2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学（理）精练十二　推理与证明、算法、复数

1 高三单元滚动检测卷 数学 考生注意： 1 本试卷分第 卷 (填空题 )和第 卷 (解答题 )两部分，共 4 页 2 答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上 3 本次考试时间 120 分钟，满分 160 分 4 请在密封线内作答，保持试卷清洁完整 单元检测十二 推理与证明 、 算法 、 复数 第 卷 一、填空题 (本大题共 14小题 ， 每小题 5分 ， 共 70分 请把答案填在题中横线上 ) 1 (2015桂林模拟 )已知数列 前 n 项和为 则 1， 试归纳猜想出 _ 2 如图所示 ， 阅读流程图 ， 如果输出的函数值在区间 1,3上 ， 则输入的实数 3 设 且 i 1 实数 ， 则 a _. 4 四个小动物换座位 ， 开始是鼠 ， 猴 ， 兔 ， 猫分别坐 1,2,3,4号位子上 (如图 )， 第一次前后排动物互换座位 ， 第二次左右列动物互换座位 ， ， 这样交替进行下去 ， 那么第 2 009次互换座位后 ， 小兔的座位对应的编号是 _. 2 5 如图所示 ， 椭圆中心在坐标原点 ， F 为左焦点 ， 当 F B A B 时 ， 其离心率为 5 12 ， 此类椭圆被称为 “ 黄金椭圆 ” ， 类比 “ 黄金椭圆 ” ， 可推算出 “ 黄金双曲线 ” 的离心率 e_. 6 (2015苏州模拟 )设 x， y， z (0， )， a x 1y， b y 1z， c z 1x， 则 a， b， _ 至少有一个不大于 2； 都小于 2； 至少有一个不小于 2； 都大于 2. 7 设整数 n 4， 集合 X 1,2,3， ， n， 令集合 S (x， y， z)|x， y， z X， 且三条件 xyz，yzx， zx 若 (x， y， z)和 (z， w， x)都在 则下列说法正确的是 _ (y， z， w) S， (x， y， w)S; (y， z， w) S， (x， y， w) S； (y， z， w)S， (x， y， w) S; (y， z， w)S， (x， y， w)S. 8 (2015淮安质检 )已知数列 各项均为正数 ， 观察流程图 ， 若 k 5， k 10时 ， 分别有S 511和 S 1021， 则数列 通项公式为 _ 3 9 观察下列事实 ： |x| |y| 1的不同整数解 (x， y)的个数为 4， |x| |y| 2的不同整数解 (x， y)的个数为 8， |x| |y| 3 的不同整数解 (x， y)的个数为 12 则 |x| |y| 20 的不同整数解 (x，y)的个数为 _ 10 对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 “ 分裂 ” ： 23 3，5， 33 7，9，11，43 13，15，17，19， . 依此 ， 若 分裂数 ” 中有一个是 2 015， 则 m _. 11 在复平面内复数 11 i， 11 ， N， 若点 P 为线段 中点 ， 则点 _ 12 (2015镇江检测 )执行如图所示的流程图 ， 若输出的结果是 8， 则输入的数是 _ 数字 1出现在第 1行 ； 数字 2,3出现在第 2 行 ； 数字 6,5,4(从左至右 )出现在第 3 行 ； 数字 7,8,9,10 出现在第 4 行 ； 依此类推 ， 4 则第 63行从左至右的第 2个数应是 _ 14 执行下面的流程图 ， 若输入的 的值为 则输出的 _ 第 卷 二、解答题 (本大题共 6小题 ， 共 90分 解答时应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ) 15 (14 分 )已知复数 z (m 1) (48m 3)i(m R)的共扼复数 z 对应的点在第一象限 ， 求实数 16.(14 分 )有一种密英文的明文 (真实文 )按字母分解 ， 其中英文的 a， b， c， ， z 的 26 个字母 (不分大小写 )， 依次对应 1,2,3， ， 26这 26个自然数 ， 见如下表格 ： a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 给出如下变换公式 ： 5 X x 12 x N， 1 x 26， 整除 13x N， 1 x 26， 整除 将明文转换成密文 ， 如 8 82 13 17， 即 q； 如 5 5 12 3， 即 c. (1)按上述规定 ， 将明文 (2)按上述规定 ， 若将某明文译成的英文是 那么原来的明文是什么 ？ 17 (14分 )已知 a， b， 且 2 m 0， 141 2m 0. (1)求证 ： 149 (2)求证 ： m 72. 18 (16 分 )(2015徐州模拟 )如图的程序可产生一系列随机数 ， 其工作原理如下 ： 从集合 个数作为自变量 x 输入 ； 从函数 f(x)与 g(x)中随机选择一个作为 H(x)进行计算 ； 输出函数值 1,2,3,4,5， f(x) 3x 1， g(x) (1)求 y 4的概率 ； (2)将程序运行一次 ， 求输出的结果是奇数的概率 6 19 (16分 )一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下 ， 每天销售量为 经市场调查后得到如下规律 ： 若对产品进行电视广告的宣传 ， 每天的销售量 S(件 )与电视广告每天的播放量 n(次 )的关系可用如图所示的流程图来体现 (1)试写出该产品每天的销售量 S(件 )关于电视广告每天的播放量 n(次 )的函数关系式 ； (2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90%， 则每天电视广告的播放量至少需多少次 ？ 20 (16分 )(2015安庆模拟 )已知数列 足 a 2， 1 2(n 2， n N*) (1)求证 ： 对任意 n N*， 2； (2)判断数列 递增数列 ， 还是递减数列 ， 并说明你的理由 ； (3)设 前 求证 ： 当 a 3时 ， 2n 43. 7 答案 解析 1 21 解析 n 1)， 11， 1， 则 43， 32 64， 85. 猜想得 21. 2 x R|0 x x 2 解析 依题意及框图可得， 2 x 2，1 2x 3 或 |x| 2，1 x 1 3， 解得 0 x x 2. 3 1 解析 i 1 a1 i1 i1 i (12 12i) (12) (12)i，由题意知 12 0， a 1. 4 1 解析 由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4， 2 009 4 502 1， 第 2 009 次互换座位后，小兔的座位对应的是编号 1. 5. 5 12 解析 根据 “ 黄金椭圆 ” 的性质是 F B A B ，可以得到 “ 黄金双曲线 ” 也满足这个性质， 设 “ 黄金双曲线 ” 方程为 1， 则 B(0， b)， F( c,0)， A(a,0)， 在 “ 黄金双曲线 ” 中， F B A B ， F B A B 0， 又 F B (c， b)， A B ( a， b)， 在等号两边同除以 e 5 12 . 8 6 解析 a b c 1x x y 1y z 1z 6， a， b， c 至少有一个不小于 2. 7 解析 方法一 因为 (x， y， z) S，则 x， y， z 的大小关系有 3 种情况，同理， (z， w， x) S，则 z， w， x 的大小关系也有 3 种情况，如图所示，由图可知， x， y， w， z 的大小关系有 4 种可能，均符合 (y， z， w) S， (x， y， w) S. 方法二 (特殊值法 )因为 (x， y， z)和 (z， w， x)都在 S 中，不妨令 x 2， y 3， z 4， w 1，则 (y， z， w) (3,4,1) S， (x， y， w) (2,3,1) S，故 (y， z， w)S， (x， y， w)S 的说法均错误，可以排除 、 、 . 8 2n 1 解析 当 i 1 时， d， M 1S 1 当 i 2 时， d， M 1S 11 当 i 3 时， d， M 1S 111 因此，由流程图可知，数列 等差数列，首项为 差为 d. 当 k 5 时， S 11111( 1111111111d 1111， 11，即 a1(5d) 11. 当 k 10 时， S 11 1 1111 11 110021， 21，即 a1(10d) 21. 9 由 得 1， d 2， 2n 1. 9 80 解析 由已知条件知 |x| |y| n 的不同整数解 (x， y)的个数为 4n， |x| |y| 20 的不同整数解(x， y)的个数为 4 20 80. 10 45 解析 由题意不难找出规律， 23 3 5,33 7 9 11,43 13 15 17 19， ， m 增加 1，累加的奇数个数便多 1，我们不难计算 2 015 是第 1 008 个奇数，若它是 m 的分解，则 1 至 m 1 的分解中，累加的奇数一定不能超过 1 008 个 1 2 3 (m 1)1 008,1 2 3 (m 1) m 1 008，即 mm 12 1 008， mm 12 1 008，解得 m 45. 析 11 i 1 i1 i1 i 1 11 i1 i1 i1 i1 M 12， 12 ， N 12， 12 ，而 P 是 中点， P 12， 0 ，故点 P 对应的复数为 12. 12 2或 2 2 解析 由 a b，得 解得 x 1， 所以当 x 1 时，输出 a 当 x 1 时，输出 b 当 x 1 时， 由 a 8， 解得 x 8 2 2. 当 x 1 时，由 b 8，得 x 2， 所以输入的数为 2 或 2 2. 13 2 015 解析 由题意可知： 每行的行号数和这一行的数字的个数相同， 奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大， 10 第 63 行的数字从左向右依次减小， 可求出第 63 行最左边的一个数是 63 63 12 2 016， 从左至右的第 2 个数应是 2 016 1 2 015. 14 3 解析 输入 ，程序执行如下： 0 1，2，n 1， 3，2，n 2，13 5，3，n 3，15 束循环，故输出的 n 的值为 3. 15 解 由题意得 z (m 1) (48m 3)i. 因为 z 对应的点位于第一象限， 所以 m 1 0， 48m 3 0， 即 m 1 0，48m 3 0， 解得 m 5 12 或 m 5 12 ，12 m 12 m 32， 所以 m 的集合为 m| 5 12 m 32 11 16 解 (1)g 7 7 12 4 d； o 15 15 12 8 h； d 4 42 13 15 o； 则明文 密文为 (2)逆变换公式为 x 2x 1 x N， 1 x 13，2x 26 x N， 14 x 26. 则有 s 19 2 19 26 12 l； h 8 2 8 1 15 o； x 24 2 24 26 22 v； c 3 2 3 1 5 e. 故密文 明文为 17 证明 (1)(分析法 )要证 149 只需证 ( 14 9. 即证 1 4 9， 即证 4. 根据基本不等式有 2 4 成立 所以原不等式成立 (2)(综合法 )因为 m 2， 142m 1. 由 (1)，知 (m 2)(2m 1) 9， 即 25m 7 0，解得 m 1 或 m 72. 因为 m 2 0， 142m 1 0， 所以 m 72. 18 解 (1) D 1,2,3,4,5， f(x) 3x 1， g(x) 第一步：从集合 D 中随机抽取 1 个数作为自变量 x 输入，共有 5 种方法， 第二步：从函数 f(x)与 g(x)中随机选择一个作为 H(x)进行计算，共有 2 种方法， 该运算共有 f(1)， f(2)， f(3)， f(4)， f(5)， g(1)， g(2)， g(3)， g(4)， g(5)， 10 种方法， 12 而满足 y 4 的有 f(1)， g(2)两种情况， 由古典概型概率公式得 y 4 的概率 P 210 15. (2)输出结果是奇数有以下几种情况： f(2)， f(4)， g(1)， g(3)， g(5)共 5 种， 由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率 P 510 12. 19 解 (1)设电视广告播放量为每天 i 次时，该产品的销售量为 i n， i N*) 由题意得， b， i 0，1 1 i n， i N*， 于是当 i n 时， b ( b(2 12n)(n N*) 所以，该产品每天销售量 S(件 )与电视广告每天播放量 n(次 )的函数关系式为 S b(2 12n)，n N*. (2)由题意，有 b(2 12n) 2n 10 n 4(n N*) 所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90%，则每天电视广告的播放量至少需 4 次 20 (1)证明 用数学归纳法证明 2(n N*)； 当 n 1， a 2，结论成立； 假设 n k(k 1)时结论成立，即 2， 则 n k 1 时， 1 2 2 2 2， 所以 n k 1 时，结论成立 故由 及数学归纳法原理知，对一切的 n N*，都有 2 成立 (2)解 递减的数列 因为 1 2 (2)(