高考数学复习推理与证明、算法、复数第3节数学归纳法及其应用学案理新人教B版.docx

第3节数学归纳法及其应用最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知 识 梳 理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N+)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN+)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示常用结论与微点提醒1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.3.解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()解析对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n2)180，第一步要验证n3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3.答案C3.用数学归纳法证明“12222n12n1(nN+)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时，应得到()A.12222k22k12k11B.12222k2k12k12k1C.12222k12k12k11D.12222k12k2k11解析观察可知等式的左边共n项，故nk1时，应得到12222k12k2k11.答案D4.用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是()A.(k1)22k2 B.(k1)2k2C.(k1)2 D.(k1)2(k1)21解析由nk到nk1时，左边增加(k1)2k2.答案B5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN+)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真.解析由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1.答案2k1考点一利用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明：(nN+).证明(1)当n1时，等式左边，等式右边，等式左边等式右边，所以等式成立.(2)假设nk(kN+且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN+，等式都成立.规律方法用数学归纳法证明等式应注意的两个问题(1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值.(2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.【训练1】 设f(n)1(nN+).求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+).证明(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立.(2)假设nk(k2，kN+)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立.由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+).考点二利用数学归纳法证明不等式(典例迁移)【例2】 (经典母题)已知数列an，an0，a10，aan11a，求证：当nN+时，anan1.证明(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a2，即a1a2成立.(2)假设当nk(kN+，k1)时，0ak0，又ak1ak0，所以ak2ak110，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立.综上，可知anan1对任何nN+都成立.【迁移探究1】 在例2中把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nN+时，an1an.证明(1)当n1时，因为a2是方程aa210的根，又a21，所以a2，即a2a1成立.(2)假设当nk(kN+，k1)时，ak1ak0，又ak21，ak11，所以ak2ak110，所以ak2ak10，即ak2ak1，即当nk1时，anan1也成立.综上可知an2，对一切nN+，an0，an1，试证明an2.证明(1)当n1时，a1a2，即an2成立.(2)假设nk时，ak2成立，那么ak11，因为ak2，所以ak11，又因为函数yx在(1，)上单调递增，所以1(11)12，即ak12，所以当nk1时，an2成立，综上可知，an2对任何nN+都成立.规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.【训练2】 用数学归纳法证明：12(nN+，n2).证明(1)当n2时，12，命题成立.(2)假设nk(k2，且kN+)时命题成立，即12.当nk1时，120，nN+.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明(1)中的猜想.(1)解当n1时，由已知得a11，即a2a120.a11(a10).当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20).同理可得a3.猜想an(nN+).(2)证明由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kN+)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立.根据可知，对所有nN+，an成立.规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【训练3】 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN+，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.解由题设得，g(x)(x0).(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用数学归纳法证明.当n1时，g1(x)，结论成立.假设nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立.根据可知，结论对nN+成立.(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立.设(x)ln(1x)(x0)，则(x)，当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增.又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1时，ln(1x)恒成立(仅当x0时等号成立).当a1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)(nN+)成立，其初始值至少应取()A.7 B.8 C.9 D.10解析左边求和可得12，右边2，故22，即26，解得n7.所以初始值至少应取8.答案B3.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()A.f(n)n1 B.f(n)nC.f(n)n1 D.f(n)n2解析边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条.答案C4.对于不等式n1(nN+)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(kN+)时，不等式k1成立，当nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.答案D5.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN+”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()A.2k1 B.2(2k1) C. D.解析当nk(kN+)时，左式为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1).答案B二、填空题6.(2018日照模拟)用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_.解析当nk时，不等式的左边有2k1项，当nk1时，不等式左边应有2k11项，故左边应增加的项数是(2k11)(2k1)2k.答案2k7.(2018九江模拟)已知f(n)1(nN+)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_.解析观察规律可知f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，故得一般结论为f(2n)(n2，nN+).答案f(2n)(n2，nN+)8.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示).解析由题意知f(3)2，f(4)5，f(5)9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数.所以f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，猜测得出f(n)f(n1)n1(n4).有f(n)f(3)34(n1)，所以f(n)(n1)(n2).答案5(n1)(n2)三、解答题9.用数学归纳法证明：(nN+).证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立.(2)假设nk(k1，kN+)时，等式成立.即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立.即对所有nN+，原式都成立.10.已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN+)，且点P1的坐标为(1，1).(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN+，点Pn都在(1)中的直线l上.(1)解由题意得a11，b11，b2，a21，P2.直线l的方程为，即2xy10.(2)证明当n1时，2a1b121(1)1成立.假设nk(k1且kN+)时，2akbk1成立.则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立.由知，对于nN+，都有2anbn1，即点Pn在(1)中的直线l上.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立，则f(10)100成立B.若f(2)4成立，则f(1)1成立C.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D.若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误；若f(1)1成立，则得到f(2)4，与f(2)2，an(n2，nN+).(1)求证：对任意nN+，an2恒成立；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由.(3)设Sn为数列an的前n项和，求