解析几何第一章习题

解析几何作业集内部资料请勿盗印第一章向量与坐标11向量的概念1下列情形中的向量终点各构成什么图形（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点解2设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些向量是相等的解图113设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边、的中点，求证KLNM当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立解AFBECDO图124如图13，设ABCDEFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量1AB、CD2AE、CG3AC、EG4AD、GF5BE、CH解12向量的加法1要使下列各式成立，向量BA,应满足什么条件（1）BABA（2）BABA（3）BABA（4）BABA（5）BABA解13数量乘向量1、已知四边形ABCD中，CAAB2，CBACD865，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF解2、设BAAB5，BABC82，3BACD，证明A、B、D三点共线解3、在四边形ABCD中，BAAB2，BABC4，BACD35，证明ABCD为梯形解图136设L、M、N分别是ABC的三边BC、CA、AB的中点，证明三中线向量AL,BM,CN可以构成一个三角形解7设L、M、N是ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOAOCOLOMON解8如图15，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OAOBOCOD4OM证明9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明AGAHAFAC2证明图1511用向量法证明，平行四边形的对角线互相平分证明14向量的线性关系与向量的分解1在平行四边形ABCD中，（1）设对角线,BBDAAC求,DACDBCAB（2）设边BC和CD的中点M和N，且QANPAM,求CDBC,。解图142在平行六面体ABCDEFGH中，设,321EAEEADEAB三个面上对角线向量设为,RAFQAHPAC试把向量RQPA写成321,EEE的线性组合。解3设一直线上三点A,B,P满足APPB1,O是空间任意一点，求证1OBOAOP证明4在ABC中,设,1EAB2EAC1设ED、是边BC三等分点,将向量AEAD,分解为21,EE的线性组合（2）设AT是角A的平分线它与BC交于T点,将AT分解为21,EE的线性组合解图175在四面体OABC中，设点G是ABC的重心（三中线之交点），求向量OG对于向量OCOBOA,的分解式。解COPGAB（图1）6用向量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明ANMBLCO（图2）7已知向量BA,不共线，问BAC2与BAD23是否线性相关解8证明三个向量A1E32E23E,B41E62E23E，C31E122E113E共面，其中A能否用B,C线性表示如能表示，写出线性表示关系式解15标架与坐标3在空间直角坐标系OKJI,下，求P2,3,1，MA,B,C关于1坐标平面；2坐标轴；3坐标原点的各个对称点的坐标8已知向量A,B,C的分量如下1A0,1,2，B0,2,4，C1,2,1；2A1,2,3，B2,1,0，C0,5,6试判别它们是否共面能否将C表成A，B的线性组合若能表示，写出表示式解7已知A,B,C三点坐标如下（1）在标架21,EEO下，4,2,2,2,1,0CBA（2）在标架321,EEEO下，4,3,2,2,0,1,0,1,0CBA判别它们是否共线若共线，写出AB和AC的线性关系式解9已知线段AB被点C2,0,2和D5,2,0三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标解16向量在轴上的射影1已知向量AB与单位向量E的夹角为150，且10AB，求射影向量ABE与射影ABE，又如果EE，求射影向量ABE与射影ABE解17两向量的数性积1、已知向量BA,互相垂直，向量C与BA,的夹角都是60，且3,2,1CBA计算2224323321CBACBBABABABA解2、计算下列各题（1）已知,ABC两两垂直,且1,A2,B3,C求RABC的长和它与,ABC的夹角（2）已知2,A5,B2,3AB3,PAB17QAB问系数取何值时P与Q垂直解3、用向量法证明以下各题1三角形的余弦定理A2B2C22BCCOSA2三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距证明（1）2图111图1125已知平行四边形以A1，2，1，B1，2，1为两边1求它的边长和内角2求它的两对角线的长和夹角解6已知ABC的三顶点0,0,3,A4,0,0,B0,8,3C，试求1三边长2三内角3三中线长4角A的角平分线向量AD（中点在BC边上），并求AD的方向余弦和单位向量解18两向量的矢性积1已知1A,5,B3AB试求1AB22ABAB3222ABBA解2证明（1）AB2A2B2，并说明在什么情形下等号成立（2）如果ABC0，那么ABBCCA，并说明它的几何意义4已知2,3,1A,1,2,3,B求与A,B都垂直,且满足下列条件的向量C1C为单位向量210CD,其中D2,1,75在直角坐标系内已知三点5,1,1,A0,4,3,B1,3,7C,试求1三角形ABC的面积2三角形ABC的三条高的长6已知2,3,1,A5,6,4B,试求1以,AB为边的平行四边形的面积2这平行四边形的两条高的长7用向量方法证明（1）三角形的正弦定理AASINBBSINCCSIN（2）三角形面积的海伦HERON公式，即三斜求积公式2PPAPBPC式中P21ABC是三角形的半周长，为三角形的面积19三向量的混合积1设A,B,C为三个非零向量，证明3A,B,CABA,B,C4AB,BC,CA2A,B,C3U11EA21EB31EC,12EAV22EB32EC,W13EA23EB33EC,试证明WVU,333222111CBACBACBA1E,2E,3E4已知直角坐标系内向量,ABC的分量,判别这些向量是否共面如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积13,4,5A,1,2,2B,9,14,16