2016年天津市武清区高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年天津市武清区高考数学三模试卷（文科） 一选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若 i 为虚数单位，则复数 等于（ ） A + i B + i C + i D + i 2下列函数中值域为实数集的偶函数是（ ） A f（ x） =| x 0） B f（ x） =ln|x|（ x 0） C f（ x） =x （ x 0） D f（ x）=x+ （ x 0） 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 a 的值为（ ） A 101 B 102 C 103 D 104 4 “a=1”是 “函数 f（ x） =|x a|在区间 1， +）上为增函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知 a=b=（ 2， c=（ ） （ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 心为 和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 P若 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 7如图， 圆 O 的切线， M 为切点， 圆的割线， D 在圆上， B 交于点 C若 ， ， ，则 于（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 8已知函数 f（ x） = e（ x+2）恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A a B a 0 C a 0 D a 0 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上） 9已知集合 A=x|x 2| 1，集合 B=x|2 0，则 AB=_ 10某校的象棋兴趣班有高一年级 10 人，高二年级 15 人，高三年级 5 人，用分层抽样的方法从这个兴趣班中抽取 6 人进行集中训练，然后从这 6 人中随机抽取 2 人代表学校参加本区内校际高中生象棋大赛，则这 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率为 _ 11如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 _ 12若函数 y=f（ x）的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再将整个图象沿 x 轴向左平移 个单位长度，最后将得到的函数图象沿 y 轴向下平移 1个单位长度，最后得到函数 y= 图象，则函数 f（ x）的解析式为 _ 13在 ， 0， ， ， = ， = ， 延长线交延长线于点 F，则 的值为 _ 14若对 x， y 1， 2， ，总有不等式 成立，则实数 a 的取值范围是 _ 三 大题共 6 小题，共 80 分，解答题应 写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15在 ，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， a= ， （ 1）若 ，求 b 的大小； （ 2）若 b=4a，求 c 的大小及 面积 第 3 页（共 20 页） 16某工艺厂有铜丝 5 万米，铁丝 9 万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售已知编制一只花篮需要铜丝 200 米，铁丝 300 米；编制一只花盆需要铜丝 100 米，铁丝 300 米设该厂用所有原料编制 x 个花篮， y 个花盆 （ 1）列出 x、 y 满足的关系式，并画出相应的平面区域； （ 2）若出售一个花篮可获利 300 元，出售一个花盆可获利 200 元，那么怎样安排花篮和花盆的编制个数，可使所得利润最大，最大利润是多少？ 17如图，四边形 矩形，四边形 直角梯形， F=2， ， （ 1）求证： （ 2）求证： 平面 （ 3）若二面角 E A 的大小为 120，求直线 平面 成的角 18已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 第一象限椭圆上的一点 M 满足 |3| （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设 y 轴的交点为 N，过点 N 与直线 直的直线交椭圆于 A， B 两点，若 + = ，求椭圆的方程 19已知数列 前 n 项和为 ，对任意的 n N*都有 =3n+1 2n，记（ n N*） （ 1）求证：数列 等差数列； （ 2）求 （ 3）证明：存在 k N*，使得 20已知函数 r（ x） = ， （ 1）若 f（ x） =r（ x） 函数 f（ x）的单调区间和最大值； （ 2）若 f（ x） = ，且对任意 x （ 0， 1），恒有 f（ x） 2，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 20 页） 2016 年天津市武清区高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解 析 一选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若 i 为虚数单位，则复数 等于（ ） A + i B + i C + i D + i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算法则即可求得答案 【解答】 解： = = = ， 故选 D 2下列函数中值域为实数集的偶函数是（ ） A f（ x） =| x 0） B f（ x） =ln|x|（ x 0） C f（ x） =x （ x 0） D f（ x）=x+ （ x 0） 【考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 对 4 个选项，分别确定函数的奇偶性与值域，即可得出结论 【解答】 解：对于 A， f（ x） =| x 0）的值域为 0， +），非奇非偶，故不正确； 对于 B， f（ x） =ln|x|（ x 0）值域为实数集， f（ x） = x|=ln|x|=f（ x），所以函数是偶函数，故正确； 对于 C， f（ x） = x+ = f（ x）（ x 0）为奇函数，故不正确； 对于 D， f（ x） =x+ （ x 0）为奇函数，故不正确 故选： B 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 a 的值为（ ） 第 5 页（共 20 页） A 101 B 102 C 103 D 104 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，可得 a 的取值构成首项为 1，公差为 4 的等差数列，由题意当 4n 5 100 时，退出循环，可得整数 n 的值，进而可得 a 的值 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a 的取值构成首项为 1，公差为 4 的等差数列，可求其通项公式为 1+4（ n 1） =4n 5， n Z， 由题意，当 a=4n 5 100 时，即， n ，退出循环，输出 a 的值， 由于 n 为整数，所以，当 n=27 时，退出循环，输出 a=4 27 5=103 故选： C 4 “a=1”是 “函数 f（ x） =|x a|在区间 1， +）上为增函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 函数 f（ x） =|x a|的图象是关于 x=a 对称的折线，在 a， +）上为增函数，由题意 1， +） a， +），可求 a 的范围 【解答】 解：若 “a=1”，则函数 f（ x） =|x a|=|x 1|在区间 1， +）上为增函数； 而若 f（ x） =|x a|在区间 1， +）上为增函数，则 a 1， 所以 “a=1”是 “函数 f（ x） =|x a|在区间 1， +）上为增函数 ”的充分不必要条件， 故选 A 5已知 a=b=（ 2， c=（ ） （ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数式和对数式的运算性质可得 b a，再比较 b， c 与 4 的大小关系得答案 【解答】 解： a=1， b=（ 2 ， 且 b=（ 2 ， c=（ ） 4， 第 6 页（共 20 页） c b a 故选： D 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 心为 和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 P若 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据圆与渐近线相切得到圆的半径，结合直角三角形的边长关系以及双曲线的定义建立方程进行求解即可 【解答】 解：设双曲线的一个焦点为 c， 0），双曲线的一条渐近线为 y= ，取 ， 则焦点到渐近线的距离 d= ， 圆心为 和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 P 圆的半径为 b， ， 则 a，即 a=2a+b， （ 2a+b） 2+ 即 4ab+b2+ 即 44 即 4 b=2a， 则 c= = a， 则离心率 e= ， 故选： D 7如图， 圆 O 的切线， M 为切点， 圆的割线， D 在圆上， B 交于点 C若 ， ， ，则 于（ ） A B C D 第 7 页（共 20 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 证明 出 ，再利用相交弦定理，求出 【解答】 解：由题意，连接 圆 O 的切线， M 为切点， = ， ， ， 4+ 由相交弦定理可得 3， 故选： A 8已知函数 f（ x） = e（ x+2）恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A a B a 0 C a 0 D a 0 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 构造函数，作出函数的图象，利用函数 f（ x）恰有两个零点，求出实数 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x） = e（ x+2）恰有两个零点， 则 e（ x+2） =0 有两个解， 即 1=（ x+2） e（ x+2） 有两个解 令 g（ x） =1，且过定点（ 0， 1） h（ x） =（ x+2） e（ x+2） ， 第 8 页（共 20 页） 则 h（ x） =（ x 1） e（ x+2）， x 1 时， h（ x） 0， x 1 时， h（ x） 0， 图象如图所示， 当 a 0 时图象有两个交点， 实数 a 的取值范围是 a 0， 故选： B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上） 9已知集合 A=x|x 2| 1，集合 B=x|2 0，则 AB= （ ， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： 1 x 2 1， 解得： 1 x 3，即 A=（ 1， 3）， 由 B 中不等式变形得：（ x+ ）（ x ） 0， 解得： x 或 x ，即（ ， ） （ ， +）， 则 AB=（ ， 3）， 故答案为：（ ， 3） 10某校的象棋兴趣班有高一年级 10 人，高二年级 15 人，高三年级 5 人，用分层抽样的方法从这个兴趣班中抽取 6 人进行集中训练，然后从这 6 人中随机抽取 2 人代表学校参加本区内校际高中生象棋大赛，则这 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 由已知得高一年级抽取 2 人，高二年级抽取 3 人，高三年级抽取 1 人，从这 6 人中随机抽取 2 人代表学校参加本区内校际高中生象棋大赛，先求出基本事件总数，再求 出这 2人中恰好有高二、高三各一人包含的基本事件个数，由此能求出这 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率 第 9 页（共 20 页） 【解答】 解： 象棋兴趣班有高一年级 10 人，高二年级 15 人，高三年级 5 人， 用分层抽样的方法从这个兴趣班中抽取 6 人进行集中训练， 高一年级抽取 =2 人， 高二年级抽取 6=3 人， 高三年级抽取 6=1 人， 从这 6 人中随机抽取 2 人代表学校参加本区 内校际高中生象棋大赛， 基本事件总数 n= =15， 这 2 人中恰好有高二、高三各一人包含的基本事件个数 m= =3， 这 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率 p= 故答案为： 11如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：上面是一个直三棱柱、下面是一个长方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是一个直三棱柱、下面是一个长方体， 三棱柱的底面是一个等腰直角三角形：两条直角边分别是 1，高为 2， 长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2， 几何体的体积 V= =3， 故答案为： 3 12若函数 y=f（ x）的图象上每一个 点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再将整个图象沿 x 轴向左平移 个单位长度，最后将得到的函数图象沿 y 轴向下平移 1个单位长度，最后得到函数 y= 图象，则函数 f（ x）的解析式为 ） = 2x ）+1 第 10 页（共 20 页） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：由题意可得，把函数 y= 图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度，可得 y= 的图象； 然后再将整个图象沿 x 轴向右平移 个单位长度，可得 y= x ） +1 的图象； 最后，把图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍，可得函数 y=f（ x）= 2x ） +1 的图象， 故答案为： 2x ） +1 13在 ， 0， ， ， = ， = ， 延长线交延长线于点 F，则 的值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意建立如图所示的平面直角坐标系，结合已知求出 D、 F 的坐标，进一步求得、 的坐标，则答案可求 【解答】 解：如图， 分别以 在直线为 x、 y 轴建立平面直角坐标系， 则 A（ 0， 0）， C（ 2， 0）， B（ 0， 1）， = ， E（ 0， ）， 又 = ，得 D（ ）， 设 F（ m， 0），则 ， ， 由 ，得 ，即 m= ， 则 = 故答案为： 第 11 页（共 20 页） 14若对 x， y 1， 2， ，总有不等式 成立，则实数 a 的取值范围是 a 0 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 先根据均值不等式求得：（ 2 x）（ 4 y）的最大值，要使不等式 成立，需（ 2 x）（ 4 y） a 成立求出（ 2 x）（ 4 y）的最小值即可 【解答】 解： ，即 a （ 2 x）（ 4 y）恒成立，只需 a （ 2 x）（ 4 y）的最小值 而（ 2 x）（ 4 y） =8 4x 2y+8（ 4x+2y） +2 =10（ 4x+2y） =10（ 4x+ ） 令 f（ x） =10（ 4x+ ） x 1， 2 则导数 f（ x） =（ 4 ） = 0 故 f（ x）在 x 1， 2是减函数 所以当 x=2 时取最小值 0 即（ 2 x）（ 4 y）的最小值为 0 所以 a 0 三 大题共 6 小题，共 80 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15在 ，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， a= ， （ 1）若 ，求 b 的大小； （ 2）若 b=4a，求 c 的大小及 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 用正弦定理即可得解 b 的大小 第 12 页（共 20 页） （ 2）利用大边对大角可得 ，利用同角三角函数基本关系式可求 值，结合余弦定理可求 c，根据三角形面积公式即可得解 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ 1） ， 0 B ， ， ， a= ， （ 2） b=4a= ， b a， ， ， ， a2=b2+2 ，即 30c+152=0 解得 c=15， 面积为 16某工艺厂有铜丝 5 万米，铁丝 9 万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售已知编制一只花篮需要铜丝 200 米，铁丝 300 米；编制一只花盆需要铜丝 100 米，铁丝 300 米设该厂用所有原料编制 x 个花篮， y 个花盆 （ 1）列出 x、 y 满足的关系式，并画出相应的平面区域； （ 2）若出售 一个花篮可获利 300 元，出售一个花盆可获利 200 元，那么怎样安排花篮和花盆的编制个数，可使所得利润最大，最大利润是多少？ 【考点】 简单线性规划 【分析】 （ 1）列出 x、 y 满足的关系式为 ，画出不等式组所表示的平面区域即可 （ 2）设该厂所得利润为 z 元，写出目标函数，利用目标函数的几何意义，求解目标函数z=300x+200y，所获得利润 第 13 页（共 20 页） 【解答】 （本小题满分 13 分） （ 1）解：由已知 x、 y 满足的关系式为 ，等价于 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分 （ 2）解：设该厂所得利润为 z 元，则目标函数为 z=300x+200y 将 z=300x+200y 变形为 ，这是斜率为 ，在 y 轴上截距为 、随 z 变化的一族平行直线 又因为 x、 y 满足约束条件，所以由图可知，当直线 经过可行域上的点 M 时，截距 最大，即 z 最大 解方程组 得点 M 的坐标为且恰为整点，即 x=200， y=100 所以， 00 200+200 100=80000 答：该厂编制 200 个花篮， 100 花盆所获得利润最大，最大利润为 8 万元 17如图，四边形 矩形，四边形 直 角梯形， F=2， ， （ 1）求证： （ 2）求证： 平面 （ 3）若二面角 E A 的大小为 120，求直线 平面 成的角 第 14 页（共 20 页） 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）由 出 平面 （ 2）由 平面 平面 是 平面 （ 3）过 F 作 延长线垂直， N 是垂足，连结 可证明 平面 是 所求角，利用勾股定理求出 算 可得出 大小 【解答】 证明：（ 1） 四边形 矩形， 又 面 F=B， 平面 面 （ 2） 面 面 平面 四边形 矩形， 面 面 平面 又 面 F=B， 平面 平面 面 平面 （ 3）过 F 作 延长线垂直， N 是垂足，连结 是二面角 E A 的平面角， 20， 0 ， ， ， ， 0， =3 平面 面 平面 平面 平面 面 B， 平面 直线 平面 成的角， = ， 0 直线 平面 成的角为 30 第 15 页（共 20 页） 18已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 第一象限椭圆上的一点 M 满足 |3| （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设 y 轴的交点为 N，过点 N 与直线 直的直线交椭圆于 A， B 两点，若 + = ，求椭圆的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的定义和直角三角形的勾股定理，结合椭圆的离心率计算即可得到所求值； （ 2）由椭圆的离心率和 a， b， c 的关系，可得椭圆的方程 2，求得直线 方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量的数量积的坐标表示，解方程可得 c，进而得到 a， b 的值，即可得到所求椭圆方程 【解答】 解：（ 1）由椭圆定义可得 |2a， |3| 4|2a， ， 在直角 ， ，即 ， ，即 ， 椭圆的离心率为 ； （ 2） ， ， 椭圆方程为 ， 即 2， 易知点 M 的坐标为 ， 点 N 是线段 中点， 点 N 的坐标为 ， 第 16 页（共 20 页） 直线 斜率为 ， 直线 斜率为 ， 直线 方程为 ， 与椭圆方程联立消去 y 得 ， 设点 A 的坐标为（ 点 B 的坐标为（ ， 直平分线段 ， ， ， ， 化简得 ，即 ，即为 ， 可得 6， b2=， 则椭圆的方程为 19已知数列 前 n 项和为 ，对任意的 n N*都有 =3n+1 2n，记（ n N*） （ 1）求证：数列 等差数列； （ 2）求 （ 3）证明：存在 k N*，使得 【考点】 数列的求和；数列与不等式的综合 【分析】 （ 1）由已知数列递推式采用作差法证明数列 等差数列； （ 2）求出数列 通项公式，得到数列 通项公式，分组后分别利用等比数列的前 n； （ 3）由数列 通项公式推测数列 的第一项最大求出 ，证明即可 第 17 页（共 20 页） 【解答】 （ 1）证明： ， ， = = ， 数列 公差为 1，首项为 的等差数列； （ 2）解：由（ 1）可知 bn=n 1， ，则 ， 令数列 2n的前 n 项和为 n） ，则 令数列 （ n 1） 3n的前 n 项和为 n） ， 则 n） =0 31+1 32+2 33+（ n 2） 3n 1+（ n 1） 3n ， ， n） = ， 则 ； （ 3）证明：推测数列 的第一项最大 下面证明 0， 只需 证 2 13 即 2（ 2n+1+n 3n+1） 132n+（ n