测试技术课件第二章信号分析基础

2.5信号的频域分析,第二章、信号分析基础,信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。,傅里叶变换,一、频域分析的概念,131Hz,147Hz,165Hz,175Hz,频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。,2.5信号的频域分析,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,2.5信号的频域分析,信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,时域分析与频域分析的关系,2.5信号的频域分析,二、周期信号的频谱分析,1、傅里叶级数的三角函数展开式：,若x(t)满足狄里赫利条件，即：,(1)x(t)在a,b上连续或只有有限个第一类间断点；(2)x(t)在a,b上只有有限个极值点。,2.5信号的频域分析,式中:,T周期；,基波圆频率；,2.5信号的频域分析,公式,第n阶谐波的初相位，,若函数满足x(-t)=-x(t)，为奇函数，傅立叶系数中只有正弦项:,An第n阶谐波的幅值，,若函数满足x(t)=x(-t)，为偶函数，傅立叶系数中只有余弦项和常数项：,2.5信号的频域分析,An,公式,上面公式表明：x(t)展开成傅立叶级数是无穷级数。(1)含有无穷多的频率成分；(2)相邻频率的间隔为2/T，即谱线离散，称为离散频谱。频谱(幅频图和相位图)：以角频率为横坐标，分别画出An和n图，即得：一次谐波（基波）分量；二次谐波、三次谐波、,2.5信号的频域分析,解：x(t)在一个周期内的表达式为:,例求周期方波的傅立叶级数，并画出幅频图,2.5信号的频域分析,得：,满足x(-t)=x(t)，偶函数，bn=0;,2.5信号的频域分析,x(t),图2.5-2傅立叶级数频谱,2.5信号的频域分析,2、傅立叶级数的复指数函数展开式,欧拉公式：,则,得,2.5信号的频域分析,x(t),复数傅立叶系数cn：,一般情况下，cn为复数，写成：,|cn|为复数cn的模，为复数cn的幅角,(n=0,1,2,),2.5信号的频域分析,an,bn,解:,则,画出|cn|的复数幅频图和的复数相频图。以cn的实部或虚部与频率关系作频谱图实频谱图和虚频谱图。,例求周期方波（如图2.5-1）的复指数形式的傅立叶级数，并画出幅频图。,2.5信号的频域分析,x(t),例子：方波信号的频谱展开,2.5信号的频域分析,波形合成与分解,周期信号都可以用三角函数sin(2nf0t),cos(2nf0t)的组合表示,也就是说，可以用一组正弦波和余弦波来合成任意形状的周期信号。,三、非周期信号的频谱分析,非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。,1、非周期信号和傅立叶积分前述复杂周期信号的复指数形式傅立叶级数为：,2.5信号的频域分析,式中，谱线之间的频率间隔当周期趋于无穷大时，离散变量变为连续变量，求和运算变成积分运算,于是:,将cn代入，得：,2.5信号的频域分析,x(t),(1)满足狄里赫利条件(2)满足函数在无限区间上绝对可积条件括号内的积分，由于时间t是积分变量，故积分后是的函数，记作X()，即：,则,或,非周期信号展开成傅立叶积分：,2.5信号的频域分析,2、非周期信号的频谱,X()的量纲是单位频宽上的幅值，具有密度的含义频谱密度。一般情况下，X()是复数，含有幅值和相位两种信息。,傅立叶变换偶对：,2.5信号的频域分析,解:,例求矩形脉冲信号的频谱（如图2.5-4）,2.5信号的频域分析,幅值谱密度和相位谱密度为:,2.5信号的频域分析,图2.5-4矩形脉冲的波形与频谱图,2.5信号的频域分析,非周期信号特点：1）分解成许多不同频率的正、余弦分量之和，包含了从零到无限高的所有频率分量；2）频谱是连续的；3）|X()|和|cn|的量纲不同，|cn|与原信号的幅值量纲相同，|X()|的量纲是单位频宽的幅值；4）频域描述的基础是傅立叶积分。,2.5信号的频域分析,3、傅立叶变换的基本性质,（2）线性叠加性,（1）奇偶虚实性,（3）对称性,（4）时间尺度改变特性,2.5信号的频域分析,（5）时移特性,（6）频移特性,（7）微分、积分特性,2.5信号的频域分析,（8）卷积特性,（9）巴什瓦（Parseval,帕斯维尔）等式,2.5信号的频域分析,例子：求下图波形的频谱,2.5信号的频域分析,根据傅立叶逆变换，有,或者：,四、功率谱密度函数相关函数是在时域上的分析，功率谱是在频域上的分析。1、自功率谱密度函数,2.5信号的频域分析,Sx（f）曲线下和频率轴所包围的面积信号的平均功率，故称Sx（f）为功率谱密度函数。,单边功率谱Gx(f)代替双边功率谱,2.5信号的频域分析,b.作为设备工作状况分析和故障诊断的依据。,应用：a.建立随机信号的频率结构,图2.5-5新旧滚动轴承振动功率谱图,2.5信号的频域分析,c.求取传递系统的频率响应,+,+,(a),(b),图2.5-6机械系统传递特性(a)理想情况(b)实际情况,2.5信号的频域分析,对于一个线性系统，如图2.5-6(a)所示，若输入为x(t),输出为y(t),则在理想情况下，系统的频率响应函数H(f)应为：,式中X(f)输入x(t)的傅立叶变换；Y(f)输出y(t)的傅立叶变换。,实际上，由于受外界干扰，输入和输出均有噪声混入，如图2.5-6(b)所示，该系统的实际输入为：,式中n(t)噪声干扰输入。,2.5信号的频域分析,系统的实际输出为（如图2.5-6(b)所示）：,2.5信号的频域分析,式中yn(t)输入噪声n(t)所引起的输出；m(t)在系统输出端引入的干扰噪声。,如将输出和输入的傅立叶变换之比作为系统的频率响应函数，则,2、互功率谱密度函数,根据傅立叶逆变换，有,2.5信号的频域分析,输入、输出的自功率谱密度函数与系统频率响应函数的关系为：,通过输入、输出自功率谱的分析，就能得到系统的幅频特性，但丢失了相位信息，因此不能得出系统的相频特性。,b.消除噪声影响c.求x、y的相干程度,应用：,2.5信号的频域分析,a.求取传递系统的频率响应,表明:联系x(t)和y(t)的系统不完全是线性的；,系统的输出y(t)是由输入x(t)和其他信号共同输入所引起的；测试中有噪声干扰混入。,2.5信号的频域分析,典型信号的频谱分析,2.5信号的频域分析,4、频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。,案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。,2.5信号