2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=0， l， 3， B=x|3x=0，则 AB=（ ） A 0 B 0， 1 C 0， 3 D 0， 1， 3 2已知 z= （ i 为虚数单位），则复数 z=（ ） A 1 B l C i D i 3 于（ ） A B C D 4 “x 2“是 “x 8 0“成立的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知直线 x 1 m=0 与圆 x2+ 相切，则实数 m 的值为（ ） A l 或 0 B 0 C 1 或 0 D l 或 1 6执行如图所示的程序框图，如果输出的 k 的值为 3，则输入的 a 的值可以是（ ） A 20 B 21 C 22 D 23 7 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， c a=2， b=3，则 a=（ ） A 2 B C 3 D 8在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械 部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为（ ） 第 2 页（共 18 页） A（ 7+ ） B（ 8+ ） C D（ 1+ ） +6 9若双曲线 =1 与 =1（ a 0， b 0）的渐近线相同，且双曲线 焦距为 4 ，则 b=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 10函数 y=x+ ）在 x=2 处取得最大值，则正数 的最小值为（ ） A B C D 11已知等边 边长为 2，若 =3 ， = ，则 等于（ ） A 2 B C 2 D 12直线 x=t 分别与函数 f（ x） = 的图象及 g（ x） =2x 1 的图象相交于点 A 和点 B，则 |最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 2 3 2、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置上 . 13函数 f（ x） = 的定义域为 14已知实数 x， y 满足 ，则目标函数 z=x y 的最大值是 15将 2 红 2 白共 4 个球随机排成一排，则同色球均相邻的概率为 16已知函数 f（ x） = ，则关于 x 的不等式 ff（ x） 3 的解集为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 前 n 项和为 15，且 ， ， 成等比数列，公比不为 1 （ 1）求数列 通项公式； 第 3 页（共 18 页） （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 18某校拟在高一年级开设英语口语选修课，该年级男生 600 人，女生 480 人按性别分层抽样，抽取 90 名同学做意向调查 （ I）求抽取的 90 名同学中的男生人数； （ ）将下列 2 2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 前提下认为 “该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关 ”？ 愿意选修英语口语课程有效 不愿意选修英语口语课程 合计 男生 25 女生 合计 35 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 9四棱锥 E ， E=2， 面 平面 F 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若 四棱锥 E 体积 20已知抛物线 p 0）， O 是坐标原点，点 A， B 为抛物线 异于 O 点的两点，以 直径的圆 点 B （ I）若 A（ 2， 1），求 p 的值以及圆 方程； （ ）求圆 面积 S 的最小值（用 p 表示） 21已知函数 f（ x） =g（ x） =x， t R，其中 e 是自然对数的底数 （ ）求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线方程； （ ）若 g（ x） f（ x）对任意 x （ 0， +）恒成立，求 t 的取值范围 请考生在第 22 题， 23 题， 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22已知 圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上（异于点 A， B），连接 延长至点 D，使得 D，连接 圆 O 于点 E，过点 C 作圆 O 的切线交 点 F （ ）若 0，求证：点 E 为 中点； （ ）若 R，其中 R 为圆 C 的半径，求 第 4 页（共 18 页） 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l： 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 a（ a 3） （ ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ ）若曲线 C 与直线 l 有唯一公共点，求实数 a 的值 选修 4等式选讲 24已知 a 0， b 0，记 A= + ， B=a+b （ 1）求 A B 的最大值； （ 2）若 ，是否存在 a， b，使得 A+B=6？并说明理由 第 5 页（共 18 页） 2016 年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=0， l， 3， B=x|3x=0，则 AB=（ ） A 0 B 0， 1 C 0， 3 D 0， 1， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中方程的解确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中方程变形得： x（ x 3） =0， 解得： x=0 或 x=3，即 B=0， 3， A=0， 1， 3， AB=0， 3， 故选： C 2已知 z= （ i 为虚数单位），则复数 z=（ ） A 1 B l C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复 数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z= = 故选： C 3 于（ ） A B C D 【考点 】 两角和与差的正弦函数 【分析】 利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案 【解答】 解： ， 故选： D 4 “x 2“是 “x 8 0“成立的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 x 8 0 解得 x 2，或 x 4即可判断出结论 【解答】 解：由 x 8 0 解得 x 2，或 x 4 “x 2“是 “x 8 0“成立的充分不必要条件 故选： B 第 6 页（共 18 页） 5已知直线 x 1 m=0 与圆 x2+ 相切，则实数 m 的值为（ ） A l 或 0 B 0 C 1 或 0 D l 或 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先求出圆 x2+ 的圆心和半径，由直线 x 1 m=0 与圆 x2+ 相切，得圆心 C（ 0， 0）到直线 x 1 m=0 的距离等于半径，由此能求出 m 【解答】 解： 圆 x2+ 的圆心（ 0， 0），半径 r=1， 直线 x 1 m=0 与圆 x2+ 相切， 圆心 C（ 0， 0）到直线 x 1 m=0 的距离 d= =1， m=0 故选： B 6执行如图所示的程序框图，如果输出的 k 的值为 3，则输入的 a 的值可以是（ ） A 20 B 21 C 22 D 23 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 k， S 的值，由题意，当 S=21 时 ，应该不满足条件 S a，退出循环输出 k 的值为 3，从而结合选项可得输入的 a 的值 【解答】 解：由题意，模拟执行程序，可得 k=0， S=0， 满足条件 S a， S=2 0+3=3， k=0+1=1 满足条件 S a， S=2 3+3=9， k=1+1=2 满足条件 S a， S=2 9+3=21， k=2+1=3 由题意，此时，应该不满足条件 21 a，退出循环，输出 k 的值为 3，从而结合选项可得输入的 a 的值为 20 故选： A 7 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， c a=2， b=3，则 a=（ ） A 2 B C 3 D 【考点】 余弦定理 【分析】 由已知条件和余弦定理可得 a 的方程，解方程可得 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解：由题意可得 c=a+2， b=3， ， 由余弦定理可得 ， 代入数据可得 = ， 解方程可得 a=2 故选： A 8在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为（ ） A（ 7+ ） B（ 8+ ） C D（ 1+ ） +6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由一个圆柱截一个倒圆锥，圆锥的上底面与圆柱的上底面重合 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由一个圆柱截一个倒圆锥，圆锥的上底面与圆柱的上底面重合 此机械部件的表面积 = 12+2 1 3+ =7+ 故选： A 9若双曲线 =1 与 =1（ a 0， b 0）的渐近线相同，且双曲线 焦距为 4 ，则 b=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线 渐近线方程，可得 b=2a，再由焦距，可得 c=2 ，即 有 a2+0，解方程，可得 b=4 【解答】 解：双曲线 =1 的渐近线方程为 y= 2x， 第 8 页（共 18 页） 由题意可得 =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x，即有 b=2a， 又 2c=4 ，即 c=2 ，即有 a2+0， 解得 a=2， b=4， 故选： B 10函数 y=x+ ）在 x=2 处取得最大值，则正数 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 三角函数的最值 【分析】 由条件利用正弦函数的最值，求得正数 的最小值 【解答】 解： 函数 y=x+ ）在 x=2 处取得最大值，故 2+ =2， k Z， 故正数 的最小正值为 ， 故选： D 11已知等边 边长为 2，若 =3 ， = ，则 等于（ ） A 2 B C 2 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意得出 = （ + ）， = ，运用数量积求解即可 【解答】 解：等边 边长为 2， =3 ， = ， = （ + ）， = ， = （ ）， = （ 4 4 2 2 ）， = 2 故选 A 12直线 x=t 分别与函数 f（ x） = 的图象及 g（ x） =2x 1 的图象相交于点 A 和点 B，则 |最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 2 3 2考点】 两点间距离公式的应用 【分析 】 设函数 y=f（ x） g（ x），利用导数 y判定函数的单调性与最小值，即可求出 |最小值 【解答】 解：设函数 y=f（ x） g（ x） =（ 2x 1）， 第 9 页（共 18 页） 则 y=2， 由 y 0，得 x y 0，得 x 当 x=， y=f（ x） g（ x） （ 2x 1）取得最小值， 为 （ 21） =4 2 |最小值为 4 2 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置上 . 13函数 f（ x） = 的定义域为 x|x 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 利用被开方数非负，得到不等式，求解即可得到函数的定义域 【解答】 解：要使函数有意义，则： 1 2x 0，解得： x 函数的定义域为： x|x 故答案为： x|x 14已知实数 x， y 满足 ，则目标函数 z=x y 的最大值是 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作平面区域，化简目标函数 z=x y 为 y=x z，从而求最大值 【解答】 解：作平面区域如下， 第 10 页（共 18 页） 化简目标函数 z=x y 为 y=x z， 故当过点（ 2， 2）时， z=x y 有最大值为 2（ 2） =4， 故答案为： 4 15将 2 红 2 白共 4 个球随机排成一排，则同色球均相邻的概率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 一一列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：将 2 红 2 白共 4 个球随机排成一排，由红红白白，红白红白，红白白红，白红红白，白红白红，白白红红共 6 种，其中同色球均相邻的有 2 种， 故同色球均相邻的概率为 = ， 故答案为： 16已知函数 f（ x） = ，则关于 x 的不等式 ff（ x） 3 的解集为 （， 2 【考点】 分段函数的应用 【分析】 令 t=f（ x），即有 f（ t） 3，讨论 t 的范围，解得 t 2，即 f（ x） 2，讨论 不等式即可得到所求范围 【解答】 解：令 t=f（ x），即有 f（ t） 3， 可得 或 ， 即为 2 t 0 或 t 0， 即有 t 2，即 f（ x） 2， 即为 或 ， 解得 x 0 或 0 x 2， 即为 x 2 故答案为：（ ， 2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 前 n 项和为 15，且 ， ， 成等比数列，公比不为 1 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 第 11 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）设等差数列 公差为 d，根据 ， ， 成等比数列，可得=（ ）（ ），又 15，可得 =3 15，解得 而得到 d即可得出 （ 2）由（ 1）可得： 2n可得 = = ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d， ， ， 成等比数列， =（ ）（ ）， 又 15， = 15， 5 （ 5+1） 2=（ 5 d+1）（ 5+2d+1），解得 d=0 或 d= 2 d=0 时，公比为 1，舍去 d= 2 an=2（ n 2） = 5 2（ n 2） = 2n 1 （ 2）由（ 1）可得： = 2n = = ， 数列 前 n 项和 + + + = = + 18某校拟在高一年级开设英语口语选修课，该年级男生 600 人，女生 480 人按性别分层抽样，抽取 90 名同学做意向调查 （ I）求抽取的 90 名同学中的男生人数； （ ）将下列 2 2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 前提下认为 “该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关 ”？ 愿意选修英语口语课程有效 不愿意选修英语口语课程 合计 男生 25 25 50 女生 30 10 40 合计 55 35 90 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 12 页（共 18 页） 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ I）根据分层抽样原理，求出男生应抽取的人数是多少； （ ）填写 2 2 列联表，计算观测值 照数表即可得出结论 【解答】 解：（ I）该校高一年级的男、女生比为 600： 480=5： 4， 所以，按分层抽 样，男生应抽取的人数是 90 =50（名）； （ ）填写 2 2 列联表，如下； 愿意选修英语口语课程有效 不愿意选修英语口语课程 合计 男生 25 25 50 女生 30 10 40 合计 55 35 90 则 = 所以，在犯错误的概率不超过 前提下认为 “该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别 有关 ” 19四棱锥 E ， E=2， 面 平面 F 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若 四棱锥 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 G，连接 故四边形 平行四边形，于是 出 平面 （ 2）由 出 平面 是 面面垂直的性质得出 平面 锥 E 高 【解答】 证明：（ I）取 点 G，连接 F 是 中点， D， 有 D， 第 13 页（共 18 页） 四边形 平行四边形， 面 面 平面 （ 2） 面 面 B=B， 平面 面 又平面 平面 面 面 D， 面 平面 = =1 20已知抛物线 p 0）， O 是坐标原点，点 A， B 为抛物线 异于 O 点的两点，以 直径的圆 点 B （ I）若 A（ 2， 1），求 p 的值以及圆 方程； （ ）求圆 面积 S 的最小值（用 p 表示） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）把 A 代入抛物线方程即可求出 p，计算 中点及 |出圆的圆心和半径，从而得出圆的方程； （ A（ ）， B（ ），根据 =0 得出 关系，利用基本不等式求出 | 的最小值，从而得出圆 最小面积 【解答】 解：（ I） A（ 2， 1）在抛物线 ， 4=2p，即 p=2 圆 圆心为（ 1， ），半径 r= = 圆 方程为（ x+1） 2+（ y ） 2= （ A（ ）， B（ ），则 =（ ）， =（ ） 圆 直径， =0，即 + =0， 0， 4 （ ） 第 14 页（共 18 页） +816且仅当 即 取等号 |= 16=80 圆 面积 S= 20 21已知函数 f（ x） =g（ x） =x， t R，其中 e 是自然对数的底数 （ ）求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线方程； （ ）若 g（ x） f（ x）对任意 x （ 0， +）恒成立，求 t 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出原函数的导函数，得到 f（ 1）再求出 f（ 1），代入直线方程的点斜式得答案； （ ）由 g（ x） f（ x）对任意 x （ 0， +）恒成立，可得 x ex+0 对任意x （ 0， +）恒成立分离参数 t，可得即 t 对任意 x （ 0， +）恒成立令 F（ x） = 两次求导可得 x （ 0， 1）时， F（ x） 0， x （ 1， +）时， F（ x） 0，得到 F（ x）在（ 0， 1）上单调递减， F（ x）在（ 1， +）上单调递增从而得到 F（ x） F（ 1） =1由此可得 t 的取值范围 【解答】 解：（ ）由 f（ x） = f（ x） =e 1，则 f（ 1） =e 1 而 f（ 1） =e， 所求切线方程为 y e=（ e 1）（ x 1），即 y=（ e 1） x+1； （ ） f（ x） =g（ x） =x， t R， g（ x） f（ x）对 任意 x （ 0， +）恒成立 x ex+0 对任意 x （ 0， +）恒成立 即 t 对任意 x （ 0， +）恒成立 令 F（ x） = 则 F（ x） = ， 设 G（ x） = ， 则 G（ x） = 对任意 x （ 0， +）恒成立 第 15 页（共 18 页） G（ x） = 在（ 0， +）单调递增，且 G（ 1） =0 x （ 0， 1）时， G（ x） 0， x （ 1， +）时， G（ x） 0， 即 x （ 0， 1）时， F（ x） 0， x （ 1， +）时， F（ x） 0， F（ x）在（ 0， 1）上单调递减， F（ x）在（ 1， +）上单调递增 F（ x） F（ 1） =1 t 1，即 t 的取值范围是（ ， 1 请考生在第 22 题， 23 题， 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4几何证明选讲 22已知 圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上（异于点 A， B），连接 延长至点 D，使得 D，连接 圆 O 于点 E，过点 C 作圆 O 的切线交 点 F （ ）若 0，求证：点 E 为 中点； （ ）若 R，其中 R 为圆 C 的半径，求 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）先证明出 等边三角形，再连 据三线合一定理证明出点 E 为中点； （ 2）连 用中位线定理证明出 而证出 ，最后求出 【解答】 解：（ ）证明： 圆 O 的直径， D D，而 0， 等边三角形，连 圆的