2016年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知全集 U=R， M=x|x 1， P=x|x 2，则 U（ M P） =（ ） A x|1 x 2 B x|x 1 C x|x 2 D x|x 1 或 x 2 2数列 首项 ，且（ n+1） an=，则 值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 3若点 P（ 2， 4）在直线 l： （ t 为参数）上，则 a 的值为（ ） A 3 B 2 C 1 D 1 4在 ， ， ，则 A B） =（ ） A B C D 5在（ x+a） 5（其中 a 0）的展 开式中， 系数与 系数相同，则 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 6函数 f（ x） =x+1 的零点个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7如图，在等腰梯形 ， ， ， ，点 P 在线段 运动，则 | +|的取值范围是（ ） A 6， 4+4 B 4 ， 8 C 4 ， 8 D 6， 12 8直线 l： y 1=0 与 x， y 轴的交点分别为 A， B，直线 l 与圆 O： x2+ 的交点为 C，D，给出下面三个结论： a 1， S ； a 1， | | a 1， S 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9已知 =1 i，其中 i 为虚数单位， a R，则 a= 10某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了 100 名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这 100 名学生中参加实践活动时间在 6 10 小时内的人数为 第 2 页（共 19 页） 11如图， A， B， C 是 O 上的三点，点 D 是劣弧 的中点，过点 B 的切线交弦 延长线于点 E若 0，则 12若点 P（ a， b）在不等式组 所表示的平面区域内，则原点 O 到直线 ax+1=0 的距离的取值范围是 13已知点 A（ ， ）， B（ ， 1）， C（ ， 0），若这三个点中有且仅有两个点在函数 f（ x） =图象上，则正数 的最小值为 14正方体 棱长为 1，点 P， Q， R 分别是棱 中点，以 底面作正三棱柱若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该 正方体的表面上，则这个正三棱柱的高 h= 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） = 2 （ 1）比较 f（ ）， f（ ）的大小； （ 2）求函数 f（ x）的最大值 16某空调专卖店试销 A、 B、 C 三种新型空调，销售情况如表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型数量（台） 11 10 15 型数量（台） 10 12 13 型数量（台） 15 8 12 1）求 A 型空调前三周的平均周销售量； （ 2）根据 C 型空调前三周的销售情况，预估 C 型空调五周的平均周销售量为 10 台，当 值； 第 3 页（共 19 页） （注：方差 ） 2+（ x ） 2+（ ） 2，其中 为 ， 平均数） （ 3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中 A 型空调台数 X 的分布列及数学期望 17如图，等腰梯形 ， E， F，且 F=，F=2将 别沿 起，使 A， B 两点重 合，记为点 M，得到一个四棱锥 M G， N， H 分别是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： （ 3）求直线 平面 成角的大小 18已知函数 f（ x） =x2+ax+a） （ 1）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） a， +）上有解，求实数 a 的取值范围； （ 3）若曲线 y=f（ x）存在两条互相垂直的切线，求实数 a 的取值范围（只需直接写出结果） 19已知点 A（ D（ 其中 曲线 x（ y 0）上的两点， A，D 两点在 x 轴上的射影分别为点 B， C，且 |2 （ ）当点 B 的坐标为（ 1， 0）时，求直线 斜率； （ ）记 面积为 形 面积为 证： 20已知集合 n=X|X=（ ， ， 0， 1， i=1， 2， ， n，其中 n 3 X=， ， n，称 X 的第 i 个坐标分量若 Sn，且满足如下两条性质： S 中元素个数不少于 4 个； X， Y， Z S，存在 m 1， 2， ， n，使得 X， Y， Z 的第 m 个坐标分量是 1； 则称 S 为 n 的一个好子集 （ 1） S=X， Y， Z， W为 3 的一个好子集，且 X=（ 1， 1， 0）， Y=（ 1， 0， 1），写出 Z，W； （ 2）若 S 为 n 的一个好子集，求证： S 中元素个数不超过 2n 1； （ 3）若 S 为 n 的一个好子集，且 S 中恰有 2n 1 个元素，求证：一定存在唯一一个 k 1，2， ， n，使得 S 中所有元素的第 k 个坐标分量都是 1 第 4 页（共 19 页） 2016 年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知全集 U=R， M=x|x 1， P=x|x 2，则 U（ M P） =（ ） A x|1 x 2 B x|x 1 C x|x 2 D x|x 1 或 x 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 M P，从而求出其补集即可 【解答】 解： M=x|x 1， P=x|x 2， M P=x|x 1 或 x 2， U（ M P） =x|1 x 2， 故选： A 2数列 首项 ，且（ n+1） an=，则 值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 数列递推式 【分析】 由题意可得 = 别代值计算即可 【解答】 解：数列 首项 ，且（ n+1） an=， = 2=4， 4=6， 故选： B 3若点 P（ 2， 4）在直线 l： （ t 为参数）上，则 a 的值为（ ） A 3 B 2 C 1 D 1 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 由题意可得： ，解得 a 即可得出 【解答】 解： ，解得 a= 1 故选： D 4在 ， ， ，则 A B） =（ ） A B C D 第 5 页（共 19 页） 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 根据同角三角函数得到 值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可 【解答】 解： 0 A ， 0 B ， ， ， ， ， A B） = = 故选： B 5在（ x+a） 5（其中 a 0）的展开式中， 系数与 系数相同，则 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 通过二项式定理，写出（ x+a） 5（其中 a 0）的展开式中通 项 = 用 系数与 系数相同可得到关于 a 的方程，进而计算可得结论 【解答】 解：在（ x+a） 5（其中 a 0）的展开式中，通项 = 系数与 系数相同， 又 a 0， a=1， 故选： C 6函数 f（ x） =x+1 的零点个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数 【解答】 解： f（ x） = 1= ， 当 x=1 时，函数 f（ x）取得最大值， f（ 1） =0 1+1=0， 因此函数 f（ x）有且仅有一个零点 1 故选： A 7如图，在等腰梯形 ， ， ， ，点 P 在线段 运动，则 | +|的取值范围是（ ） A 6， 4+4 B 4 ， 8 C 4 ， 8 D 6， 12 【考点】 平面向量数量积的运算 第 6 页（共 19 页） 【分析】 可过 D 作 垂线，且垂足为 E，这样可分别以 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出 A， B， D 的坐标，从而可以得出直线 方程为，从而可设 ，且 2 x 0，从而可以求出向量 的坐标，从而得出 ，而配方即可求出函数 y=16（ x+4）在 2， 0上的值域，即得出 的取值范围，从而得出 的取值范围 【解答】 解：如图，过 D 作 垂线，垂足为 E，分别以 x， y 轴，建立平面直角坐标系； 根据条件可得， ， ， ； ； 直线 程为： ； 设 ，（ 2 x 0）； ， ； ； =16（ x+4） =16（ x+1） 2+48； 2 x 0； 48 16（ x+1） 2+48 64； 即 ； ； 的范围为 故选： C 8直线 l： y 1=0 与 x， y 轴的交点分别为 A， B，直线 l 与圆 O： x2+ 的交点为 C，D，给出下面三个结论： 第 7 页（共 19 页） a 1， S ； a 1， | | a 1， S 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 当 a 1 时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论 正确； 当 a 1 时，反证法可得结论 错误； 由三角形的面积公式可得 S ，可得结论 正确 【解答】 解： 当 a 1 时，把 x=0 代入直线方程可得 y=a，把 y=0 代入直 线方程可得 x= ， S a = ，故结论 正确； 当 a 1 时， | ，故 |=， 直线 l 可化为 y a=0，圆心 O 到 l 的距离 d= = = ，故 |=4（ 1 =41（ ） ， 假设 | |则 | |，即 4（ 1 ）， 整理可得（ ） 2 4（ ） +4 0，即（ 2） 2 0， 显然矛盾，故结论 错误； S |OC|， 故 a 1，使得 S ，结论 正确 故选： C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9已知 =1 i，其中 i 为虚数单位， a R，则 a= 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的代数运算性质，求出 a 的值即可 【解答】 解： =1 i， a+i= 第 8 页（共 19 页） a= i= i=1 故答案为： 1 10某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了 100 名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这 100 名学生中参加实践活动时间在 6 10 小时内的人数为 58 【考点】 频率分布直方图 【分析】 利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在 6 10 小时外的频率；利用频率和为 1，求出在 6 10 小时内的频率；利用频数 等于频率乘以样本容量，求出这 100名同学中学习时间在 6 10 小时内的同学的人数 【解答】 解：由频率分布直方图知：（ a+b+ 2=1， a+b= 参加实践活动时间在 6 10 小时内的频率为 2= 这 100 名学生中参加实践活动时间在 6 10 小时内的人数为 100 8 故答案为： 58 11如图， A， B， C 是 O 上的三点，点 D 是劣弧 的中点，过点 B 的切线交弦 延长线于点 E若 0，则 60 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 由弦切角定理可得 A，再由圆的圆周角定理，可得 A，在 ，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值 【解答】 解：由 圆的切线，由弦切角定理可得 A=80， 由 D 是劣弧 的中点，可得 A=40， 在 ， 80 180 80 40=60 故答案为： 60 第 9 页（共 19 页） 12若点 P（ a， b）在不等式组 所表示的平面区域内，则原点 O 到直线 ax+1=0 的距离的取值范围是 ， 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点 O 到直线 ax+1=0 的距离为 ，结合 的几何意义得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 原点 O 到直线 ax+1=0 的距离为 ， 由图可知 的最小值为 |1，最大值为 |2， 原点 O 到直 线 ax+1=0 的距离的取值范围是 ， 1 故答案为： ， 1 13已知点 A（ ， ）， B（ ， 1）， C（ ， 0），若这三个点中有且仅有两个点在函数 f（ x） = 图象上，则正数 的最小值为 4 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数 的最小值，从而得出结论 【解答】 解： 若只有 A、 B 两点在函数 f（ x） =图象上， 则有 ） = ， ） =1， 0， 第 10 页（共 19 页） 则 ， 即 ，求得 无解 若只有点 A（ ， ）， C（ ， 0）在函数 f（ x） =x）的图象上， 则有 ） = ， ） =0， ） 1， 故有 ， 即 ，求得 的最小值为 4 若只有点 B（ ， 1）、 C（ ， 0）在函数 f（ x） =图象上， 则有 ， 1， 0， 故有 ，即， 求得 的最小正值为 10， 综上可得， 的最小正值为 4， 故答案为： 4 第 11 页（共 19 页） 14正方体 棱长为 1，点 P， Q， R 分别是棱 中点，以 底面作正三棱柱若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高 h= 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 分别取过 C 点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半 【解答】 解：连结 别取 中点 E， F， G，连结 由中位线定理可得 1C， 1C， 1C 又 平面 三棱柱 正三棱柱 三棱柱的高 h= 故答案为 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） = 2 （ 1）比较 f（ ）， f（ ）的大小； （ 2）求函数 f（ x）的最大值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）将 f（ ）， f（ ）求出大小后比较即可 （ 2）将 f（ x）化简，由此得到最大值 【解答】 解：（ 1） f（ ） = ， f（ ） = ， ， f（ ） f（ ）， （ 2） f（ x） = 2 第 12 页（共 19 页） = 21+2 =2（ ） 2 ， 函数 f（ x）的最大值为 3 16某空调专卖店试销 A、 B、 C 三种新型空调，销售情况如表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型数量（台） 11 10 15 型数量（台） 10 12 13 型数量（台） 15 8 12 1）求 A 型空调前三周的平均周销售量； （ 2）根据 C 型空调前三周的销售情况，预估 C 型空调五周的平均周销售量为 10 台，当 值； （注：方差 ） 2+（ x ） 2+（ ） 2，其中 为 ， 平均数） （ 3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中 A 型空调台数 X 的分布列及数学期望 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 （ 1）根据平均数公式计算即可， （ 2）根据方差的定义可得 2（ ） + ，根据二次函数性质求出 或 时， 得最小值， （ 3）依题意，随机变量 的可能取值为 0， 1， 2，求出 P，列出分布表，求出数学期望 【解答】 解：（ 1） A 型空调前三周的平均周销售量 = （ 11+10+15） =12 台， （ 2）因为 C 型空调平均周销量为 10 台， 所以 c4+0 15 15 8 12=15， 又 （ 15 10） 2+（ 8 10） 2+（ 12 10） 2+（ 10） 2+（ 10） 2， 化简得到 2（ ） + ， 因为 N， 所以 或 时， 得最小值， 此时 或 ， （ 3）依题意，随机变量 的可能取值为 0， 1， 2， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = + = ， P（ X=2） = = ， 随机变量的 X 的分布列， X 0 1 2 第 13 页（共 19 页） P 随机变量的期望 E（ X） =0 +1 +2 = 17如图，等腰梯形 ， E， F，且 F=，F=2将 别沿 起，使 A， B 两点重合，记为点 M，得到一个四棱锥 M G， N， H 分别是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： （ 3）求直线 平面 成角的大小 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 可证四边形 平行四边形，于是 是 平面 （ 2）取 中点 P，连结 可证明 平面 H 为原点建立坐标系，求出和 的坐标，通过计算 =0 得出 （ 3）求出 和平面 法向量 ，则直线 平面 成角的正弦值为 | |，从而得出所求线面角的大小 【解答】 证明：（ 1）连结 N， G 分别是 中点， H 是 中点， D， H， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 （ 2） F= 等边三角形， 取 中点 P，连结 F=E， 平面 平面 第 14 页（共 19 页） 以 H 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 E（ 0， 1， 0）， M（ ， 0， 0）， C（ 0， 1， 2）， N（ ， ， 1） =（ ， 1， 0）， =（ ， ， 1） = +1 +0 1=0 （ 3） F（ 0， 1， 0）， H（ 0， 0， 0）， G（ ， ， 1）， =（ ， ， 1）， =（ 0， 0， 2）， =（ ， ， 1）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ，即 令 y=1 得 =（ ， 1， 0）， = = 直线 平面 成角的正弦值为 ， 直线 平面 成角为 18已知函数 f（ x） =x2+ax+a） （ 1）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） a， +）上有解，求实数 a 的取值范围； （ 3）若曲线 y=f（ x）存在两条互相垂直的切线，求实数 a 的取值范围（只需直接写出结果） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）当 a=1 时， f（ x） =x2+x+1）， 求出其导数，利用导数即可解出单调区间； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） a， +）上有解，即 x2+ax+a x，在 a， +）上有解，构造两个函数 r（ x） =x2+ax+a， t（ x） =x，研究两个函数的在 a， +）上的单调性，即可转化出关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围； （ 3）由 f（ x）的导数 f（ x） =x+2）（ x+a），当 a 2 时，函数 y=f（ x）的图象与 f（ x）图象上存在两条互相垂直的切线 第 15 页（共 19 页） 【解答】 解：（ 1）当 a=1 时， f（ x） =x2+x+1）， 则 f（ x） =x+2）， 令 f（ x） 0 得 x 1 或 x 2；令 f（ x） 0 得 2 x 1 函数 f（ x）的单调增区间（ ， 2）与（ 1， +），单调递减区间是（ 2， 1）； （ 2） f（ x） x2+ax+a） 变为 x2+ax+a x， 令 r（ x） =x2+ax+a， t（ x） =x， 当 a 0 时，在 a， +）上，由于 r（ x）的对称轴为负， 故 r（ x）在 a， +）上增， t（ x）在 a， +）上减， 欲使 x2+ax+a x 有解， 则只须 r（ a） t（ a），即 2a2+a 1， 解得 1 a ，故 0 a ； 当 a 0 时，在 a， +）上，由于 r（ x）的对称轴为正， 故 r（ x）在 a， +）上先减后增， t（ x）在 a， +）上减， 欲使 x2+ax+a x 有解，只须 r（ ） t（ ）， 即 +a e ， 当 a 0 时， +a e 显然成立 综上知， a 即为符合条件的实数 a 的取值范围； （ 3） a 的取值范围是 a|a 2， a R 19已知点 A（ D（ 其中 曲线 x（ y 0）上的两点， A，D 两点在 x 轴上的射影分别 为点 B， C，且 |2 （ ）当点 B 的坐标为（ 1， 0）时，求直线 斜率； （ ）记 面积为 形 面积为 证： 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）由 B 的坐标，可得 A 的坐标，又 |2，可得 D 的坐标（ 3， 2 ），运用直线的斜率公式，即可得到所求值； （ ）法一：设直线 方程为 y=kx+m M（ 0， m），运用三角形的面积公式可得 m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于 0 和韦达定理，以及梯形的面积公式可得而得到所求范围； 法二：设直线 方程为 y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积 m|，梯形的面积公式可得 而得到所求范围 【解答】 解：（ ）由 B（ 1， 0），可得 A（ 1， 代入 x，得到 ， 又 |2，则 ，可得 ， 代入 x，得到 ， 则 ； 第 16 页（共 19 页） （ ）证法一：设直线 方程为 y=kx+m M（ 0， m）， 则 由 ，得 24） x+， 所以 ， 又 ， 又注意到 ，所以 k 0， m 0， 所以 = = ， 因为 =16 160，所以 0 1， 所以 证法二：设直线 方程为 y=kx+m 由 ，得 24） x+， 所以 ， ， 点 O 到直线 距离为 ， 所以 ， 又 ， 又注意到 ，所以 k 0， m 0， 第 17 页（共 19 页） 所以 ， 因为 =16 160，所以 0 1， 所以 20已知集合 n=X|X=（ ， ， 0， 1， i=1， 2， ， n，其中 n 3 X=， ， n，称 X 的第 i 个坐标分量若 Sn，且满足如下两条性质： S 中元素个数不少于 4 个； X， Y， Z S，存在 m 1， 2， ， n，使得 X， Y， Z 的第 m 个坐标分量是 1；