2012年中考数学综合题分类

2012年中考数学综合题分类25题型一动点1如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由考点：相似三角形的判定；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质专题：动点型分析：（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S，求出S和t的关系式（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解解答：解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2-（1分）由S=S梯形GCBE-SEBF-SFCG-（2分）= 12 (EB+CG)BC-12EBBF- 12FCCG= 12（10+2）8- 12104- 1242=24（cm2）-（3分）（2）如图1，当0t2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，FC=8-4t，CG=2tS=S梯形GCBE-SEBF-SFCG= 12（EB+CG）BC- 12EBBF- 12FCCG= 128（12-2t+2t） -124t(12-2t)- 122t（8-4t）=8t2-32t+48-（4分）如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4-（5分）当2t4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t-8，CG=2tFG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2tS= 12FGBC= 12（8-2t）8=-8t+32即S=-8t+32-（6分）（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0t2在EBF和FCG中，B=C=901若 EBFC= BFCG，即 12-2t8-4t= 4t2t，解得t= 23又t= 23满足0t2，所以当t= 23时，EBFFCG-（7分）2若 EBGC= BFCF即 12-2t2t= 4t8-4t，解得t= 32又t= 32满足0t2，所以当t= 32时，EBFGCF-（8分）综上所述，当t= 23或t= 32时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形点评：本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点2（2010丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题：动点型；探究型分析：（1）可通过全等三角形来证明EN与MF相等，如果连接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位线，可得出三角形ADE，BDF，DFE，FEC都是等边三角形，那么DEF=DFM=60，DE=DF，而MDF和NDE都是60加上一个NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）由此可得出EN=MF，DNE=DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM三角形DFN，因此DFN=DBM=120，因此DFN是三角形DFE的外角因此N，F，E在同一直线上（2）（3）证法同（1）都要证明三角形MDF和EDN全等，证明过程中都要作出三角形的三条中位线，然后根据三条中位线分成的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件，因此结论仍然成立解答：解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立延长EN，则EN过点F3（2011年石家庄裕华中学模拟题）如图1，直角梯形ABCD中，A=B=90，AD=AB=6cm，BC=8cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/s的速度向中点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止设运动时间为ts（1）当t为何值时，AEF和ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，AFE的面积最大？最大值是多少？考点：直角梯形；二次函数的最值；相似三角形的判定与性质题型：动点分析：（1）E、F在移动的过程中，AEF和ACD相似有两种情况，AEFACD和AEFADC，根据相似三角形的性质就可以求出t的值（2）E、F移动t秒后ABFE是直角梯形，则FEAD，延长EF交BC于点G，同样利用三角形相似把FG表示出来，从而求出EF，根据勾股定理建立等量关系求出t值，就可以求出梯形的面积（3）过点F作MNAD于M，交BC于点N，可以证明CFNCAB，表示出FN，从而表示出FM，利用三角形的面积公式及uky表示出三角形的面积S与t的函数关系式，从而求其解解答：解：（1）当运动t秒时，AEFADC时，AEAD=AFAC，AE=t，CF=2t，AF=AC-2tA=B=90，AD=AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理，得AC=10cm，AF=10-2tt6=10-2t10，解得t=3011当运动t秒时，AEFACD时，AEAC=AFADt10=10-2t6解得：t=5013（2）设t秒后四边形AEFB是直角梯形，延长EF交BC于点G，EGAD，EGBCB=90，ABBC，EGAB，且ADBCCGFCBA，四边形AEGB为矩形FGAB=CFAC，EG=AB=6FG6=2t10，FG=65tEF=6-65t，在RtAEF中，由勾股定理，得t2+（6-65t）2=（10-2t）2，解得t1=4013，t2=403（不符合题意应舍去）EF=3013，AE=4013S四边形ABFE=(3013+6)40132=2160169cm2（3）过点F作MNAD于M，交BC于点NDEG=90ADBC，BGE=DEG=90B=90，EGAB，CFNCAB，FN6=2t10FN=65t，MF=6-65t，SAFE=t(6-65t)2=-35（t-52）2+154当t=52时，SAFE最大，最大值是154点评：本题是一道有关直角梯形的结合解答题，考查了二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用4（2010河北）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=6，BC=8， AB=33，点M是BC的中点点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止设点P，Q运动的时间是t秒（t0）（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由考点：直角梯形专题：动点型分析：（1）根据路程公式直接写出PQ的长度y；（2）当BP=1时，有两种情况：点P从点M向点B运动，通过计算可知，MP=MQ=3，即PQ=6，连接EM，根据等边三角形的性质可求EM=3 3，此时EM=AB，重叠部分为PEQ的面积；点P从点B向点M运动，此时t=5，MP=3，MQ=5，PEQ的边长为8，过点P作PHAD于点H，在RtPHF中，已知PH，HPF=30，可求FH、PF、FE，证明等边EFG中，点G与点D重合，此时重叠部分面积为梯形FPCG的面积；根据梯形面积公式求解；（3）由图可知，当t=4时，P、B重合，Q、C重合，线段AD被覆盖长度达到最大值，由（2）可知，当t=5时，线段EQ经过D点，长度也是最大值，故t的范围在4与5之间解答：解：（1）y=MP+MQ=2t；（2）当BP=1时，有两种情形：如图1，若点P从点M向点B运动，有MB= 12BC=4，MP=MQ=3，PQ=6连接EM，EPQ是等边三角形，EMPQ EM=33AB= 33，点E在AD上EPQ与梯形ABCD重叠部分就是EPQ，其面积为 93若点P从点B向点M运动，由题意得t=5PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PHAD于点H，则HP= 33，AH=1在RtHPF中，HPF=30，HF=3，PF=6FG=FE=2又FD=2，点G与点D重合，如图2此时EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 2723（3）能，此时，4t5过程如下：如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，此时被覆盖线段的长度达到最大值，PEQ为等边三角形，EPC=60，APE=30，而 AB=33，AF=3，BF=6，EF=FG=2，GD=6-2-3=1，所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，4t5点评：本题考查了动点与图形面积问题，需要通过题目的条件，分类讨论，利用特殊三角形，梯形的面积公式进行计算5（2010荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OABC，D是BC上一点，BD=14OA=2，AB=3，OAB=45，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持DEF=45（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；（3）当AEF是等腰三角形时，将AEF沿EF折叠，得到AEF，求AEF与五边形OEFBC重叠部分的面积考点：等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角梯形；相似三角形的判定与性质专题：综合题；压轴题；分类讨论分析：（1）过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=42，在RtABM中，已知了OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，由此可求得D点的坐标；（2）连接OD，证ODEAEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；（3）若AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：AF=EF，此时AEF是等腰Rt，A在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与AEF的面积差求得；AE=EF，此时AEF是等腰Rt，且E是直角顶点，此时重合部分即为AEF，由于DEF=EFA=45，得DEAB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；AF=AE，此时四边形AEAF是菱形，重合部分是AEF；由（2）知：ODEAEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出AEF中AE边上的高，进而可求得AEF（即AEF）的面积解答：解：（1）过B作BMx轴于M；RtABM中，AB=3，BAM=45；则AM=BM=322；BC=OA-AM=42-322=522，CD=BC-BD=322；D点的坐标是(322，322)；（2分）（2）连接OD；如图（1），由（1）知：D在COA的平分线上，则DOE=COD=45；又在梯形DOAB中，BAO=45，OD=AB=3由三角形外角定理得：1=DEA-45，又2=DEA-451=2，ODEAEF（4分）OEAF=ODAE，即：xy=342-xy与x的解析式为：y=-13x2+423x（6分）（3）当AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；当EF=AF时，如图（2），FAE=FEA=DEF=45；AEF为等腰直角三角形，D在AE上（AEOA），B在AF上（AFEF）AEF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；AE=OA-OE=OA-CD=42-322=522AF=AEsin45=52222=52SAEF=12EFAF=12(52)2=258S梯形AEDB=12(BD+AE)DE=12(2+522)322=214S四边形BDEF=S梯形AEDB-SAEF=214-258=178；（也可用S阴影=SAEF-SABD）（8分）当EF=AE时，如图（3），此时AEF与五边形OEFBC重叠部分面积为AEF面积DEF=EFA=45，DEAB，又DBEA四边形DEAB是平行四边形AE=DB=2SAEF=SAEF=12AEEFSA/EF=12(2)2=1（10分）当AF=AE时，如图（4），四边形AEAF为菱形且AEF在五边形OEFBC内此时AEF与五边形OEFBC重叠部分面积为AEF面积由（2）知ODEAEF，则OD=OE=3AE=AF=OA-OE=42-3过F作FHAE于H，则FH=AFsin45=(42-3)22=4-322SAEF=SAEF=12AEFH=12(42-3)(4-322)=412-484综上所述，AEF与五边形OEFBC重叠部分的面积为178或1或412-484（12分）点评：此题主要考查了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质；同时还考查了分类讨论的数学思想二 动点加动线6（2009河北）如图，在RtABC中，C=90，AC=3，AB=5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t=2时，AP= 11，点Q到AC的距离是 85；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值考点：相似知识，二次函数综合应用题型：动点加动线分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离；（2）作QFAC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式；（3）当DEQB时，得四边形QBED是直角梯形，由APQABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQBC，四边形QBED是直角梯形，AQPABC，由线段的对应比例关系求t；（4）第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QGBC于点G，由PC2=QC2解得t；第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t解答：解：（1）做QFAC，AC=3，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当t=2时，AP=3-2=1；QFAC，BCAC，QFBC，ACBAFQ， AQAB=QFBC， 25=QF4，解得：QF= 85；故答案为：1， 85；（2）作QFAC于点F，如图1，AQ=CP=t，AP=3-t由AQFABC，BC= 52-32=4，得 QF4=t5 QF=45tS= 12（3-t） 45t，即S= -25t2+65t；（3）能当由APQABC，DEQB时，如图2DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形，此时AQP=90由APQABC，得 AQAC=APAB，即 t3=3-t5解得 t=98；如图3，当PQBC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形此时APQ=90由AQPABC，得 AQAB=APAC，即 t5=3-t3解得 t=158；（4）t= 52或t= 4514注：点P由C向A运动，DE经过点C连接QC，作QGBC于点G，如图4PC=t，QC2=QG2+CG2= 35（5-t）2+4- 45（5-t）2由PC2=QC2，得t2= 35（5-t）2+4- 45（5-t）2，解得t= 52；点P由A向C运动，DE经过点C，如图5PC=6-t，可知由PC2=QC2可知，QC2=QG2+CG2=（6-t）2= 35（5-t）2+4- 45（5-t）2，即t= 4514点评：本题考查了相似三角形的判定定理，线段比的有关知识，利用二次函数的相关知识以及实际应用相结合，同时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大7（2010咸宁）如图，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当t=0.5时，求线段QM的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究CQRQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形；平行线分线段成比例专题：综合题；压轴题；存在型；分类讨论分析：（1）过点C作CFAB于F，则四边形AFCD为矩形，易知CF=4，AF=2，利用平行线分线段成比例定理的推论可知RtAQMRtACF，那么可得比例线段，从而求出QM；（2）由于DCA为锐角，故有两种情况：当CPQ=90时，点P与点E重合，可得DE+CP=CD，从而可求t；当PQC=90时，如备用图1，容易证出RtPEQRtQMA，再利用比例线段，结合EQ=EM-QM=4-2t，可求t；（3）CQRQ为定值当t2时，如备用图2，先证明四边形AMQP为矩形，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得CRQCAB，再利用比例线段可求CQRQ解答：解：（1）过点C作CFAB于F，则四边形AFCD为矩形CF=4，AF=2，此时，RtAQMRtACF，（2分）QMAM=CFAF，即QM0.5=42，QM=1；（3分）（2）DCA为锐角，故有两种情况：当CPQ=90时，点P与点E重合，此时DE+CP=CD，即t+t=2，t=1，（5分）当PQC=90时，如备用图1，此时RtPEQRtQMA，EQPE=MAQM，由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，4-2t2t-2=12，t=53；综上所述，t=1或53；（8分）（说明：未综述，不扣分）（3）CQRQ为定值当t2时，如备用图2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，由（1）得，BF=AB-AF=4，CF=BF，CBF=45，QM=MB=6-t，QM=PA，四边形AMQP为矩形，PQAB，CRQCAB，CQRQ=BCAB=CF2+BF2AB=426=223点评：本题利用了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，还要掌握多种情况下的讨论解题法8（2011山西）如图，在平面直角坐标系中四边形OABC是平行四边形直线l经过O、C两点点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t0）MPQ的面积为S（1）点C的坐标为 （3，4）（3，4），直线l的解析式为 y=43xy=43x（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题；数形结合；分类讨论分析：（1）由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标，将C点坐标代入正比例函数即可求得直线l的解析式；（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t，根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论，得到三种S关于t的函数，解题时注意t的取值范围；（3）分别根据三种函数解析式求出当t为何值时，S最大，然后比较三个最大值，可知当t=83时，S有最大值，最大值为1289；（4）根据题意并细心观察图象可知；当t=6013时，QMN为等腰三角形解答：解：（1）由题意知：点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11.4），且OA=BC，故C点坐标为C（3，4），设直线l的解析式为y=kx，将C点坐标代入y=kx，解得k=43，直线l的解析式为y=43x；故答案为：（3，4），y=43x；（2）解：根据题意，得OP=t，AQ=2t分三种情况讨论：当0t52时，如图l，M点的坐标是（t，43t）过点C作CDx轴于D，过点Q作QEx轴于E，可得AEQODC，AQOC=AEOD=QECD，2t5=AE3=QE4，AE=6t5，EQ=85t，Q点的坐标是（8+65t，85t），PE=8+65t-t=8+15t，S=12MPPE=1243t(8+15t)=215t2+163t，当52t3时，如图2，过点Q作QFx轴于F，BQ=2t-5，OF=11-（2t-5）=16-2t，Q点的坐标是（16-2t，4），PF=16-2t-t=16-3t，S=12MPPF=1243t(16-3t)=-2t2+323t，当点Q与点M相遇时，16-2t=t，解得t=163当3t163时，如图3，MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4S=12MPPF=124（16-3t）=-6t+32，中三个自变量t的取值范围（8分）评分说明：、中每求对l个解析式得（2分），中求对解析式得l分中三个自变量t的取值范围全对才可得（1分）（3）解：当0t52时，S=215t2+163t=215(t+20)2-1603，a=2150，抛物线开口向上，对称轴为直线t=-20，当0t52时，S随t的增大而增大当t=52时，S有最大值，最大值为856当52t3时，S=-2t2+323t=-2(t-83)2+1289a=-20，抛物线开口向下当t=83时，S有最大值，最大值为1289当3t163时，S=-6t+32，k=-60S随t的增大而减小又当t=3时，S=14当t=163时，S=00S14综上所述，当t=83时，S有最大值，最大值为1289评分说明：各（1分），结论（1分）；若中S与t的值仅有一个计算错误，导致最终结论中相应的S或t有误，则与结论不连续扣分，只扣（1分）；中考生只要答出S随t的增大而减小即可得分（4）当t=6013时，QMN为等腰三角形点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线最大值的求法和动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用三 动点与二次函数（含抛物线上动点）9、如图，在梯形AOBC中，ACOB，AOOB，OA=4，OB=10，tanOBC是方程x2+ x-1=0的一个根，以O为坐标原点，OB、OA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求C点坐标；（2）求经过O、C、B三点的抛物线解析式；（3）M是（2）中抛物线上一动点，过M作x轴的平行线交（2）中的抛物线于另一点N（M在N左侧）问：是否存在点M使得以MN为直径的圆正好与x轴相切？若不存在，请说明理由；若存在，求此圆的半径考点：二次函数综合题题型：动点与二次函数分析：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D，则CD=OA=4，解方程求tanOBC，在RtBCD中，解直角三角形求BD，OD=OB-BD，可求C点坐标；（2）根据O、C、B三点的坐标，设交点式求抛物线解析式；（3）存在，只要满足MN的长的一半等于M点纵坐标的绝对值即可解答：解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D，ACOB，AOOB，CD=OA=4，解方程x2+ x-1=0得，x1= ，x2=-2（舍去），tanOBC= ，在RtBCD中，BD= =8，OD=OB-BD=10-8=2，C（2，4）；（2）O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y=ax（x-10），将C（2，4）代入，得a2（2-10）=4，解得a=- ，y=- x（x-10）=- x2+ x；（3）存在设M点纵坐标为h，M、N的横坐标为x1、x2，则- x2+ x=h，即x2-10x+4h=0，MN=x2-x1= = = ，当h0时， =2h，解得h=-2+ （舍去负值），当h0时， =-2h，解得h=-2- （舍去正值），圆的半径为=-2+ 或2+ 点评：本题考查了二次函数的综合运用关键是通过作辅助线，解直角三角形求C点坐标，确定抛物线解析式，再根据直线与圆相切的性质解题10 13（2010随州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线 y=54作垂线，垂足为M，连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点 F(1，34)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由考点：二次函数综合题；等边三角形的判定专题：压轴题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c的值（2）过P作直线x=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长（3）存在，RtPNH中，利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得- =1， =1，c=0，a=-1，b=2，c=0（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x，故设P点的坐标为（m，-m2+2m），则M点的坐标（m， ），PFM是以PM为底边的等腰三角形PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m- ）2=（m-1）2+（ - ）2-m2+2m- = 或-m2+2m- =- ，当-m2+2m- = 时，即-4m2+8m-5=0=64-80=-160此式无解当-m2+2m- =- 时，即-m2+2m=0m=1+ 或m=1- 、当m=1+ 时，P点的坐标为（1+ ， ），M点的坐标为（1+ ， ）、当m=1- 时，P点的坐标为（1- ， ），M点的坐标为（1- ， ）MPF为正三角形，P点坐标为：（1+ ， ）或（1- ， ）（3）当t= 时，即N与F重合时PM=PN恒成立证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，在RtPNH中，PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，PM2=（ -y）2=y2- y+ ，P是抛物线点，y=-x2+2x；PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2- y+ ，- y+2ty+ -t2=0，y（2t- ）+（ -t2）=0对任意y恒成立2t- =0且 -t2=0，t= ，故t= 时，PM=PN恒成立存在这样的点点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高11（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=- m-14x2+ 5m4x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线 上 （1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E延长PE到点D使得ED=PE以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值考点：二次函数综合题题型：动点与二次函数分析：（1）由抛物线y=- m-14x2+ 5m4x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O，令x=0，y=0，解得m的值，点B（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得n（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标，设P点的坐标为（a，0），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t解答：解：（1）抛物线y=- m-14x2+ 5m4x+m2-3m+2经过原点，m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m1，m=2，抛物线的解析式为y=- 14x2+ 52x，点B（2，n）在抛物线y=- 14x2+ 52x上，n=4，B点的坐标为（2，4）（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1，可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在抛物线上，得：2a=- 14（3a）2+ 523a，即 94a2- 112a=0，解得a1= 229，a2=0（舍去），OP= 229依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=- 12x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上如图2所示可证DPQ为等腰直角三角形此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位PQ=DP=4t，t+4t+2t=10，t= 107第二种情况：PC与MN在同一条直线上如图3所示可证PQM为等腰直角三角形此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位OQ=10-2t，F点在直线AB上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位t+2t=10，t= 103综上，符合题意的t值分别为 107，2， 103点评：本题是二次函数的综合题，要会求抛物线的解析式，讨论分类情况，此题比较繁琐，做题多加用心12（2011芜湖）平面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到ABOC（1）若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）ABOC和ABOC重叠部分OCD的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标考点：二次函数综合题专题：动点与二次函数 函数思想分析：（1）根据旋转的性质求出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）先证明C1ODBOA，由相似三角形的性质即可得出重叠部分OCD的周长；（3）根据重垂线水平宽度的一半=AMA的面积，配方即可得到AMA的最大面积和M的坐标解答：解：（1）ABOC绕点O顺时针旋转90，得到ABOC，点A的坐标为（0，3），点A的坐标为（3，0）抛物线过点A、C、A设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a0），可得a-b+c=0c=39a+3b+c=0，解得a=-1b=2c=3故此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3（2）OAB=90，AB=OC=1，AO=3OB=10可证C1ODBOAC1OD的周长与BOA的周长比=OC1：OB=1：10BOA的周长=4+10C1OD的周长=210+55（3）连接AA设AA的函数表达式为y=kx+b，可得0+b=33k+b=0解得k=-1b=3，AA的函数解析式是y=-x+3设M（x，-x2+2x+3）SAMA=123-x2+2x+3-（-x+3）=-32x2+92x=-32（x-32）2+278，x=32时AMA的面积最大SAMA=278，M（32，154）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识点，二次函数的最值问题，综合性强，有一定的难度13（2011湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路径长（不必写解答过程）考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题；分类讨论分析：（1）证明RtPMCRtDMB，即可证明DB=2-m，AD=4-m，从而求解；（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解；（3）运动时，路线长不变，可以取当P在O点是，求解即可解答：解：（1）由题意得CM=BM，PMC=DMB，RtPMCRtDMB，（2分）DB=PC，DB=2-m，AD=4-m，（1分）点D的坐标为（2，4-m）（1分）（2）分三种情况若AP=AD，则4+m2=（4-m）2，解得m=32（2分）若PD=PA过P作PFAB于点F（如图），则AF=FD=12AD=12（4-m）又OP=AF，m=12(4-m)m=43（2分）若PD=DA，PMCDMB，PM=12PD=12AD=12（4-m），PC2+CM2=PM2，(2-m)2+1=14(4-m)2，解得m1=23，m2=2（舍去）（2分）综上所述，当APD是等腰三角形时，m的值为32或43或23（3）点H所经过的路径长为54（2分）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果14（2011天水）在梯形OABC中，CBOA，AOC=60，OAB=90，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边DEF，DE在x轴上（如图（1），如果让DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止（1）设DEF运动时间为t，DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式（2）探究：在DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）根据F与B重合前后及E与A重合前后，分三种情况求S关于t的函数关系式；（2）依题意得D（4-t，0），求出直线OC解析式，根据DFOC确定直线DF解析式，再由OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标，代入直线DF解析式求t，判断是否符号t的取值范围即可解答：解：（1）依题意得OA=5，当0t1时，s=32t2，当1t2时，s=3-32（2-t）2=-32t2+23t-3，当2t5时，s=3；（2）不存在依题意，得C（1，3），B（5，3），抛物线对称轴为x=3，抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x-6），将C点坐标代入，得a=-35，y=-35x（x-6）=-35x2+635x，由C点坐标可知，直线OC解析式为y=3x，DFOC，设直线DF解析式为y=3x+k，将D（4-t，0）代入得k=3（t-4），直线DF：y=3x+3（t-4），设OAG的OA边上高为h，由SOAG=S梯形OABC，得125h=12（4+5）3，解得h=935，将y=935代入y=-35x（x-6）中，得x=332，F（3-32，935）或（3+32，935），分别代入直线DF：y=3x+3（t-4）中，得t=145+32或145-32，但0t5，不存在点评：本题考查