2016年山东省青岛市高考数学理科一模试卷（B）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）（ B 卷） 一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 R 是实数集， ，则 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 2等比数列 ， ，前三项和 8，则公比 q 的值为（ ） A 1 B C 1 或 D 1 或 3设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则 “ ”是 “a b”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4二项式 的展开式的第二项的系数为（ ） A B C D 5已知圆 C 的圆心与双曲线 4=1 的左焦点重合，又直线 4x 3y 6=0 与圆 C 相切，则圆 C 的标准方程为（ ） A（ x 1） 2+ B（ x+1） 2+ C（ x+1） 2+ D（ x+1） 2+ 6函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别为（ ） A 2， 0 B 2， C 2， D 2， 7如图，网格纸上正方形小格的边长为 1中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3为 6圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（ ） A 20 16 12 第 2 页（共 20 页） 8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 4， 10，则输出的 a 为（ ） A 0 B 2 C 4 D 6 9已知抛物线 准线方程为 y= ，函数 f（ x） =周期为 4，则抛物线与函数 f（ x）在第一象限所围成的封闭图形的面积为（ ） A B 1 C D 10若函数 y=2x 上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则实数 m 的最大值为（ ） A B 1 C D 2 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11设复数 复平面内的对应点关于虚轴对称， +2i， i 为虚数单位，则 _ 12若存在实数 x 使 |x a|+|x 1| 3 成立，则实数 a 的取值范围是 _ 13在 ， A=90， ， ，设点 P， Q 满足，若 ，则 =_ 14如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是 _ 15定义在 R 上的函数 f（ x），如果存在函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数），使得 f（ x） g（ x）对一切实数 x 都成立，则称 g（ x）为函数 f（ x）的一个承托函数 现有如下函数： f（ x） = f（ x） =2 x； 第 3 页（共 20 页） ； f（ x） =x+ 则存在承托函数的 f（ x）的序号为 _（填入满足题意的所有序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16在 ，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，已知 （ ）若 b= ，当 长取最大值时， 求 面积； （ ）设 的取值范围 17 2015 年 9 月 12 日青岛 2015 世界休闲体育大会隆重开幕为普及体育知识，某校学生社团组织了 14 人进行 “体育知识竞赛 ”活动，每人回答 3 个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见表： 答对题目个数 0 1 2 3 人数 3 2 5 4 根据表格信息解答以下问题： （ ）从 14 人中任选 3 人，求 3 人答对题目个数之和为 6 的概率； （ ）从 14 人中任选 2 人，用 X 表示这 2 人答对题目个数之和，求随机变量 X 的分布列和数 学期望 18在四棱锥 P ， 平面 正三角形， 交点 C 中点，又 B=4， 20，点 N 在线段 ，且 （ ）求证： （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A B 的余弦值 19已知数列 足 2=，且 ， n N+ （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 前 n 项和为 数列 足 （ kN+），求 第 4 页（共 20 页） （ 3）设 + + + ，是否存在实数 c，使 为等差数列，请说明理由 20已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 c， 0）、 c， 0）， P 为椭圆 C 上任意一点，且 最小值为 0 （ ）求曲线 C 的方程； （ ）若动直线 与椭圆 C 相切，且 探究在 x 轴上是否存在定点 B，使得点 B 到 距离之积恒为 1？若存在，请求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 21设函数 f（ x） =+2016， n 为大于零的常数 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 ，求函数 f（ x）的极值点； （ ）观察 f（ x）的单调性及最值，证明： 第 5 页（共 20 页） 2016 年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）（ B 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 R 是实数集， ，则 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 【考点】 交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式的解法 【分析】 先化简 2 个集合 M、 N 到最简形式求出 M， N，依照补集的定义求出 按照交集的定义求出 N 【解答】 解： M=x| 1=x|x 0，或 x 2， N=y|y= =y|y 0， 故有 Ny|y 0x|x 0，或 x 2=0， +） （ ， 0） （ 2， +） =0， 2， 故选 B 2等比数列 ， ，前三项和 8，则公比 q 的值为（ ） A 1 B C 1 或 D 1 或 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 根据前三项和以及第三项可利用第三项表示出前两项 和，建立关于 q 的方程，解之即可 【解答】 解 8， a1+=12 即 2q 1=0 解得 q=1 或 q= ， 故选 C 3设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则 “ ”是 “a b”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论 【解答】 解： b m， 当 ，则由面面垂直的性质可得 a b 成立， 若 a b，则 不一定成立， 故 “ ”是 “a b”的充分不必要条件， 故选： B 第 6 页（共 20 页） 4二项式 的展开式的第二项的系数为（ ） A B C D 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项展开式的通项公式可求出展开式的第二项的系数 【解答】 解：由题意 ，故二项式 的展开式的第二项的系数为 ， 故选 A 5已知圆 C 的圆心与双曲线 4=1 的左焦点重合，又直线 4x 3y 6=0 与圆 C 相切，则圆 C 的标准方程为（ ） A（ x 1） 2+ B（ x+1） 2+ C（ x+1） 2+ D（ x+1） 2+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线方程算出左焦点坐标 C（ 1， 0），因此设圆 C 方程为（ x+1） 2+y2=据点到直线的距离公式算出点 C 到直线 4x 3y 6=0 的距离，从而可得半径 r=2，得到圆C 的标准方程 【解答】 解：设圆 C 的方程为（ x a） 2+（ y b） 2= 双曲线 4=1 即 =1 的左焦点（ 1， 0）， 可得圆 C 的方程为（ x+1） 2+y2= 由直线 4x 3y 6=0 与圆 C 相切， 即有点 C 到直线的距离为 =2=r， 可得圆 C 的标准方程为（ x+1） 2+ 故选： D 6函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分 图象如图所示，则 ， 的值分别为（ ） A 2， 0 B 2， C 2， D 2， 【考点】 y=x+）中参数的物理意义 第 7 页（共 20 页） 【分析】 由题意结合函数的图象，求出周期 T，根据周期公式求出 ，求出 A，根据函数的图象经过（ ） ，求出 ，即可 【解答】 解：由函数的图象可知： = = ， T=，所以 =2， A=1， 函数的图象经过（ ），所以 1=2 +），因为 | ，所以 = 故选 D 7如图，网格纸上正方形小格的边长为 1中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3为 6圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（ ） A 20 16 12 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的 体积即可 【解答】 解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4， 组合体体积是： 322+224=34； 底面半径为 3为 6圆柱体毛坯的体积为： 32 6=54； 所以切削掉部分的体积为 54 34=20 故选： A 8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 4， 10，则输出的 a 为（ ） A 0 B 2 C 4 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a， b 的值，即可得到结论 【解答】 解：由 a=4， b=10， a b， 第 8 页（共 20 页） 则 b 变为 10 4=6， 由 a b，则 b 变为 6 4=2， 由 a b，则 a 变为 4 2=2， 由 a=b=2， 则输出的 a=2 故选： B 9已知抛物线 准线方程为 y= ，函数 f（ x） =周期为 4，则抛物线与函数 f（ x）在第一象限所围成的封闭图形的面积为（ ） A B 1 C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的准线方程求出 p 的值，再根据三角函数的周期求出 的值，求出在第一象限的交点坐标，根据定积分即可求出答案 【解答】 解： 抛物线 准线方程为 y= ， = ， p= ， y= 函数 f（ x） =周期为 4， 4= ， = ， f（ x） =x， 要求抛物线与函数 f（ x）在第一象限的交点坐标， 由 ， 解得 抛物线与函数 f（ x）在第一象限所围成的封闭图形的面积为 S= （ x ） = ， 故选： A 第 9 页（共 20 页） 10若函数 y=2x 上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则实数 m 的最大值为（ ） A B 1 C D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，从而利用数形结合求解即可 【解答】 解：由题意作平面区域如下， 结合图象可知， y=2x 与 y=3 x 相交于点（ 1， 2）， 故 m 1， 故选： B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11设复数 复平面内的对应点关于虚轴对称， +2i， i 为虚数单位，则 5 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出 【解答】 解： 复数 复平面内的对应点关于虚轴对称， +2i， 1+2i z1 1+2i）（ 1+2i） = 5 故答案为： 5 12若存在实数 x 使 |x a|+|x 1| 3 成立，则实数 a 的取值范围是 2， 4 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 利用绝对值的几何意义，可得到 |a 1| 3，解之即可 第 10 页（共 20 页） 【解答】 解：在数轴上， |x a|表示横坐标为 x 的点 P 到横坐标为 a 的点 A 距离， |x 1|就表示点 P 到横坐标为 1 的点 B 的距离， （ | a 1|， 要使得不等式 |x a|+|x 1| 3 成立，只要最小值 |a 1| 3 就可以了， 即 |a 1| 3， 2 a 4 故实数 a 的取值范围是 2 a 4 故答案为： 2， 4 13在 ， A=90， ， ，设点 P， Q 满足，若 ，则 = 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 由题意推出 =0，根据 = 2，通过向量的转化求得 的值 【解答】 解：由题意可得 =0，因为 ， 由于 =（ ） （ ） =（ 1 ） =0（ 1 ） +0=（ 1） 4 1= 2， 解得 = ， 故答案为： 14如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是 1 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值 【解答】 解：观察这个图可知：大正方形的边长为 2，总面积为 4， 而阴影区域的边长为 1，面积为 4 2 ； 故飞镖落在阴影区域的概率 第 11 页（共 20 页） 故答案为： 1 15定义在 R 上的函数 f（ x），如果存在函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数），使得 f（ x） g（ x）对一切实数 x 都成立，则称 g（ x）为函数 f（ x）的一个承托函数 现有如下函数： f（ x） = f（ x） =2 x； ； f（ x） =x+ 则存在承托函数的 f（ x）的序号为 （填入满足题意的所有序号） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数）是函数 f（ x）的一个承托函数， 即说明函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方（至多有一个交点），若函数的值域为 R，则显然不存在承托函数 【解答】 解：函数 g（ x） =kx+b（ k， b 为常数）是函数 f（ x）的一个承托函数，即说明函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方（至多有一个交点） f（ x） =值域为 R，所以不存在函数 g（ x） =kx+b，使得函数 f（ x）的图象恒在函数g（ x）的上方，故不存在承托函数； f（ x） =2 x 0，所以 y=A（ A 0）都是函数 f（ x）的承托函数，故 存在承托函数； 的值域为 R，所以不存在函数 g（ x） =kx+b，使得函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方，故不存在承托函数； f（ x） =x+x 1，所以存在函数 g（ x） =x 1，使得函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）的上方，故存在承托函数； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16在 ，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，已知 （ ）若 b= ，当 长取最大值时，求 面积； （ ）设 的取值范围 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ ）利用正弦定理化简已知可得： a2+b2=用余弦定理可得 ，又B （ 0， ），可求 B 的值，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 周长l=a+b+c=2（ =2 A+ ） ，由 0 ，可得 A+ 第 12 页（共 20 页） ，当 A+ = 时，即 A= 时， 长 l 取最大值 3 ，可得 等边三角形，利用三角形面积公式即可得解 （ ）利用平面向量的数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得 = 2（ ）2+ ，由范围 0 ，可求 0 1，利用二次函数的图象和性质即可解得 的取值范围 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） 1 = = = ，化简可得： a2+b2=1， = ， 又 B （ 0， ）， B= 3 分 由正弦定理可得： ， 周长 l=a+b+c=2（ =2+2 A） =3=2 A+ ） ， 5 分 0 ， A+ ，当 A+ = 时，即 A= 时， 长 l 取最大值 3 ，由此可以得到 等边三角形， S 7 分 （ ） =6 2 2（ ） 2+ ， 9 分 0 ， 0 1， 当 时， 取得最大值 ， 11 分 的取值范围为（ 1， 12 分 第 13 页（共 20 页） 17 2015 年 9 月 12 日青岛 2015 世界休闲体育大会隆重开幕为普及体育知识，某校学生社团组织了 14 人进行 “体育知识竞赛 ”活动，每人回答 3 个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见表： 答对题目个数 0 1 2 3 人数 3 2 5 4 根据表格信息解答以下问题： （ ）从 14 人中任选 3 人，求 3 人答对题目个数之和为 6 的概率； （ ）从 14 人中任选 2 人，用 X 表示这 2 人答对题目个数之和，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）记 “3 人答对题目个数之和为 6”为事件 A，利用排列组合知识能求出 3 人答对题目个数之和为 6 的概率 （ ）由题意知 X 的所有取值为 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和 【解答】 解：（ ）记 “3 人答对题目个数之和为 6”为事件 A， 则 P（ A） = = ， 3 人答对题目个数之和为 6 的概率 p= （ ）由题意知 X 的所有取值为 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 则 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， P（ X=5） = = ， P（ X=6） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 第 14 页（共 20 页） P + = 18在四棱锥 P ， 平面 正三角形， 交点 C 中点，又 B=4， 20，点 N 在线段 ，且 （ ）求证： （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由正三角形的性质可得 用线面垂直的性质可知 利用线面垂直的判定定理即可证明 （ ）利用已知条件分别求出 到 ，即可得到 利用线面平行的判定定理即可证明； （ ）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的平面角 【解答】 证明：（ I） 正三角形， M 是 点， 又 平面 又 C=A， 平面 （ ）在正 ， 在 ， M 为 点， D 20， ， 在等腰直角 ， B=4， ， ， ， 又 面 面 第 15 页（共 20 页） 平面 （ ） 0， 别以 x 轴， y 轴， z 轴建立如图的空间直角坐标系， B（ 4， 0， 0）， C ， ， P（ 0， 0， 4） 由（ ）可知， 为平面 法向量 ， 设平面 一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 z=3，得 x=3， ，则平面 一个法向量为 ， 设二面角 A B 的大小为 ，则 所以二面角 A B 余弦值为 19已知数列 足 2=，且 ， n N+ （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 前 n 项和为 数列 足 （ kN+），求 （ 3）设 + + + ，是否存在实数 c，使 为等差数列，请说明理由 【考点】 数列的求和；数列递推式 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （ 1）通过对 2= 变形可知 2= ，进而可知数列 是首项为 2、公差为 2 的等差数列，计算即得结论； （ 2）通过（ 1）裂项可知 1= （ ），结合 = ，进而并项相加即得结论； （ 3）通过（ 1）可知 Tn=n（ n+1），进而只需 变为关于 n 的一次函数，分 c=0 或 c=1 两种情况讨论即可 【解答】 解：（ 1） 2=， 2= ， 又 ，即 =2， 数列 是首项为 2、公差为 2 的等差数列， 故其通项公式 = ； （ 2）由（ 1）可知 1= = （ ）， 又 = ， + + ） + （ 1 + + ） =4+ （ 1 ） = ； （ 3）由（ 1）可知 + + + =2（ 1+2+n） =n（ n+1）， 要使 为等差数列，则只需 变为关于 n 的 一次函数， 则 n+c 可能为 n 或 n+1，此时 c=0 或 c=1， 当 c=0 时， 是首项为 2、公差为 1 的等差数列； 当 c=1 时， 是首项为 1、公差为 1 的等差数列； 综上所述，存在 c=0 或 c=1 满足题意 第 17 页（共 20 页） 20已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 c， 0）、 c， 0）， P 为椭圆 C 上任意一点，且 最小值为 0 （ ）求曲线 C 的方程； （ ）若动直线 与椭圆 C 相切，且 探究在 x 轴上是否存在定点 B，使得点 B 到 距离之积恒为 1？若存在，请求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）设 P（ x， y），由 最小值为 0，得 1 ，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）当直线 率存在时，设其方程为 y=kx+m， y=kx+n，把 方程代入椭圆方程，得（ 1+22=0，由直线 椭圆 C 相切，得 +2理， +2而求得 t= 1，由此能求出满足题意的定点 B 的坐标 【解答】 解：（ ）设 P（ x， y），则有 =（ x+c， y）， =（ x c， y）， =x2+， x a， a， 由 最小值为 0，得 1 ， c=1， ， 椭圆 C 的方程为 （ ）当直线 率存在时，设其方程为 y=kx+m， y=kx+n， 把 方程代入椭圆方程，得（ 1+22=0， 直线 椭圆 C 相切， =164（ 1+2 22） =0， 化