2016年河北省唐山市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年河北省唐山市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1集合 A=x| 2 x 1， B=x| 1 x 2，则 A B=（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 1） C（ 2， 2） D（ 1， 2） 2数 z 满足（ 1+z）（ 1+2i） =i，则复平面内表示复数 z 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 为实数，则 “=2（ k Z） ”是 “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（ ） A B C D 5执行如图的程序框图，若输入 M 的值为 1，则输出的 S=（ ） A 6 B 12 C 14 D 20 6已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 7若实数 x， y 满足 ，则 z=3x+4y 的最大值是（ ） A 3 B 8 C 14 D 15 8函数 f（ x） =x+ ） +2x+ ）的最大值是（ ） A 1 B C 2D 9椭圆 =1（ 0 m 1）上存在点 P 使得 m 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 19 页） A ， 1） B（ 0， C ， 1） D（ 0， 10在 ， ， 0， E 为 中点，则 =（ ） A 6 B 12 C 6 D 12 11在四棱锥 P ， 底面 面 正方形， B，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） = x 在 0， 1）上的最大值为 m，在（ 1， 2上的最小值为n，则 m+n=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程是 y= 2x，则 C 的离心率 e= 14已知 三边长分别为 2， 3， ，则 面积 S= 15已知函数 f（ x） =1，若 x 轴为曲线 y=f（ x）的切线，则 a= 16已知 球 O 的直径， C， D 为球面上两动点， 四面体 积的最大值为 9，则球 O 的表面积为 三、解答题：本大题共 70 分，其中（ 17） -（ 21）题为必考题，（ 22），（ 23），（ 24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知等差数列 前 n 项和为 7， （ ）求 通项公式； （ ）数列 足 ， =2数列 通项公式 18二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x（ 0 x 10）与销售价格 y（单位：万元 /辆）进行整理，得到如表的对应数据： 使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 7 ）试求 y 关于 x 的回归直线方程；（参考公式： = ， = ） 第 3 页（共 19 页） （ ）已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=元，根据（ ）中所求的回归方程，预测 x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大？ 19如图，在矩形 ， ， ， E 为边 中点，分别沿 叠，使平面 平面 与平面 直 （ ）证明： 平面 （ ）求点 E 到平面 距离 20已知抛物线 C： x，经过点（ 4， 0）的直线 l 交抛物线 C 于 A， B 两点， M（ 4，0）， O 为坐标原点 （ ）证明： ； （ ）若直线 l 的斜率为 k（ k 0），求 的最小值 21设函数 f（ x） = +（ 1 k） x （ ）讨论 f（ x）的单调性； （ ）若 k 为正数，且存在 得 f（ k 的取值范围 请考生在第（ 22），（ 23），（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 接于圆 O， 交于点 F， 圆 O 相切于点 A，与延长线相交于点 E， （ ）证明： A、 E、 D、 F 四点共圆； （ ） 证明： 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，曲线 （ 为参数， 0 ），曲线 曲线 于原点对称，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =2（ 0 ），过极点 O 的直线 l 分别与曲线 交于点 A， B， C （ ）求曲线 极坐标方程； （ ）求 |取值范围 选修 4等 式选讲 第 4 页（共 19 页） 24已知函数 f（ x） =|x+1|+m|x 1| （ ）当 m=2 时，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ ）若 m 0， f（ x） 2m，求 m 的最小值 第 5 页（共 19 页） 2016 年河北省唐山市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1集合 A=x| 2 x 1， B=x| 1 x 2，则 A B=（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 1） C（ 2， 2） D（ 1， 2） 【考点】 并集及其 运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的并集即可 【解答】 解： A=x| 2 x 1， B=x| 1 x 2， A B=x| 2 x 2 故选： C 2数 z 满足（ 1+z）（ 1+2i） =i，则复平面内表示复数 z 的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由（ 1+z）（ 1+2i） =i，得到 ，再利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复平面内表示复数 z 的点的坐标，则答案可 求 【解答】 解：由（ 1+z）（ 1+2i） =i， 得 = ， 则复平面内表示复数 z 的点的坐标为：（ ， ），位于第二象限 故选： B 3 为实数，则 “=2（ k Z） ”是 “”的（ ） A充分不必要条件 B必要 不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 ，解得 = （ k Z），即可得出 【解答】 解：由 ，解得 = （ k Z）， “=2（ k Z） ”是 “”的充分不必要条件 故选： A 4大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每 个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（ ） 第 6 页（共 19 页） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，利用列举法求出基本事件总数和甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件个数 ，由此利用对立事件概率加法公式能求出甲、乙被安排到不同景区的概率 【解答】 解：大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生， 基本事件总数有（甲乙，丙），（甲丙，乙），（乙丙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，乙丙）， 共 6 个基本事件， 其中，甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件有（甲乙，丙），（丙，甲乙），包含两个基本事件， 甲、乙被安排到不同景区的概率： p=1 = 故选： D 5执行如图的程序框图，若输入 M 的值为 1，则输出的 S=（ ） A 6 B 12 C 14 D 20 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 M， S， k 的值，当 k=4 时不满足条件 k 3，退出循环，输出 S 的值为 12 【解答】 解：模拟执行程序，可得 M=1， S=1， k=1 满足条件 k 3， M=3， S=4， k=2 满足条件 k 3， M=2， S=6， k=3 满足条件 k 3， M=6， S=12， k=4 不满足条件 k 3，退出循环，输出 S 的值为 12 故选： B 6已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 第 7 页（共 19 页） 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的运算性质比较三个数与 1 和 2 的大小得答案 【解答】 解： a=1， b=1， c=， 而 a=， c a b 故选： D 7若实数 x， y 满足 ，则 z=3x+4y 的最大值是（ ） A 3 B 8 C 14 D 15 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x+4y 得 y= x+ ， 平移直线 y= x+ 由图象可知当直线 y= x+ 经过点 A 时，直线 y= x+ 的截距最大， 此时 z 最大， 由 ，解得 ， 即 A（ 2， 2）， 此时 z=3 2+4 2=6+8=14， 故选： C 8函数 f（ x） =x+ ） +2x+ ）的最大值是（ ） 第 8 页（共 19 页） A 1 B C 2D 【考点】 三角函数的最值 【分析】 由三角函数公式整体可得 f（ x） =得函数的最大值为 1 【解答】 解：由三角函数公式可得 f（ x） =x+ ） +2x+ ） = x+ ） + +2x+ ） =x+ ） x+ ） 2x+ ） =x+ ） x+ ） = x+ ） = 函数的最大值为 1 故选： A 9 椭圆 =1（ 0 m 1）上存在点 P 使得 m 的取值范围是（ ） A ， 1） B（ 0， C ， 1） D（ 0， 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由已知得短轴顶点 B 与焦点 成角 90，从而 m，由此能求出 m 的取值范围 【解答】 解： 椭圆 =1（ 0 m 1）上存在点 P 使得 短轴顶点 B 与焦点 成角 90， m， 由 0 m 1，解得 0 m 故选： B 10在 ， ， 0， E 为 中点，则 =（ ） A 6 B 12 C 6 D 12 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算 【解答】 解以 在直线为 x 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 A（ 0， 0）， B（ 4， 0）， C（ 5， ）， D（ 1， ） E（ ， ） 第 9 页（共 19 页） =（ ， ）， =（ 3， ） = = 12， 故选： D 11在四棱锥 P ， 底面 面 正方形， B，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是过 A 的平面截四棱锥 P 画出图形结合图形求出截取部分的体积与剩余部分的体积之比是多少即可 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是过 平行于 平面截四棱锥 P 得的几何体； 设 ，则 截取的部分为三棱锥 E 的体积为 V 三棱锥 E 1 1 = ， 剩余部分的体积为 V 剩余部分 =V 四棱锥 P V 三棱锥 E 12 1 = ； 所以截取部分的体积与剩余部分的体积比为 ： =1： 3 故选： B 第 10 页（共 19 页） 12已知函数 f（ x） = x 在 0， 1）上的最大值为 m，在（ 1， 2上的最小值为n，则 m+n=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 通过变形可知 f（ x） =1+ +而可知当 x 0， 1）时，函数 g（ x） =+足 g（ 2 x） = g（ x），由此可知在区间 0， 1） （ 1， 2上，函数 f（ x）关于点（ 1， 1）中心对称，利用对称性即得结论 【解答】 解： f（ x） = x=1+ + 记 g（ x） = +当 x 0， 1）时， g（ 2 x） = +2 x） = 即在区间 0， 1） （ 1， 2上，函数 f（ x）关于点（ 1， 1）中心对称， m+n=2， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程是 y= 2x，则 C 的离心率 e= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），求出渐近线方程，可得 b=2a，由 a， b，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 由渐近线方程 y= x，可得 =2，即 b=2a， 可得 c= = a， 即有 e= = 故答案为： 14已知 三边长分别为 2， 3， ，则 面积 S= 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由余弦定理可得一内角的余弦值，进而可得正弦值，代入三角形的面积公式计算即可得解 第 11 页（共 19 页） 【解答】 解：在 ，由题意，不妨设 三边长分别为 a=2， b=3， c= ， 则由余弦定理可得 = = ， = ， 则 面积 S= 3 = 故答案 为： 15已知函数 f（ x） =1，若 x 轴为曲线 y=f（ x）的切线，则 a= 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 f（ x）的导数，设出切点（ m， 0），代入 f（ x）和导数式，可得 a， m 的方程，可得 a ，构造 g（ a） =a 出导数，求得单调区间，可得极值点，即可得到方程的解为 1 【解答】 解：函数 f（ x） =1 的导数为 f（ x） =a， 设切点为（ m， n），即有 n=0， n=1， 由导数的几何意义可得， a=0， 化为 a ， 由 g（ a） =a 导数为 g（ a） =1（ 1+= 当 a 1 时， g（ a） 0， g（ a）递减；当 0 a 1 时， g（ a） 0， g（ a）递增 可得 a=1 处 g（ a）取得极大值，且为最大值 1 即有方程 a 的解为 1 故答案为： 1 16已知 球 O 的直径， C， D 为球面上两动点， 四面体 积的最大值为 9，则球 O 的表面积为 36 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由题意， 等腰直角三角形，高为球 O 的半径时，四面体 体积最大，利用四面体 积的最大值为 9，求出 R，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：由题意， 等腰直角三角形，高为球 O 的半径时，四面体 体积最大， 最大值为 =9， R=3， 球 O 的表面积为 46 故答案为： 36 三、解答题：本大题共 70 分，其中（ 17） -（ 21）题为必考题，（ 22），（ 23），（ 24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知等差数列 前 n 项和为 7， （ ）求 通项公式； （ ）数列 足 ， =2数列 通项公式 第 12 页（共 19 页） 【考点】 数列递推式；等差数列的通项公式 【分析】 （ ）由 得 ，从而可得 d= =2，从而求得通项公式； （ ）由方程可得 =4而求得 以 为首项，以 2 为公比的等比数列，从而求通项公式 【解答】 解：（ ）由 得 a1+ 7+， ， d= =2， 所以 前 n 项和： Sn=d = 7n+n（ n 1） =8n， 7+2（ n 1） =2n 9 （ ）由题设得 =2 ， =2 ， 两式相除得 =4 又 = ， ， =2 =2 即 以 为首项，以 2 为公比的等比数列， 故 n 5 18二手车经销商小王对其所经营 的某一型号二手汽车的使用年数 x（ 0 x 10）与销售价格 y（单位：万元 /辆）进行整理，得到如表的对应数据： 使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 7 ）试求 y 关于 x 的回归直线方程；（参考公式： = ， = ） （ ）已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=元，根据（ ）中所求的回归方程，预测 x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大？ 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）由表中数据计算 、 ，求出 、 ，即可写出回归直线方程； （ ）写出利润函数 z=y w，利用二次函数的图象与性质求出 x=3 时 z 取得最大值 【解答】 解：（ ）由表中数据得， = （ 2+4+6+8+10） =6， 第 13 页（共 19 页） = （ 16+13+=10， 由最小二乘法求得 = = =10（ 6= 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y= （ ）根据题意，利润函数为 z=y w=（ （ = 所以，当 x= =3 时，二次函数 z 取得最大值 ； 即预测 x=3 时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大 19如图，在矩形 ， ， ， E 为边 中点，分别沿 叠，使平面 平面 与平面 直 （ ）证明： 平面 （ ）求点 E 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）证明四边形 平行四边形，可得 用线面平行的判定定理证明： 平面 （ ）利用 A 点 E 到平面 距离 【解答】 （ ）证明：分别取 点 M， N，连接 由已知可得 为腰长为 4 的等腰直角三角形， 所以 又 平面 平面 交线为 平面 同理可得： 平面 N， 四边形 平行四边形 又 面 面 平面 （ ）解：点 E 到平面 距离，也就是三棱锥 E 高 h 连接 第 14 页（共 19 页） 在 有 =2 ， 在 有 =4 可得 以 直角三角形 由 A Ch= C 可知 h= 点 E 到平面 距离为 20已知抛物线 C： x，经过点（ 4， 0）的直线 l 交抛物线 C 于 A， B 两点， M（ 4，0）， O 为坐标原点 （ ）证明： ； （ ）若直线 l 的斜率为 k（ k 0），求 的最小值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）设直线方程为 x=，代入抛物线方程得出交点的坐标关系，分别求出 用根与系数的关系化简即可得出结论； （ k= 和（ I）中的 入 化简，利用基本不等式得出最值 【解答】 证明：（ ）设 l： x=， A（ B（ 将 x= 代入 x 得 416=0， y1+m， 16 = = = ， 同理： ， 解：（ ） 直线 l 的斜率为 k， k= m 0 = = = （ 164） = =m+ 4， 第 15 页（共 19 页） 当且仅当 m= 2 时等号成立， 的最小值为 4 21设函数 f（ x） = +（ 1 k） x （ ）讨论 f（ x）的单调性； （ ）若 k 为正数，且存在 得 f（ k 的取值范围 【考 点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ ）求出函数的定义域，求导，讨论 k 的取值，分别解出 f（ x） 0， f（ x） 0 即可得出， （ ）由（ ）可求得函数的最小值， f（ 其转化成 +1 0，构造辅助函数，判断其单调性，即可求得 k 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =x+1 k = = ， （ ） k 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）上单调递增； （ ） k 0 时， x （ 0， k）， f（ x） 0； x （ k， +）， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， k）上单调递减， f（ x）在（ k， +）上单调递增 （ ）因 k 0，由（ ）知 f（ x） +的最小值为 f（ k） += +k ， 由题意得 +k 0，即 +1 0 令 g（ k） = +1 ，则 g（ k） = + = 0， g（ k）在（ 0， +）上单调递增，又 g（ 1） =0， k （ 0， 1）时， g（ k） 0，于是 +k 0； k （ 1， +）时， g（ k） 0，于是 +k 0 故 k 的取值范围为 0 k 1 请考生在第（ 22），（ 23），（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 接于圆 O， 交 于点 F， 圆 O 相切于点 A，与延长线相交于点 E， （ ）证明： A、 E、 D、 F 四点共圆； （ ）证明： 第 16 页（共 19 页） 【考点】 弦切角；圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （ ）由题意证明 已知 证 而可得 A， E， D， F 四点共圆 （ ）由圆內接四边形的性质得 而可证 可证明 【解答】 （ 本题满分为 10 分） 证明：（ ）因为 圆 O 相切于点 A， 所以 因为四边形 接于圆 O， 所以 又已知 所以 故 A， E， D， F 四点共圆 （ ）由（ ）得 又 弧所对的圆周角相等）， 所以 故 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，曲线 （ 为参数， 0 ），曲线 曲线 于原点对称，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =2（ 0 ），过极点 O 的直线 l 分别与曲线 交于点 A， B， C （ ）求曲线 极坐标方程； （ ）求 |取值范围 【考点】 参数方程化成普通方程；简单曲线的极