《高等数学复习资料》第一章第一次

同学们好！,-高等数学课程介绍,高等数学,同济大学数学系编,上、下册第六版,主讲教师：祁晓光授课单位：数学科学学院,高等教育出版社,一、为什么学数学,学习数学的目的：1、训练思维、提高分析问题与解决问题的能力；2、为后继基础课与专业课打基础；3、为本科毕业后的继续深造打下基础。,一、二年级全校必修数学课：高等数学线性代数与空间解析几何概率与数理统计选修课：数学建模数学实验,二、大学数学学什么,连续基础,离散基础,随机基础,三、高等数学内容简介,微积分,级数,方程,各部分内容比例分布,83%,9%,8%,以极限为基础函数为研究对象,Calculus,四、学习进度、参考书,学习进度：第一学期：第二学期：一元函数微积分17章;线性代数多元函数微积分,教材类：同济大学数学系高等数学第六版高等教育出版社2010指导书类：1、同济大学数学系高等数学少学时第三版高等教育出版社20062、同济大学数学系学习辅导与习题选解第六版高等教育出版社2010,五、学习要求与辅导答疑,开课准备一：课代表一人/每班有热心、在数学学习方面上通下达每周按时收、发作业,开课准备二：小作业本：2大作业本：全校统一发放,五、学习要求与辅导答疑,学习要求与建议：怎么学：课前预习-课堂听讲、适当笔记-课后复习-浏览参考资料-完成作业要求：小作业本每周交一次；大作业每章结束后交一次；(周二下午之前交上),五、学习要求与辅导答疑,辅导答疑方式：地点：7JC段102时间：上午：8：3011：00下午：2：305：00,开课时间：第4-18周考试方式：闭卷成绩评定：卷面*80%平时成绩*20%,考试与成绩评定,第一章函数与极限,1映射与函数,2数列的极限,3函数的极限,4无穷小与无穷大,5极限运算法则,6极限存在准则两个重要极限,7无穷小的比较,8函数的连续性与间断性,9连续函数的运算与初等函数的连续性,10闭区间上连续函数的性质,一基本概念,二映射,三函数,四小结思考,第一节映射与函数,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,有限个元素无限个元素,集合的表示方法,不含任何元素的集合称为空集.,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,表示“对于任意给定的”,注,注,3.邻域:,1.【定义】,设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规,则f,使得,有唯一确定的,与之对应,则,称f为从X到Y的映射,记作,元素y称为元素x在映射f下的像,记作,元素x称为元素y在映射f下的原像.,集合X称为映射f的定义域;记作Df=X,Y的子集,称为f的值域.,二、映射,1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素：（1）集合X，即定义域Df=X；（2）集合Y，即限制值域的变化范围;（3）对应规则f,使每个xX，有惟一确定的y=f(x)与之时应,2映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不要求原像也具有惟一性,注意:,1.映射又称算子.根据X,Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称：,泛函：从非空集合X到数集Y的映射；,变换：从非空集到它自身的映射；,函数：从实数集到实数集的映射.,说明：,如：实变函数与泛函分析,如：线性代数中的线性变换、矩阵变换、变换群等.,如：高等数学中的函数,对映射的分类,若,则称f为满射;,若,有,则称f为单射;,若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.,满射,单射,双射,2.【逆映射与复合映射】,【逆映射】,是单射,定义,称映射为映射的逆映射,【注】,满且单，故而是双射,只有f是单射才存在逆映射.,【复合映射】,定义,【注意】,三、函数,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域，记作,1、函数概念,自变量,因变量,对应法则f,【函数的两要素】,定义域与对应法则.,【约定】定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.（自然定义域）,【注意】,两要素是判断两函数是否相同的唯一标准.,与字母无关,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。,(1)绝对值函数,几个特殊的函数举例,(2)符号函数,(3)取整函数y=xx表示不超过的最大整数,阶梯曲线,(4)狄利克雷函数,(5)取最值函数,例,解,(1)函数的有界性,上界,下界,定义,则称函数f(x)在X上有界.否则称无界.,2、函数的特性,表示“存在”,注,有界,无界,【结论】,（P22习题第13题）,f(x)在X上无界,(2)函数的单调性:,(3)函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(4)函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,周期为,【注】周期函数不一定存在最小正周期.,【例如】常量函数,狄利克雷函数,x为有理数,x为无理数,3、反函数与复合函数,1.【反函数】,直接函数与反函数在同一坐标系下的图形关于直线y=x对称.,例,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,2.【复合函数】,(1)【定义】,复合映射的特例.,【说明】通常f称为外层函数，g称为内层函数.,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,u称为中间变量.,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,则定义,和(差),积,商,4、函数的运算,5、初等函数,幂函数指数函数对数函数三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,1.【幂函数】,2.【指数函数】,3.【对数函数】,4.【三角函数】,正弦函数,余弦函数,正切函