向量空间的定义、例子和子空间

教学目的与要求：理解向量空间的定义掌握向量空间的性质,第六章向量空间6.1定义和例子,重点：向量空间的定义与性质难点：向量空间的定义关键：向量空间定义中的两种运算,讲授方式：讲授,一定义和例子,1.定义令是一个数域.中的元素用小写拉丁字母来表示.令是一个非空集合.中元素用小写黑体希腊字母来表示.我们把中的元素叫做向量而把中的元素叫做标量.如果下列条件被满足,就称是上一个向量空间：,有一个标量与向量的乘法.对于中每一个数和中每一个向量,有中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做与的积,并且记作.,在中定义了一个加法。对于中任意两个向量有中一个唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做与的和,并且记作.,向量的加法和标量与向量的乘法满足下列算律：,3)在中存在一个零向量,记做0,它具有以下性质：对于中每一个向量,都有,4)对于中每一个向量,在中存在一个向量,使得.这样的叫做的的负向量.,这里是中任意向量,而是F中任意数.,注：向量空间的定义中的两种运算必须满足规定的条件,2.举例：,特别,F上一切矩阵所成的集合和一切矩阵所成的集合分别作成F上向量空间.前者成为F上n元行空间，后者称为F上n元列空间.我们用同一个符号来表示这两个向量空间.,例2数域上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和矩阵的乘法来说作成F上一个向量空间.,例3复数域C可以看成实数域R上的向量空间.,事实上，两个复数的和还是一个复数；一个实数与一个复数的乘积还是一个复数.条件显然都被满足.,例4任意数域C总可以看成它自身上的向量空间.,例5数域F上一元多项式环对于多项式的加法和数与多项式的乘法来说作成上一个向量空间.,例6（补充）（此例的目的是进一步帮助学生理解向量空间的加法与数乘运算）.令是实数域，V是全体正实数作成的集合，在V中定义加法为：（实际为数的普通乘法），再规定数乘为，则V作成K上的一个线性空间.,证明：首先要说明这两种运算的封闭性.,因为V中任意两个元素的乘积仍在V中,下验证上述定义的两种运算满足8条,3)V中的零向量为1（而不是通常理解的0），因为,同理可验证也成立，故V作成K上的一个向量空间.,注：由例6知向量空间的加法与数乘是一种抽象的运算，并不是我们通常意义下的加法与数乘，比如例6中的加法实质为数的普通乘法，而数乘实质为普通数的乘方运算.,要验证一个非空集合是否作成一个数域上的向量空间，只须对所给的两种运算首先判断其是否封闭.其次，再判断它们是否满足8条运算即可.,不利用向量空间中加法的可交换性，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元.,向量空间定义中的加法交换律可由定义中的其它公理推出（证明见高代选讲）.（习题8）向量空间定义中条件中的8）不能由其余条件推出，即条件,不是显然的，也不是多余的,例如，令,在V中定义加法如下，,在与中定义数乘如下：,可以验证如上定义的加法与数乘运算满足的其余7条但8）并不满足，事实上，取,二向量空间的性质,性质1：零向量是唯一的,证明：设0和都是向量空间V的零向量，那么根据零向量的定义，对于中任意向量都有,（注:通过这种方法要向学生灌输这种证明唯一性的方法）,性质2:每个向量的负向量是唯一的，且把向量,的唯一的负向量记作,于是,定义向量的差：,性质3：普通移项规则成立，即,证明：“”设,“”设,性质4（命题6.1.2）：,证明（略）,三、一些记法,1设是上向量空间V的n个向量，我们把它们排成一行，写成了一个以向量为元素的矩阵,2设是数域F上一个矩阵，我们定义,（实质可看成矩阵的乘法）,课堂讨论与练习：证明：不利用向量空间的定义中加法的交换律，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元.,作业：P2212，3，4，5思考：P2216，7,6.2子空间,授课方式：课堂讲授教学目的：理解子空间的定义会判断一个非空集合是否是子空间理解子空间的和与交教学重点与难点：子空间的定义子空间的一些等价刻划子空间的和与交,1.子空间的定义：设V是数域F上的一个向量空间，W是V的一个非空子集，若W对于V的加法与数乘作成一个向量空间，则W称是V的一个子空间（注：给出了W是V的一个子空间的判别方法）,2.定理6.2.1设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于F的加法以及标量与向量的乘法是封闭的，那么W本身也作成F上一个向量空间.,注：由1，2知V的子空间W也是F上的一个向量空间，并且一定含有V中的零向量.,由定理6.2.1知，要判断是否是V的子空间只须验证加法与数乘封闭即可.,3.例子,例1：零空间，平凡子空间，真子空间,例3：中一切形如,的向量作成的一个子空间,例4：中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成的一个子空间.,例5：（补充）数域F上齐次线性方程组,的全体解向量作成F上的一个线性空间，称为这个齐次线性方程组的解空间，它是的一个子空间.,下面，我们给出了一个非空集合是否是子空间的判别法则.,定理6.2.2数域F上向量空间V的一个非空子集W是的一个子空间，必要且只要对于,证如果W是子空间，那么由于W对于标量与向量的乘法是封闭的，所以对于都有,.又因为W对于F的加法是封闭的，所以,反过来，如果对于任意,这就证明了W对于V的加法以及标量的乘法的封闭性.,4子空间的交与和交：子空间的交仍是子空间（利用定理6.2.2）推广到有限、无限子空间的交，结论仍然成立.,即：设是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令,仍是V的子空间叫做与的和,推广到任意有限个的情形：设,的子空间，则,仍是V的子空间，称为子空间,注：子空间的并