华东理工大学概率论与数理统计第四章 PPT课件

大数定理：讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理,中心极限定理：讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理,第4章中心极限定理与大数定律,1.中心极限定理：,概率论中有关论证随机变量和的极限分布是正态分布(Gauss)分布的一系列定理。,意义:大量的独立同分布的随机变量之和的分布可近似认为是正态分布.这是数理统计中大样本问题研究的理论基础.,定理1林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理)设X1,X2,Xn,为独立同分布序列,期望,方差20,设,注以上定理表明只要n比较大,就有近似结果:,例1用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?,解,设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,200),则X1,X2,X200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且,由中心极限定理得X近似服从正态分布,EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,所求为P(X20500)=,1-P(X20500),=0.0002,故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.,例2一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.9772.,解,设Xi(i=1,2,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则,X1,X2,Xn独立同分布,EXi=50,DXi=52=25,令,由中心极限定理得,所以,即最多可以装98箱.,定理2若随机变量n(n,p)(n=1,2,),则对任意a0，有,则称Xn服从大数定律.,大数定理,切比雪夫大数定理,辛钦大数定理,伯努利大数定理,马尔可夫大数定理,泊松大数定理,定理4(马尔可夫大数定律)设Xn为独立随机变量序列,且有则对任意的0,有,证:,定理5(切比雪夫大数定律)设Xn是两两不相关随机变量序列,方差一致有界D(Xn)=n20,有,证:,定理6(泊松大数定律)设每次试验中事件A发生的概率为pk，n次重复独立试验中事件A发生的次数为,事件的频率,则对任意0,有,证:,定理7(伯努里利大数定律)设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为，事件的频率有,则对任意0,(伯努里利大数定律是泊松大数定律的特例),意义：Bernoulli大数定理表明当试验次数无限增加时事件A的频率按概率收敛到事件A的概率.这为频率的稳定性提供了理论依据.,定理8(辛钦大数定律)设Xi为相互独立的随机变量序列,且有相同期望E(Xi)=u,(i=1,2,.),则对任意的0,有,大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.,注意辛钦大数定理成立的条件中只需的数学期望存在；而当的方差存在时，其即为切比雪夫大数定理的直接推论.,例1.互相独立随机变量序列，且的分布(k=1,2,),试证大数定理成立.,解：互相独立，且,满足马尔可夫大数定理,例2.为独立同分布序列，的概率分布为试证服从大数定律.,证：独立同分布，且故满足辛钦大数定律.,例3.独立同分布，则是否满足辛钦大数定理？,解：不存在，不满足辛钦大数定理,应用:用频率代替概率时误差的近似估计,Bernoulli大数定理:,而由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可得,已知某厂生产一批无线电元件,合格品占1/6,(1)选出6000个这种元件,试问在这6000个元件中,合格品的比例与1/6之差小于1%的概率是多少?,(2)选出6000个这种元件,试问误差限定为多少时,才能保证频率与概率之差不大于的概率为0.99?此时合格品数落在哪个范围内?,(3)选出多少个这种元件,使选出的这批元件中合格品的比例与1/6的差异不大于0.01的概率不小于0.95?,解:把