2016年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x| 2 x 2， x Z， N=y|y=x M则集合 MN 非空子集的个数是（ ） A 0 B 1 C 3 D 4 2设 i 是虚数单位，则复数 Z= 的共轭复数的虚部是（ ） A B i C D 3已知数列 足： ， = ，则数列 前 21 项的和为（ ） A 5 B 6 C 11 D 13 4设 z=kx+y，其中实数 x， y 满足 ，若 z 的最大值为 12，则实数 k 的值是（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 5设等边 长为 6，若 ， ，则 等于（ ） A 6 B 6 C 18 D 18 6已知函数 2，则三角式 的值为（ ） A B C D 7在（ 4） 3（ x+3）的展开式中，常数项是（ ） A 480 B 240 C 480 D 240 8某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是 （ ） A B C D 1 9在 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的五个数中随机地抽取一个数记为 b，则所得两位数 是偶数的概率 P 为（ ） A B C D 10正四棱柱的体积为 8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（ ） A 4 B C 12 D 12 第 2 页（共 21 页） 11已知 别是双曲线 =1（ a 0）的两个焦点， O 为坐标原点，圆 O 是以直径的圆，直线 l： y= x 4 与圆 O 相交，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1 C 1， +） D（ 1， +） 12已知定义在 R 上函数 f（ x）的值域是（ ， 0，并且函数 f（ x）单调，则方程 x） 3f（ x） 1=0 的解的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 3a+23， a表示不超过 a 的最大整数，则 a等于 14如图，它是一个算法的流程图，最后输出的 k 值为 15已知点 P 为抛物线 x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影为 M，点 A 的坐标为 ，则 |最小值是 16已知数列 前 n 项和为 ， =（ n+1）（ n N*），则满足不等式2200 的最大正整数 n 的值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17在 ，角 C 所对的边长为 c， 面积为 S，且 （ =1 （ I） 求 内角 C 的值； （ 证： 4 S 第 3 页（共 21 页） 18某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 y（ g）与尺寸 x（ 间近似满足关系式 y=a， b 为大于 0 的常数）现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下： 尺寸（ 38 48 58 68 78 88 质量（ g） 数据作了初步处理，相关统计量的值如下表： ）根据所给数据，求 y 关于 x 的回归方程； （ ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（ ， ）内时为优等品现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望 附：对于一组数据（ （ ，（ 其回归直线 u=+v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ， = 19在单位正方体 ， E， F 分别是 中点 （ 1）证明： （ 2）求 平面 角的正弦值 20已知椭圆 + =1（ a b 0），直线 x= （ c 是椭圆的焦距长的一半）交 x 轴于 圆的上顶点为 B，过椭圆的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线交椭圆的第一象限于 P 点，交 D 点，若点 D 满足 2 = + （ O 为坐标原点） （ I）求椭圆的离心率； （ 半焦距为 3，过点 A 的直线 l 交椭圆于两点 M、 N，问在 x 轴上是否存在定点 C 使 为常数？若存在，求出 C 点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =ex+m （ I） 设 x=1 是函数 f（ x）的极值点，求证： e； （ 设 x=函数 f（ x）的极值点，且 f（ x） 0 恒成立，求 m 的取值范围（其中常数 a 满足 ） 第 4 页（共 21 页） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， C， E， ， （ I）求证： 求 长； （ 长 F，使 O，连接 么直线 O 相切吗？为什么？ 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 经过点 P（ 1， 2），倾斜角 = （ I）写出直线 l 的参数方程； （ l 与圆 x2+ 相交与两点 A， B，求点 P 到 A， B 两点的距离之积 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =x+ ， x （ 0， +） （ I）当 a=1 时，试用函数单调性的定义，判断函数 f（ x）的单调性； （ x 3， +），关于 x 不等式 x+ |m |+|m+ |恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一 项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x| 2 x 2， x Z， N=y|y=x M则集合 MN 非空子集的个数是（ ） A 0 B 1 C 3 D 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 列举出 M 中不等式的整数解确定出 M，将 M 中元素代入 N 中计算求出 y 的值，确定出 N，进而求出 M 与 N 的交集，即可作出判断 【解答】 解： M=x| 2 x 2， x Z= 1， 0， 1， 2， N=y|y=x M=0， 1，4， MN=0， 1， 则 MN 非空子集的个数是 22 1=3， 故选： C 2设 i 是虚数单位，则复数 Z= 的共轭复数的虚部是（ ） A B i C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的四则运算进行求解即可 【解答】 解： Z= = = = + i， 则复数 Z= 的共轭复数是 i， 则虚部是 ， 故选： C 3已知数列 足： ， = ，则数列 前 21 项的和为（ ） A 5 B 6 C 11 D 13 【考点】 数列的求和 【分析】 利用分组求和、递推关系即可得出 【解答】 解： = ， +， 则数列 前 21 项的和 = x2+（ =1+10 =6， 故选： B 第 6 页（共 21 页） 4设 z=kx+y，其中实数 x， y 满足 ，若 z 的最大值为 12，则实数 k 的值是（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足约束条件 ，的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步利用目标函数 z=kx+y 的最大值为 12，判断目标函数经过的点，即可求出 k 的值 【解答】 解： 由变量 x， y 满足约束条件 ，作出可行域： z=kx+y 的最大值为 12，即 y= kx+z 在 y 轴上的截距是 12， 目标函数 z=kx+y 经过 的交点 A（ 4， 4）， 12=4k+4；解得 k=2 故选： A 5设等边 长为 6，若 ， ，则 等于（ ） A 6 B 6 C 18 D 18 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意得出 = （ ）， = ，运用数量积求解即可 【解答】 解： 等边 长为 6，若 ， ， 第 7 页（共 21 页） = （ ）， = ， = （ 2 2 ） = （ 36 6 ） = 18， 故答案为： C 6已知函数 2， 则三角式 的值为（ ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由已知结合辅助角公式求得 ，再由同角三角函数的基本关系式化简求得答案 【解答】 解： 2， ，则 ） = 1， ， 则 ， = = 故选： A 7在（ 4） 3（ x+3）的展开式中，常数项是（ ） A 480 B 240 C 480 D 240 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 首先将第一个因数分解为二项式，然后发现常数项得到的可能情况即可 【解答】 解：（ 4） 3（ x+3） =（ x ） 6（ x+3）， 当取 x+3 中的 3 时， 取常数项，为 ，此时的常数为 480； 当取 x+3 的 x 时， 取 x 1，而其展开式不可能有这样的项， 所以在（ 4） 3（ x+3）的展开式中，常数项是 480； 故选 A 8某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（ ） 第 8 页（共 21 页） A B C D 1 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论 【解答】 解：当底面面面最大值，底面为正方形， 此时 V= 1 1 2= ， 1 ， 故该几何体的体积不可能是 1， 故选： D 9在 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的五个数中随机地抽取一个数记为 b，则所得两位数 是偶数的概率 P 为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 确定基本事件的情况，利用古典概型的概率公式求解即可 【解答】 解：由题意， a 有 5 种取法， b 有 5 种取法，故共有 5 5=25 种； 两位数 是偶数， b 取 0， a 有 5 种取法， b 取 2 或 4， a 有 4 种取法，故共有 5+2 4=13 种， 所得两位数 是偶数的概率 P= 故选： D 10正四棱柱的体积为 8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（ ） A 4 B C 12 D 12 【考点】 球内接多面体 【分析】 通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径的最小值即可求出球的体积 【解答】 解：设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h，则 正四棱柱的体对角线即为球的直径， 2r =2 r 的最小值为 ， 故该正四棱柱外接球体积的最小值为 V= （ ） 3=4 故选： A 第 9 页（共 21 页） 11已知 别是双曲 线 =1（ a 0）的两个焦点， O 为坐标原点，圆 O 是以直径的圆，直线 l： y= x 4 与圆 O 相交，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1 C 1， +） D（ 1， +） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据直线 l： y= x 4 与圆 O 相交，圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可求出实数 a 的取值范围 【 解答】 解：由题意，圆的半径为 直线 l： y= x 4 与圆 O 相交， ， ， 2， 1 a 0， a 1 故选： D 12已知定义在 R 上函数 f（ x）的值域是（ ， 0，并且函数 f（ x）单调，则方程 x） 3f（ x） 1=0 的解的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 令 t=f（ x），得到关于 t 的函数 g（ t），通过求导得到函数 g（ t）的大致图象，从而判断出所求方程解的个数 【解答】 解：令 t=f（ x），则有 3t 1=0， 令 g（ t） =3t 1， g（ t） =33=3（ t+1）（ t 1）， 于是可得： g（ t）的图象如下： ， 方 程 3t 1=0 有 3 个不同的解，其中 2 个解是负的， 而函数 f（ x）的值域是（ ， 0，并且函数 f（ x）单调， 方程 x） 3f（ x） 1=0 有 2 个不同的实数解， 第 10 页（共 21 页） 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 3a+23， a表示不超过 a 的最大整数，则 a等于 4 【考点】 函数的值 【分析】 由题意 43=64， 53=125，根据 3a+23， a表示不超过 a 的最大整数，即可得出结论 【解答】 解：由题意 43=64， 53=125， 3a+23， a表示不超过 a 的最大整数， a=4 故答案为： 4 14如图，它是一个算法的流程图，最后输出的 k 值为 5 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， k 的值，当 S=21， k=5 时，不满足条件 S 20，退出循环，输出 k 的值为 5 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 k=1， S=0 满足条件 S 20， S=21=2， k=2 满足条件 S 20， S=21+22=5， k=3 满足 条件 S 20， S=5+23=13， k=4 满足条件 S 20， S=13+24=21， k=5 不满足条件 S 20，退出循环，输出 k 的值为 5 故答案为： 5 第 11 页（共 21 页） 15已知点 P 为抛物线 x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影为 M，点 A 的坐标为 ，则 |最小值是 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长 准线于 H 点，由抛物线的定义可得 |故 |=| ，由 | |得所求的最小值为 | 利用两点间的距离公式求得 |即可得到 |最小值 | 的值 【解答】 解：依题意可知焦点 F（ ， 0），准线 x= ，延长 准线于 H 点，则由抛物线的定义可得 | | =| | ，我们只有求出 |小值即可 由三角形两边长大于第三边可知， | | 当点 P 是线段 抛物线的交点时， |取得最小值为 |利用两点 间的距离公式求得 |5 则所求为 |5 = 故答案为： 16已知数列 前 n 项和为 ， =（ n+1）（ n N*），则满足不等式2200 的最大正整数 n 的值为 10 【考点】 数列的求和 【分析】 由 =（ n+1）（ n N*），可得 Sn= n（ n+1），利用递推关系可得： 利用等差数列的通项公式及其求和公式可得 入 2200 化简整理即可得出 【解答】 解： =（ n+1）（ n N*）， Sn= n（ n+1）， n 2 时， 1=（ n 1） n 1） n，相减可得： 数列 等差数列，公差为 2，首项为 2 +2（ n 1） =2n， =n（ n+1） 2200 化为： 2nn（ n+1） 2200，即 n+1） 1100=102 11， n 10 满足不等式 2200 的最大正整数 n 的值为 10 故答案为： 10 第 12 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17在 ，角 C 所对的边长为 c， 面积为 S，且 （ =1 （ I） 求 内角 C 的值； （ 证： 4 S 【考点】 余弦定理；两角和与差的正切函数 【分析】 （ I）利用正切的和差公式即可得出 （ 用余弦定理、基本不等式的性质与三角形面 积计算公式即可得出 【解答】 解：（ I） ， ， ， 即 ， A、 B 为 角， ，即 于是 （ 明：由 用余弦定理，有， 面积 ， ，于是 18某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 y（ g）与尺寸 x（ 间近似满足关系式 y=a， b 为大于 0 的常数）现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下： 尺寸（ 38 48 58 68 78 88 质量（ g） 数据作了初步处理，相关统计量的值如下表： ）根据所给数据，求 y 关于 x 的回归方程； 第 13 页（共 21 页） （ ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（ ， ）内时为优等品现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望 附：对于一组数据（ （ ，（ 其回归直线 u=+v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ， = 【考点】 独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）对 y=a， b 0）两边取科学对数得 vi=ui=u=bv+最小二乘法求得系数 及 ，即可求得 y 关于 x 的回归方程 ； （ ）由题意求得优等品的个数，求得随机变量 取值，分别求得 P（ =0）， P（ =1）， P（ =2）及 P（ =3），求得其分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）对 y=a， b 0）两边取科学对数得 令 vi=ui= u=bv+ 由 = ， 1， =e， 故所求回归方程为 （ ）由 ， x=58， 68， 78，即优等品有 3 件， 的可能取值是 0， 1， 2， 3，且 ， ， ， 其分布列为： 0 1 2 3 第 14 页（共 21 页） P 19在单位正方体 ， E， F 分别是 中点 （ 1）证明： （ 2）求 平面 角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 （ 1）通过证明 平面 出 （ 2）过 C 作 M，则可证 平面 而 所求的角利用三角形相似求出 而得出线面角的正弦值 【解答】 证明：（ 1） 平面 平面 四边形 正方形， 又 面 面 ， 平面 面 （ 2）过 C 作 M，连结 平面 面 又 面 面 E=B， 平面 直线 平面 成的角 由 ，即 ，解得 = = 第 15 页（共 21 页） 20已知椭圆 + =1（ a b 0），直线 x= （ c 是椭圆的焦距长的一半）交 x 轴于 圆的上顶点为 B，过椭圆的右焦点 F 作 垂直于 x 轴的直线交椭圆的第一象限于 P 点，交 D 点，若点 D 满足 2 = + （ O 为坐标原点） （ I）求椭圆的离心率； （ 半焦距为 3，过点 A 的直线 l 交椭圆于两点 M、 N，问在 x 轴上是否存在定点 C 使 为常数？若存在，求出 C 点的坐标及该 常数值；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）由题意分别求得 D、 F 和 P 点坐标，根据向量加法的坐标表示求得 a 和 b 的关系、由椭圆的性质 a2=b2+ e= 即可求得 e； （ c=3，即可求得椭圆方程，并求得过点 A 的直线方程，代入椭圆方程，求得关于 0 求得 k 的取值范围，利用韦达定理，表示出 ，令 =u，（整理 68+432n 4u） k2+u 12=0，对任意 k （ ， ）都成立，求得关于 n和 u 的二元一次方程组，即可求得 n 的值，求得 C 点坐标 【解答】 解：（ I）由题意可知： A（ ， 0）， B（ 0， b）， 直线 方程是 ： ，将 x=c 代入，得 y= ， D（ 0， ），将 x=c 代入 ，得 y= （舍负）， P（ 0， ）， 2 = + ， 2（ 0， ） =（ c， 0） +（ 0， ），整理得： = ，即 a=2b， a2=b2+ 第 16 页（共 21 页） e= = ， 椭圆的离心率 ； （ c=3 时，椭圆的方程为： ，过 A（ 4， 0）的直线方程为 y=k（ x 4）， 将直线方程代入椭圆方程消去 y，整理得：（ 1+432412=0， =（ 32 4（ 1+4 6412） = 4（ 1612） 0， 解得： k ， 假设存在点 C（ n， 0），使得 为常数，设 M（ N（ 由韦达定理可知： x1+， x1， =（ n， （ n， =（ n） （ n） +y1 =（ n） （ n） +4）（ 4）， =（ 1+x1 n+4 x1+6 =（ 1+ （ n+4 +6k2=u， 整理得：（ 68+432n 4u） k2+u 12=0，对任意 k （ ， ）都成立， ，解得： ， 故在 x 轴上存在点（ ， 0）使为常数 21已知函数 f（ x） =ex+m （ I） 设 x=1 是函数 f（ x）的极值点，求证： e； （ 设 x=函数 f（ x）的极值点，且 f（ x） 0 恒成立，求 m 的取值范围（其中常数 a 满足 ） 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ I） 求导数，利用 x=1 是函数 f（ x）的极值点，求出 m，确定 f（ x）在（ 0， 1）上单调递减，在（ 1， +）上单调递增， f（ x） f（ 1） =1，即可证明： e； （ 明 f（ x）在（ 0， 单调递减，在（ +）上单调递增， f（ x）在 x=取得最小值，可得 f（ x） f（ = +x0+m， 利用 f（ x） 0 恒成立，得出+x0+m 0，进而得出 a，即可求 m 的取值范围 【解答】 （ I） 证明： f（ x） =ex+m 第 17 页（共 21 页） f（ x） =ex+m x=1 是函数 f（ x）的极值点， f（ x） =e1+m 1=0， m= 1， f（ x） =1 ， 0 x 1， f（ x） 0， x 1， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 1）上单调递减，在（ 1， +）上单调递增， f（ x） f（ 1） =1， 1 1， e； （ ： f（ x） =ex+m ，设 g（ x） =ex+m ，则 g（ x） =ex+m+ 0， g（ x）在（ 0， +）上单调递增， f（ x）在（ 0， +）上单调递增， x=函数 f（ x）的极值点， x= f（ x） =0 在（ 0， +）上的唯一零点， = ， x0+m= 0 x f（ x） f（ =0， x f（ x） f（ =0， f（ x）在（ 0， 单调递减，在（ +）上单调递增， f（ x）在 x=取得最小值， f（ x） f（ = +x0+m， f（ x） 0 恒成立， +x0+m 0， +x0+ ， a， m= a 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， C， E， ， （ I）求证： 求 长； （ 长 F，使 O，连接 么直线 O 相切吗？为什么？ 第 18 页（共 21 页） 【考点】 圆的切线的判定定理的证明；相似三角形的判定 【分析】 （ I）由 C，可得 C，再利用圆的性质可得 C= D，即 D进而得到 用相似三角形的性质即可得出 （ 线 O 相切分析如下：连接 于 O 的直径，可得 0利用勾股定理可得 是 O=得 0即 可证明 【解答】 解：（ I）