2016年山西省孝义市高考数学模拟最后一卷（文）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山西省孝义市高考数学模拟最后一卷（文科） 一、选择题 1若复数 z 满足 z=1 i+ ，则 z 的虚部为（ ） A i B C i D 2设集合 M=x|x2+x 0， N=x|2x ，则 M N 等于（ ） A 1， 0 B（ 1， 0） C（ 2， +） D（ 2， 0 3函数 f（ x） =|x| 6，则 f（ x）的零点个数为（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4已知向量 ， 满足 | |=2， | |=1，（ + ） =0，那么向量 ， 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 150 D 120 5直线 3x+4y=b 与圆 x2+2x 2y 2=0 相切，则 b=（ ） A 3 或 17 B 3 或 17 C 3 或 17 D 3 或 17 6如 图给出的是计算 + + + + 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ） A i 4030？ B i 4030？ C i 4032？ D i 4032？ 7某四棱锥的三视图 如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ） 第 2 页（共 19 页） A B 34 C D 17 8设 a， b， c 为三角形 边长， a 1， b c，若 ，且+ =2，则 B 角大小为（ ） A B C D 9设抛物线 C： 6x，斜率为 k 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，且 O 为坐标原点，则 l 恒过定点（ ） A（ 8， 0） B（ 4， 0） C（ 16， 0） D（ 6， 0） 10已知数列 an= 前 n 项和，若 2，则项数 n 的最大值为（ ） A 98 B 99 C 100 D 101 11定义域为 R 的可导函数 y=f（ x）的导函数 f（ x），满足 f（ x） f（ x），且 f（ 0） =2，则不等式 f（ x） 2解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， 2） C（ 0， +） D（ 2， +） 12设函数 f（ x） = ，若 f（ f（ ） =8，则 m=（ ） A 2 B 1 C 2 或 1 D 二、填空题 13设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=2， b=3， ，则 14已知不等式组 则 z= 的最大值为 15正方体 棱长为 4， E、 F 分别是棱 中点， 16过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 作渐近线的垂线，设垂足为 P（ P 为第一象限的点），延长 抛物线 p 0）于点 Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若 = （ + ），则双曲线的离心率的平方为 三、解答题 第 3 页（共 19 页） 17在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， = ，且 a+c=2 （ 1）求角 B； （ 2）求边长 b 的最小值 18某市运会期间 30 位志愿者年 龄数据如表： 年龄（岁） 人数（人） 19 7 21 2 28 3 30 4 31 5 32 3 40 6 合计 30 （ 1）求这 30 位志愿者年龄的众数与极差； （ 2）以十位为茎，个位数为叶，作出这 30 位志愿者年龄的茎叶图； （ 3）求这 30 位志愿者年龄的方差 19在三棱锥 D C=A=9， 20， M、 O 分别为棱 C 的中点， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求点 M 到平面 距离 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）， 别是其左、右焦点， A 是椭圆上一点， =0，直线 斜率为 ，长轴长为 8 （ 1）求椭圆 C 的方 程； （ 2）直线 y=（ k 0）交椭圆 C 于不同的点 E， F，且 E， F 都在以 B（ 0， 2）为圆心的圆上，求 k 的值 21已知 f（ x） =2x+5 （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）过（ 0， a）可作 y=f（ x）的三条切线，求 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22 等腰直角三角形 的中线， 点 M，延长 点 N， 点 F， 于点 E （ 1）求证； （ 2）求证： 第 4 页（共 19 页） 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为： 6，直线 l 的参数方程为： （ t 为参数），l 与 C 交于 点 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程及 l 的普通方程； （ 2）已知 3， 0），求 | |的值 选修 4等式选讲 24函数 f（ x） =|x| 2|x+3| （ 1）解不等式 f（ x） 2； （ 2）若存在 x R 使不等式 f（ x） |3t 2| 0 成立，求参数 t 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年山西省孝义市高考数学模拟最后一卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1若复数 z 满足 z=1 i+ ，则 z 的虚部为（ ） A i B C i D 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 化简 z，从而求出 z 的虚部即可 【解答】 解： z=1 i+ =1 i+ = ， 则 z 的虚部是 ， 故选： B 2设集合 M=x|x2+x 0， N=x|2x ，则 M N 等于（ ） A 1， 0 B（ 1， 0） C（ 2， +） D（ 2， 0 【考点】 并集及其运算 【分析】 化简集合 M， N，然后求出它们的并集即可 【解答】 解：由 x2+x 0，即 x（ x+1） 0，解得 1 x 0，即 M= 1， 0， 由 2x =2 2，即 x 2，即 N=（ 2， +）， 则 M N=（ 2， +） 故选： C 3函数 f（ x） =|x| 6，则 f（ x）的零点个数为（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 解方程，根据方程的根的个数，即可得出 f（ x）的零点个数 【解答】 解： x 0 时， x 6=0，解得 x= 2 或 3， x=3； x 0 时， x2+x 6=0，解得 x=2 或 3， x= 3； f（ x）的零点个数为 2 个 故选： B 4已知向量 ， 满足 | |=2， | |=1，（ + ） =0，那么向量 ， 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 150 D 120 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 展开（ + ） =0，代入数量积公式即可求得向量 ， 的夹角 【解答】 解：设向量 ， 的夹角为 ， 由 | |=2， | |=1，（ + ） =0， 第 6 页（共 19 页） 得 ， 即 2 1 1， 0， 180， =120 故选： D 5直线 3x+4y=b 与圆 x2+2x 2y 2=0 相切，则 b=（ ） A 3 或 17 B 3 或 17 C 3 或 17 D 3 或 17 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先求出圆 x2+2x 2y 2=0 的圆心和半径，由直线 3x+4y=b 与圆 x2+2x 2y 2=0 相切，得到圆心到直线 3x+4y=b 的距离等于半径，由此能求出 b 【解答】 解：圆 x2+2x 2y 2=0 的圆心（ 1， 1），半径 r= =2， 直线 3x+4y=b 与圆 x2+2x 2y 2=0 相切， 圆心（ 1， 1）到直线 3x+4y=b 的距离 d= =2， 解得 b= 3 或 b=17 故选： D 6如图给出的是计算 + + + + 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ） A i 4030？ B i 4030？ C i 4032？ D i 4032？ 【考点】 程序框图 【分析】 程序的功能是求 S= + + + + 的值，且在循环体中， S=S+ 表示，每次累加的是的值，故当 i 4032 应满足条件进入循环，进而得到答案 【解答】 解： 程序的功能是求 S= + + + + 的值， 第 7 页（共 19 页） 且在循环体中， S=S+ 表示，每次累加的是的值， 故当 i 4032 应满足条件进入循环， i 4032 时就不满足条件 分析四个答案可得条件为： i 4032， 故选： C 7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ） A B 34 C D 17 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出对应的长方体，由三视图求出几何元素的长度，由长方体求出外接球的半径，由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥 P 图： 且四棱锥 P 长方体的一部分， 、 D=3， 该四棱锥和正方体的外接球 相同，设外接球的半径是 R， 则 2R= = ， R= ， 该四棱锥外接球的表面积 S=44， 故选： B 8设 a， b， c 为三角形 边长， a 1， b c，若 ，且+ =2，则 B 角大小为（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 + =2，化为 =2，可得 c2=b2+由，可得 2 = ， A ，解 得 A即可得出 B 【解答】 解： + =2， c b） +c+b） = =2， b2= c2=b2+ ， 2 = ， A ， A+ = ，解得 A= 则 B= = 故选： D 9设 抛物线 C： 6x，斜率为 k 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，且 O 为坐标原点，则 l 恒过定点（ ） A（ 8， 0） B（ 4， 0） C（ 16， 0） D（ 6， 0） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 l： x=my+b，代入抛物线 6x，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论 【解答】 解：设直线 l： x=my+b，（ b 0），代入抛物线 6x，可得 1616b=0 设 A（ B（ 则 y1+6m， 16b， b）（ b） = ， 可得 16b=0， b 0， b=16， 直线 l： x=6， 直线 l 过定点（ 16， 0） 故选： C 10已知数列 an= 前 n 项和，若 2，则项数 n 的最大值为（ ） A 98 B 99 C 100 D 101 【考点】 数列的求和 第 9 页（共 19 页） 【分析】 利用对数的运算性质展开 加后求得 由 2 求得项数 n 的最大值 【解答】 解：由 an=n+1） 得 Sn=a1+ +（ +（ +n+1） n+1） 由 2，得 n+1） 2，即 n+1 100， n 99， n N*， n 的最大值为 98 故选： A 11定义域为 R 的可导函数 y=f（ x）的导函数 f（ x），满足 f（ x） f（ x），且 f（ 0） =2，则不等式 f（ x） 2解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， 2） C（ 0， +） D（ 2， +） 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析】 构造函数 g（ x） = ，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出 x 的范围 【解答】 设 g（ x） = ， 则 g（ x） = ， f（ x） f（ x）， g（ x） 0，即函数 g（ x）单调递增 f（ 0） =2， g（ 0） =f（ 0） =2， 则不等式等价于 g（ x） g（ 0）， 函数 g（ x）单调递增 x 0， 不等式的解集为（ 0， +）， 故选： C 12设函数 f（ x） = ，若 f（ f（ ） =8，则 m=（ ） A 2 B 1 C 2 或 1 D 【考点】 分段函数的应用；函数的值；函数的零点；函数的零点与方程根的关系 【分析】 直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ，若 f（ f（ ） =8， 可得 f（ 4 m） =8， 若 4 m 1，即 3 m，可得 5（ 4 m） m=8，解得 m=2，舍去 若 4 m 1，即 m 3，可得 24 m=8，解得 m=1 故选： B 第 10 页（共 19 页） 二、填空题 13设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=2， b=3， ，则 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由余弦定理可得：解得 c=3 等腰三角形于是 = 利用 可得 出 【解答】 解：由余弦定理可得： c2=a2+22+32 2 2 3 =9， 解得 c=3 等腰三角形 = = ， 故答案为： 14已知不等式组 则 z= 的最大值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，结合 的几何意义求出 z 的最大值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 第 11 页（共 19 页） 的几何意义表示平面区域内的点与点 A（ 1， 1）的直线的斜率， 结合图象直线过 ，斜率最大， 此时 z= =3， 故答案为： 3 15正方体 棱长为 4， E、 F 分别是棱 中点， 【考点】 用空间向量求直线间的夹角、距离 【分析】 先建立空间直角坐标系以 D 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴，规定棱长为 1，再求出 线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可 【解答】 解：以 x 轴， y 轴， z 轴；建立空间直角坐标系以 D 为坐标原点，棱长为 1 A（ 0， 1， 0）， B（ 1， 1， 0）， 1， 1， 1）， 1， 0， 1） 0， 1， 1） E（ ， 1， 0）， F（ 1， 1， ） 可得 =（ ）， =（ 0， 1， ） = ； | |= = ， | |= = 则 故答案为： 第 12 页（共 19 页） 16过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 作渐近线的垂线，设垂足为 P（ P 为第一象限的点），延长 抛物线 p 0）于点 Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若 = （ + ），则双曲线的离心率的平方为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由 = （ + ），可得 P 为 中点，设 F（ c， 0） ，一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点 P 的坐标，由中点坐标公式可得 Q 的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值 【解答】 解：由 = （ + ），可得 P 为 中点， 设 F（ c， 0），由渐近线方程 y= x， 可设直线 方程为 y= （ x c）， 由 解得 P（ ， ）， 由中点坐标公式可得 Q（ c， ）， 代入抛物线的方程可得 =2p（ c）， 由题意可得 c= ，即 2p=4c， 即有 ， 由 e= ，可得 1=0， 解得 故答案为： 三、解答题 17在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， = ，且 a+c=2 （ 1）求角 B； （ 2）求边长 b 的最小值 【考点】 余弦定理的应用；正弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理化简表达式，求角 B；个两角和与差的三角函数化简求解即可 （ 2）利用余弦定理求边长 b 的最小值推出 b 的表达式，利用基本不等式求解即可 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解：（ 1）在 ，由已知 ， 即 2 B+C） =24 分 ， 0， 故 6 分 （ 2） a+c=2， 由（ 1） ，因此 b2=a2+2a2+9 分 由已知 a+c） 2 3 310 分 11 分 故 b 的最小值为 1 12 分 18某市运会期间 30 位志愿者年龄数据如表： 年龄（岁） 人数（人） 19 7 21 2 28 3 30 4 31 5 32 3 40 6 合计 30 （ 1）求这 30 位志愿者年龄的众数与极差； （ 2）以十位为茎，个位数为叶，作出这 30 位志愿者年龄的茎叶图； （ 3）求这 30 位志愿者年龄的方差 【考点】 极差、方差与标准差；频率分布表；茎叶图 【分析】 （ 1）根据表格读出即可；（ 2）按要求作出茎叶图即可；（ 3）根据求平均数和方差的公式求出即可 【解答】 解：（ 1）众数为 19，极差为 21 2 分， （ 2）茎叶图如图下： 5 分 （ 3）年龄的平均数为： ， 8 分 故这 30 位志愿者年龄的方差为： 12 分 第 14 页（共 19 页） 19在三棱锥 D C=A=9， 20， M、 O 分别为棱 C 的中点， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求点 M 到平面 距离 【考点 】 点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）证明 出 平面 后证明平面 平面 （ ）利用 D 出相关几何体的底面面积，以及高，求解点 M 到平面 【解答】 解：（ I）证明：由题意： D=4， ， 0，即 又 在 ， D， O 为 中点， C=O， 平面 又 面 平面 平面 （ ）由（ I）知 平面 面积为 又 在 ， D=4，得 ， D=8， D ， 点 M 到平面 距离 为 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）， 别是其左、右焦点， A 是椭圆上一点， =0，直线 斜率为 ，长轴长为 8 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）直 线 y=（ k 0）交椭圆 C 于不同的点 E， F，且 E， F 都在以 B（ 0， 2）为圆心的圆上，求 k 的值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）利用直线的斜率，求出离心率，通过长轴长求解椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程 第 15 页（共 19 页） （ 2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理求出 D 的坐标，然后求解 斜率，求解 k 的值 【解答】 解：（ 1） 别是其左、右焦点， A 是椭圆上一点， =0， A（ c，）， 直线 斜率为 ， ， ， ， ， ， ， 2a=8， a=4， ， ， （ 2） ，消去 y，可得 ， （ 1+427=0， ， ， 中点 ， 由题意 ， ， ， ， 21已知 f（ x） =2x+5 （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）过（ 0， a）可作 y=f（ x）的三条切线，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（ 2）设切点为（ f（ ，表示出切线方程，求出 a 的表达式，通过求出求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =3x 2=（ 3x+2）（ x 1）， 故， x （ 1， +），（ ， ）时， f（ x）单调递增， 单调递减 （ ）过（ 0， a）可作 y=f（ x）的切线， 设切点为（ f（ ，则切线的方程为： y f（ =f（ x 即 ， 第 16 页（共 19 页） 又（ 0， a）在切线上， 故 ， 即 由已知得： y=a 与 有三个交点， y= 6x2+x，令 y=0，得 ， ， ， 故 a 的取值范围为 选修 4何证明选讲 22 等腰直角三角形 的中线， 点 M，延长 点 N， 点 F， 于点 E （ 1）求证； （ 2）求证： 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 （ 1） 通