高斯求积公式数值微分.ppt

一、高斯点,定义：高斯公式,机械求积公式,含有2n+2个待定参数,若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次（2n+1次?!）代数精度，则这类公式称为高斯公式。,(4.1),定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。,?,请回顾:,以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？,除中矩形公式外都不是！,注：机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。,举例,求a,b上的两点高斯公式。,解,设两点高斯公式为,这是关于四个未知数的非线性方程组，是否有解？一般难于求解,要求其代数精度最高，四个未知数，可列出4个方程:,高斯点具有以下性质：,定理,插值型求积公式(4.1)成为Gauss求积公式的充要条件：,求积节点为n+1次正交多项式的零点。,如何求高斯公式?,正交多项式概述：,首先证明对于任给节点x0，x1，xn，均存在某个次数为2n+2的多项式f(x),机械型求积公式不能精确成立，即其最高代数精度不能达到2n+2。如取：,证明,则有：,设求积节点为n+1次正交多项式n+1(x)的零点。,现证充分性。即,求积公式是高斯型。,证明,现对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),用除f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，,即,2n+1,n+1,n,n,由已知条件，(x)与P(x)正交，故得,由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代数精度，故对Q(x)能准确成立：,再注意到(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，从而有,综之得：,这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式准确成立，综之说明xk是高斯点。,再证必要性，即,若是高斯求积公式,设P(x)是任意次数不超过n的多项式，则,P(x)(x)的次数不超过2n+1，因此应准确成立,但,故.,求积节点构造的,注：,1、总可通过施密特正交化求出a,b上与所有次数不超过n的多项式都正交的多项式n+1(x)。,2、命题：n次正交多项式有n个单零点。,解：设P0(x)=C，1(x)=xx0。由于,即,展开，得,则一个点的高斯公式为,中矩形公式,例.求-1，1上与次数为0的多项式正交的多项式1(x)=？,二、高斯勒让得公式,若a,b=-1,1，其上的高斯公式为,称为高斯-勒让得公式。-1，1上的正交多项式称为勒让得多项式，勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。,几个Legandre多项式：,若取P1(x)=x的零点x0=0作求积节点构造公式：,令它对f(x)=1准确成立，即可定出A0=2.,从而得到一点高斯公式：,中矩形公式,令它对f(x)=1,x准确成立，即可定出A0,A1,可得两点高斯勒让得公式为,若取的零点作求积节点构造公式,注：更高阶的公式见书p122。,?,请思考:,高斯勒让得公式的求积区间是-1，1，那么对于任意求积区间a,b如何办？,解,作变换,可以化到区间-1，1上，这时,三、带权的高斯公式（更一般的表现形式）,有时需要求如下带权的积分：,称上述(x)0是权函数。,定义：,若求积公式,具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.,高斯点,我们类似的可有：,定理,是高斯点的充要条件：,是区间a,b上带权(x)正交的多项式。,若a,b=-1，1，权函数为,所建立的高斯公式,切比雪夫高斯公式,称为切比雪夫高斯公式。xk是切比雪夫多项式的零点。,4.7.4Gauss-Chebyshelvquadratureformula,Remark1threetermrecurrenceformulav.s.Schmidtorthogonolization;Remark2Tnareperpendicularpolynomials;,Atlast,wellstatetheerrorestimationoftheGauss-Chebyshelvformulawithouttheproof:,AccordingtotheerrorestimationoftheGauss-Typeformula,wehave:,Consultthetableinp122.,构造高斯公式的一般方法：,1、构造正交多项式，继而求其零点，再按插值求积公式获得高斯公式；2、待定系数法,此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等。例如：,-拉盖尔-高斯积分,举例,要构造下列形式的高斯公式,解,则其代数精度应为,即,求解?!,定理（稳定性）高斯求积公式的求积系数Ak0.,证明：事实上,这表明高斯求积法是稳定的。,关于积分余项和收敛性有：,积分余项：,收敛性：设f(x)Ca,b,则有：,4.1NumericalDifferentiation,However,(i)Thereisnoerrorestimation;(ii)ArethereanyothernumericalmethodsforND?H