hz。仿真结果见图4.5Fs=1000; ws=100 200*2/Fs; wp=50 250*2/Fs; Rp=1; Rs=30; Nn=128; N,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=cheby1(N,Rp,Wn); freqz(b,a,Nn,Fs); 图4.5 数字带通滤波器的设计4.3 模拟带阻滤波器和数字带阻滤波器的设计4.3.1 模拟带阻滤波器的设计这里设计一个chebyshev I 型模拟带阻滤波器，设计指标为：阻带频率1000Hz2000Hz，两侧过渡带宽500Hz，通带衰减1dB，阻带衰减大于50dB。仿真结果见图4.6。ws=1000 2000*2*pi; wp=500 2500*2*pi; Rp=1; Rs=50