2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，0，1，2，则A，0，B，C，1，D，2，2若，则A0或2B0C1或2D13下列与函数定义域和单调性都相同的函数是ABCD4已知等差数列中，则此数列中一定为0的是ABCD5若单位向量，夹角为，且，则实数AB2C0或D2或6高中数学课程标准版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图，可用于对研究对象的多维分析）A甲的数据分析素养高于乙B甲的数学建模素养优于数学抽象素养C乙的六大素养中逻辑推理最差D乙的六大素养整体水平优于甲7命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立：，为奇函数，则下列命题是真命题的是ABCD8在中，则边上的高为AB2CD92020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有A6种B12种C24种D36种10在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：；平面；和成角为正确命题的个数是A0B1C2D311已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，则抛物线方程为ABCD12已知，则不等式的解集是A，B，C，D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，满足约条条件，则的最大值为14若，则15已知函数在区间，上的值小于0恒成立，则的取值范围是16三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，三棱锥体积的最大值为；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（）求的值；（）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：，18（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，分别为，的中点，为棱上一点，若平面（）求线段的长；（）求二面角的余弦值19（12分）已知数列满足，且（）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（）设，求数列的前项和20（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为（）求的方程；（）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由21（12分）已知函数（）求曲线在点，（1）处的切线方程；（）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）（）求和的普通方程；（）过坐标原点作直线交曲线于点异于，交曲线于点，求的最小值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数（）若，解关于的不等式；（）若当时，恒成立，求实数的取值范围2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，0，1，2，则A，0，B，C，1，D，2，【思路分析】可解出集合，然后进行交集的运算即可【解析】；，1，故选：【归纳与总结】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2若，则A0或2B0C1或2D1【思路分析】根据复数求模公式计算即可【解析】因为，或2；故选：【归纳与总结】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题3下列与函数定义域和单调性都相同的函数是ABCD【思路分析】可看出，在定义域上单调递减，然后可判断选项的函数在定义域上单调递增，而选项，的函数的定义域都不是，从而得出选项，都错误，只能选【解析】在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，的定义域为，在定义域上单调递减，的定义域为故选：【归纳与总结】本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题4已知等差数列中，则此数列中一定为0的是ABCD【思路分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解析】等差数列中，化为：则此数列中一定为0的是故选：【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5若单位向量，夹角为，且，则实数AB2C0或D2或【思路分析】根据条件即可求出，然后对两边平方，进行数量积的运算即可得出，解出即可【解析】，且，解得或故选：【归纳与总结】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题6高中数学课程标准版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图，可用于对研究对象的多维分析）A甲的数据分析素养高于乙B甲的数学建模素养优于数学抽象素养C乙的六大素养中逻辑推理最差D乙的六大素养整体水平优于甲【思路分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解【解析】对于选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项错误，对于选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项错误，对于选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项错误，对于选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项正确，故选：【归纳与总结】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题7命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立：，为奇函数，则下列命题是真命题的是ABCD【思路分析】根据题意，由诱导公式分析可得为真命题，分析函数在时的奇偶性，可得为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案【解析】根据题意，命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立，当时，对任意实数，使得恒成立，故为真命题；命题，有，解可得，函数的定义域为，关于原点对称，有，即函数为奇函数，故其为真命题；则为真命题，、为假命题；故选：【归纳与总结】本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题8在中，则边上的高为AB2CD【思路分析】先利用平方关系求得，再由及正弦定理可求得，最后由等面积法求得边长的高【解析】，由正弦定理有，即，解得，即，即边上的高为故选：【归纳与总结】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题92020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有A6种B12种C24种D36种【思路分析】根据分类计数原理，分两类，若甲单独被派遣到县，若若甲不单独被派遣到县，问题得以解决【解析】若甲单独被派遣到县，则有种，若若甲不单独被派遣到县，则有种，故根据分类计数原理可得，共有种，故选：【归纳与总结】本题考查了分类计数原理，属于基础题10在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：；平面；和成角为正确命题的个数是A0B1C2D3【思路分析】如图对于，连接，可得，又平面，即可判断出正误对于，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，进而判断出正误；由于与不垂直，可得与不垂直，即可判断出正误由于，和所角为即可判断出正误【解析】如图对于，连接，则，而平面，所以；故正确；对于，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，因此不正确；由于与不垂直，与不垂直，因此平面不成立，和所角为和成角为正确正确命题的个数是2故选：【归纳与总结】本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，则抛物线方程为ABCD【思路分析】根据抛物线的定义和三角形的性质即可求出【解析】，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，过点作轴，解得，抛物线方程为，故选：【归纳与总结】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键12已知，则不等式的解集是A，B，C，D，【思路分析】观察，可得，于是等价转化为，即，再分析的单调性，脱“”即可求得答案【解析】，得：，又恒成立，为上的增函数，式可化为：，解得：，故选：【归纳与总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析出是关键，考查观察与推理、运算能力，涉及等价转化思想的运用，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，满足约条条件，则的最大值为4【思路分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解析】由，满足约条条件作出可行域如图：化目标函数为，由图可知，当直线过时，取得最大值，由，解得时，目标函数有最大值为故答案为：4【归纳与总结】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14若，则2【思路分析】直接利用定积分知识的应用和被积函数的原函数的求法和应用求出结果【解析】，整理得，所以，解得故答案为：2【归纳与总结】本题考查的知识要点：定积分知识的应用，被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型15已知函数在区间，上的值小于0恒成立，则的取值范围是，【思路分析】由题意可得，由此求得的取值范围【解析】函数在区间，上的值小于0恒成立，故的最大值小于零当，且，求得，故答案为：，【归纳与总结】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题16三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，三棱锥体积的最大值为；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为【思路分析】由于过球心，所以可得，面，所以当时体积最大，这时三角形为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积【解析】当过球心，所以，所以面，当时体积最大，因为，所以，所以最大体积为：；三棱锥体积最大时，三角形中，设三角形的外接圆半径为，则，所以，所以外接圆的面积为，故答案分别为：，【归纳与总结】本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（）求的值；（）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：，【思路分析】（）由小矩形面积之和为1即可求出；（）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出并与6.635比较，从而得出答案【解析】（）由图可知，解得；（）擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【归纳与总结】本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题18（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，分别为，的中点，为棱上一点，若平面（）求线段的长；（）求二面角的余弦值【思路分析】（）由线面垂直的性质可得，在中可求得，进而得到，再解，即可求得的长；（）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得所求余弦值【解析】（）平面，在平面内，设交于点，在中，可得，则，在中，则；（）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，2，0，0，故，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，则，可取，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为【归纳与总结】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于基础题19（12分）已知数列满足，且（）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（）设，求数列的前项和【思路分析】本题第（）题将递推式进行转化可得到，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列然后计算出数列的通项公式，再应用累加法可计算出数列的通项公式；第（）题先根据第（）题的结果可计算出数列的通项公式构造数列：令设数列的前项和为，可运用错位相减法计算出数列的前项和为，最后运用分组求和法计算出数列的前项和【解答】（）证明：依题意，由，可得，则，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，由上式可得，各项相加，可得：，（）由（）知，构造数列：令设数列的前项和为，则，两式相减，可得：，故【归纳与总结】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前项和考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题20（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为（）求的方程；（）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【思路分析】（）设的坐标，由离心率及直线和的斜率之积为点代入椭圆的方程，再由，之间的关系求出，进而求出椭圆的方程；（）设直线的方程，与椭圆联立求出的纵坐标，代入直线方程进而求出横坐标，即求出的坐标，再由椭圆令直线的求出的纵坐标，进而求出之积，有题意设直线的方程与椭圆联立求出的坐标，进而求出，进而求出为定值【解析】（）有题意可得，即，设，由直线和的斜率之积为可得，即，而在椭圆上，所以，所以，而可得：，所以椭圆的方程为：；（）设直线的方程为：，联立与椭圆的方程：，整理可得，所以，所以，所以，在中，令，即，所以，所以，有题意设的方程为：，代入椭圆中可得，所以，所以，所以，所以为定值【归纳与总结】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和两点间的距离公式，属于中档题21（12分）已知函数（）求曲线在点，（1）处的切线方程；（）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数【思路分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由已知对分类讨论，当时，显然成立，当时，原不等式可化为，然后构造函数，结合导数及函数的性质可求最小值的范围，可求【解析】，则曲线在点，（1）处的切线斜率（1），又（1），故曲线在点，（1）处的切线方程即，因为恒成立，当时，显然成立，当时，不等式可化为，令，则，因为在上单调递增，且，故存在使得当时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，令，则，将的最小值记为，则因此原式需要满足即恒成立，又，可知即可，即，且故可以取得的最大整数为2【归纳与总结】本题主要考