18考研数学十年真题答案解析数一

12008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析一、选择题（1）【答案】（B）【详解】2LN22FXXX，22242LN202XFXXX，所以FX在,上是单调递增的又因为00F，根据其单调性可知FX只有一个零点（2）【答案】（A）【详解】由2222222111XYYYFXXYXYYY，10,111XF222221YXYXFXXYY，0,10YF所以0,110GRADFIJI（3）【答案】（D）【详解】由通解表达式可知其特征根为11，2,32I故对应的特征方程为212214II，即32440所以所求微分方程为440YYYY，选（D）【评注】对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系（4）【答案】（B）【详解】若NX单调，则由FX在,内单调有界知，NFX单调有界因此NFX收敛，应选（B）（5）【答案】（C）【分析】利用逆矩阵的定义或特征值进行讨论【详解】方法一由30A得32EEAEAEAA，EEAEAEAA所以,EAEA均可逆故选（C）方法二由30A知，A的任意特征值必满足30，即0为A的N重特征值，于是1为2EA和EA的N重特征值，即EA和EA都没有零特征值所以EA和EA均可逆，故选（C）（6）【答案】（B）【分析】这是综合考查空间解析几何与线性代数的问题【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程为222221YZXAC，故方程左端对应二次型的正惯性指数为1，即A的正特征值的个数为1，故选（B）（7）【答案】（A）【详解】因此选（A）【评注】Z本身是一维随机变量，其分布函数只有一个自变量（8）【答案】（D）【详解】由1XY可知1,0PYAXBA，故可排除（A）（C）又0,1EXEY，可否定（B），因为若（B）成立，则1EY，与已知矛盾故（D）正确二、填空题（9）【答案】1YX【详解】分离变量，得YXYXDD两边积分有，LNLNYXC，所以1CXY，又11Y，所以1YX（10）【答案】1YX【详解】设,SINLNFXYXYYXX，斜率1COS11COSXYYXYFYXKFXXYYX，在0,1处，1K，所以切线方程为1YX，即1YX（11）【答案】1,5【分析】若幂级数00NNNAXX在XA处收敛，则当00XXAX时，此幂级数发散【详解】由题设知，当2022X，即4X时，幂级数发散可见幂级数的收敛半径为2于是幂级数03NNNAX当32XDD；3,01,12COS0XYXYXIYXXY，当N充分大时，有NAM，因而2222NNNABMB，由1NNB收敛可知21NNB收敛，所以选（C）（5）【答案】（A）【详解】根据过渡矩阵的定义，有12233112310111,22023033可见过渡矩阵为101220033，所以选A（6）【答案】（B）【详解】利用伴随矩阵的公式，有11221111230A0A0A0BABB0B0B0A00ABB0ABABA0BA00BA0故答案为（B）（7）【答案】（C）【详解】随机变量X的概率密度为，103072XFXFXX1030352XX，其中X为标准正态分布的概率密度函数所以1030352XEXXFXXXXXXXDDD0XXXD，131221222XXXUUUUUDDD所以0035207EX（8）【答案】（B）【详解】根据分布函数的定义，有0011101210012ZFZPXYZPXYZYPYPXYZYPYPXYZYPXYZYPXZYPXZY因为,XY相互独立，所以102ZZZZFPXPX（1）当0Z，20XYXXYYFFF时，取对数得11LN2LNLNNNIIIILNXX令1LN200NIILNXDD得参数的最大似然估计量为2X，其中11NIIXXN202010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析一、选择题（1）【答案】（C）【详解】22LNLIMLN2LIMLIMEEXXXXXAXBXAXBXXXXAXB233222LIM1LIMEEEXXXXXAXBXABXXXAXBABXAXBXAB（2）【答案】（B）【详解】122212221XZYZYZFFFFFXXZXXXFFFX112211YZFFFZXYFFFX所以，1212222YFZFYFFZZZXYZXYFFF应选（B）【评注】此题也可两边求全微分求得ZX，ZY（3）【答案】（D）【分析】0,1X为瑕点，插入分点12，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛散性【详解】221112121002LN1LN1LN1MMMXXXXXXIIDDD对于1I，121210LN1LIM1MNMXNXXX，且对任意正整数,MN，有121NME，所以10F为极小值当1X时，0FX，01X，1X，且0A，0C，有01F，00F因此选（A）（4）【答案】（B）【分析】利用定积分比较大小的性质【详解】在上，SINCOSCOTXXX，且LNX是增函数，30则在上，LNSINLNCOSLNCOTXXX，且它们不恒等由定积分的保号性故应选（B）【评注】严格意义上应考虑反常积分的收敛性（5）【答案】（D）【详解】由已知条件有21PAPE，得1112121APEPPP故应选（D）（6）【答案】（D）【详解】由于1,0,1,0T是方程组A0X的一个基础解系，故413RA，1RA于是A0X的基础解系含线性无关向量个数为3又1,0,1,0T是A0X的解，从而130，由|0AAAE，得1234,均为A0X的解由于130，所以13,线性相关，故234,可作为A0X基础解系故选（D）（7）【答案】（D）【详解】因为11XFXF，22XFXF，于是1221122112FXXFXXXXXXXXFFFFFFFF，从而1121221FXXFXXXXXFFDFF且12120FXXFXXFF，故1221FXXFXXFF为概率密度故应选（D）（8）【答案】（B）【详解1】1MAX,2UXYXYXY1MIN,2VXYXYXY2214UVXYXYXYEUVEXYEXEY31【详解2】因为,XXYUYXY的情形2221111KKXFXXX当1K时，0FX无实根当1K时，01XK，则FX在0,1K上单调递增；1XK，0FX，LIMXFFX，所以方程在1,K内有一实根综上所述当1K时，方程只有一实根0X；当1K时，方程有三个实根33【评注】关于方程根的问题中，若含有参数一定要讨论参数的取值另外，此题中还涉及广义的零点定理（18）【详解】（1）设LN1FXX，10,XN显然FX在10,N上满足拉格朗日中值定理，111110LN1LN1LN11FFNNNN，10,N10,N时，11111111101NNNN即数列NA有下界故数列NA收敛（19）【详解】用分部积分法，1111000,XXXXYFXYYFXYFXYYFXYYDDD交换积分次序，111111000000,XXXXXYFXYXXFXYYYXFXYXDDDDDD再用分部积分法，所以，11110000,DXYDXYXFXYXYFXYFXYXYAYXXDDDDD（20）【分析】由向量组之间的线性表示定理可知1，2，3一定线性相关，从而可求得A求一个向量与另一个向量组之间的线性表示实际上就是求非齐次线性方程组的解【详解】（1）易知向量组1，2，3线性无关，又向量组1，2，3不能由1，2，3线性表示，故1，2，3线性相关（否则1，2，3均可由1，2，3线性表示）于是，行列式|1，2，3|0，即34113124013A解之得5A（2）对矩阵A1，2，3，1，2，3作初等行变换得，故（21）【分析】利用特征值、特征向量的定义以及实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交进行求解【详解】（1）由RA2得A有特征值10又知A有特征值，且对应的特征向量分别为，令10对应的特征向量为，则与正交于是，即131300XXXX解之得方程组的基础解系为T0,1,0，故可取T10,1,0，所以10，21，31对应的特征向量分别为1110KK，2220KK，3330KK（2）记123011,100011P，则1011PAP，得10100011011110010221011111022001000100APP35【评注】若将23,单位化，得211021，211021令123,Q，则Q为正交矩阵，且1011TQAQQAQ于是000110001100TAQQ（22）【分析】这是已知边缘分布与部分联合分布求联合分布、随机变量函数分布与数字特征的问题关键是正确分解事件22XY【详解】（1）由221PXY得，0,01,11,11PXYPXYPXY，于是0,10,11,00PXYPXYPXY再根据联合分布与边缘分布的关系得二维随机变量,XY的概率分布为XY101IP001301311301323JP1313131（2）ZXY的所有可能取值为1，0，1，且分布律为Z101P13131336（3）因为23EX，0EY，0EXY，故,0XYEXYEXEYCOV，从而X,Y的相关系数COV0XYXYDXDY（23）【详解】总体X的概率密度为，X故13IIFX，所以FX单调增加；于是当10FXF，即21LNCOS112XXXXX，当01FXF，于是FX在01FXF，即21LNCOS112XXXXX，故21LNCOS112XXXXX，11，且0A，且0A知121,0EF是极小值（17）【详解】记244321NNNAN，0,1,2N2124141321LIMLIM1211443NNNNANNNANNN，所以由幂级数的性质得收敛半径1R，11X02T02T【评注】23PP可通过标准正态密度曲线图形立即看出（8）【答案】（C）【详解】因为XTN，1,YFN，则21,XFN，故Y与X2同分布，并且注意到TN的密度曲线关于Y轴对称，于是22222PYCPXCPXCPXCPXC二、填空题（9）【答案】1【分析】考查导数定义及隐函数的求导方法【详解】在方程1EXYYX中，令0X，得01YF，等式两端对X求导得11XYYYXY1E，将0X，01YF代入上式，得01Y故01001LIM1LIMLIM011NNXFFFXFNNFFNXN（10）【答案】3212EEEXXXYCCX，1C，2C为任意常数【详解】由已知条件知，312EEXXYY，313EXYY，显然12YY，23YY线性无关，所以该二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为3212EEEXXXYCCX，1C，2C为任意常数（11）【答案】2【分析】利用参数方程的求导公式即可【详解】由SINSINCOSXTYTTT可知COSCOSYYTTTTXXTTDDDDDD，于是221COSYTXDD，故2242TYXDD（12）【答案】LN2【分析】对于此无穷限的反常积分可用通常定积分的计算方法【详解】由分部积分法，211111LNLNDD1111LNLN21XXXXXXXXXXXXXD（13）【答案】1【分析】根据已知条件易联想到利用重要公式AAAE48【详解】由0IJIJAA，有IJIJAA,1,2,3IJ，得TAA，于是TAAAAAE两边取行列式得23AA，解得1A或0A当0A时，由TAAAE0，有A0，与已知矛盾，所以1A（14）【答案】11E【详解】随机变量Y服从参数为1的指数分布，故1000YYYFYEY，于是111111PAYAFAFAPYAYAFAPYAE三、解答题（15）【分析】被积函数中含有变限积分，一般可用分部积分法【详解】由1LN1XTFXTTD知10F，LN1XFXX，因此11110000222FXXFXXXFXXFXXXDDD1100LN124LN1XXXXXDD11004LN141XXXXXD12014LN2811XXD11004LN288ARCTANXX4LN282（16）【分析】利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解【详解】（1）由题设得232NAN，21121NAN，212LIM0NNNAA，故级数收敛区间为,由0NNNSXAX得11NNNSXNAX2220112NNNNSXNNAXNNAX由题设21NNANNA，得212ANNA所以SXSX，即0SXSX（2）由（1）关于SX的微分方程0SXSX，对应的特征方程为210，得特征根为491，所以方程通解为12EEXXSXCC由003SA，101SA得12C，21C所以2EXXSXE（17）【详解】令32E03XYFXXYX，3103XYFXYYE解得可能的极值点为143XY，123XY又2322223XYFXXXYXE，232E13XYFXXYXY232E23XYFXYY当41,3XY时，133EA，13EB，13EC由2232E0ACB，且0A，知41,3为,FXY的极小值点，极小值为1341,E3F当21,3XY，53EA，53EB，53EC，10232E0ACB时，取对数得111LN2LN3LNNNIIIILNXX，对求导得1LN21NIILNXDD，令LN0LDD解得的最大似然估计值为121NIINX，所以的最大似然估计量为121NIINX532014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析一、选择题（1）【答案】（C）【分析】本题考查求渐近线的基本方法分别判断各曲线是否有水平、垂直和斜渐近线即得正确答案【详解】因为1SINLIMLIM1XXXYXKXX，1LIMLIMSIN0XXBYXXXX所以曲线1SINYXX有斜渐近线YX,故选（C）（2）【答案】（D）【分析】利用凹凸性的几何意义【详解】举例取2FXX，则在0,1区间上，0011FF，则011GXXXX，于是FXGX，此时20FX，故选（D）（3）【答案】（D）【详解】21101,YYYFXYXDD的积分区域是由直线1XY，单位圆221XY在第二象限部分及X轴所围成的平面区域令COSX，SINY，则0，直线1XY的极坐标方程是COSSIN1RR，单位圆221XY的极坐标方程是1R，因此211112COSSIN010002,COS,SINCOS,SINYYYFXYXFRRRRFRRRRDDDDDD（4）【答案】（A）【详解】2,COSSINFABXAXBXXD22222222220322COSSIN2COS2SIN2SINCOS2COSSIN2SIN2232XAXBXAXXBXXABXXXXAXBXBXXXABBDD于是，由,0FABA，,0FABB得唯一驻点0A，2B，即为最小值点，所以，若2211,COSSINMINCOSSINABRXAXBXXXAXBXXDD，则11COSSIN2SINAXBXX，选（A）54（5）【答案】（B）【分析】本题考查行列式的计算方法，直接按行展开即可【详解】41440A00000100100000000BABABABCBDACDCDCDCD2321211ABABCDDACDCDBCADADBCADBC（6）【答案】（A）【详解】132312310,01KLKL，记1001KLB，于是当向量组123,线性无关时，向量组13K，23L的秩等于矩阵B的秩，2RB，即向量组13K，23L线性无关显然，当取3为零向量时，向量组13K，23L线性无关不能保证123,线性无关故向量组13K，23L线性无关是向量组123,线性无关的必要而非充分条件，选（A）（7）【答案】（B）【详解】0503PABPAPABPAPAPBPA，即06PA，所以050302PBAPBPAB（8）【答案】（D）【详解】由1X与2X相互独立，且21212YXX，知212121122EYEXXEXEX，21214DYDXDX由1X与2X相互独立，且11212YFYFYFY可得112122122YEYFYFYYEXEXEYD，222211212122YEYFYFYYEXEXD，222221111211124DYEYEYEXEXEXEX552222112122212121221212121221222412224122424EXEXEXEXEXEXDXDXEXEXEXEXDXDXEXEXDXDXDXDXDY所以，12EYEY，12DYDY，选（D）二、填空题（9）【答案】210XYZ【详解】曲面在点1,0,1的法向量为所以曲面在1,0,1的切平面的方程为210XYZ（10）【答案】1【详解】由21FXX，有22FXXXC，0,2X又FX是周期为4的可导奇函数，得00F，故0C，22FXXX所以（11）【答案】21EXX【详解】将LNLN0XYYXY变形得LN0YYYXX令YUX，则YXU，YUUXXXDDDD，代入上式整理得LNUXUUUXDD两边积分得1LNLN1LNLNUXC，即LN1UCX，解得1ECXYX由31EY，知2C，因此微分方程的解为21EXYX（12）【答案】【详解】柱面221XY与平面0YZ的交线L的参数方程为COSX，SINY，SINZ，02因此20SINSINSINCOSLZXYZDDD201COS22D（13）【答案】2,2【详解】22123121323,24FXXXXXAXXXX5622221322332222213233322221323342424XAXXXXAXXAXXXXAXXAXXXAX因为FX负惯性指数为1，所以240A即22A（14）【答案】25N【分析】本题综合考查了数学期望的计算、简单随机样本的性质【详解】2222221125CC23NNIIIIXNCXXNCEXEXD，若21NIICEX是2的无偏估计，则2252NC，于是25CN三、解答题（15）【分析】利用等价无穷小代换和洛必达法则【详解】1122E1TE1TDTLIMLIMLN1XXTTTXXD12E1LIM1XXXX121LIME1XXXX200111LIMLIM22TTTTTTTEE（16）【分析】本题是求一元隐函数的极值问题，注意隐函数的求导方法【详解】在方程32260YXYXY两端关于X求导，得2223220YYXYYXYYXY令Y0，得2YX，或0Y（不适合方程，舍去）将2YX代入原方程得3660X，解得1X，12F在2223220YYXYYXYYXY两端关于X求导，得226222322220YYYXYXYYXYXYYYYXY求得1409XY所以1X是函数YFX的极小值点，极小值为12F（17）【详解】因为COSCOSXXZFYYXEE，COSSINXXZFYYYEE，57222ECOSECOSECOSECOSXXXXZFYYFYYX2222ECOSESINECOSECOSXXXXZFYYFYYY222222ECOSE4ECOSEXXXXZZFYZYXY所以原方程222224ECOSEXXZZZYXY化为2ECOSE4COSCOSXXXXFYFYYEE从而函数FU满足方程4UFFUU方程4FUFU的通解为2212EEUUFUCC，方程4UFFUU的一个特解为4U，所以方程的通解为2212EE4UUUFUCC，由00F，00F得1212012204CCCC解得1116C，2116C故221EE416UUFUU（18）【详解】设1为平面1Z上被曲面（单位圆）2211XYZ所围成部分的下侧，1与所围成的立体为，则33111IXYZYZXZXYDDDDDD11333311Z111Z1XYZYZXXYXYZYZXXYDDDDDDDDDDDD22313110XYXYZDDD2236367XXYYXYZDDD22337XYXYZDDD2211200374RRRRZDDD（19）【证明】（1）因为COSCOSNNNAAB，02NA，有LIM1NNPAND，从而Y的概率分布为12221171188NNNPYNCPPPN，2,3,N（2）方法一222217188NNNEYNPYNNN217188NNNN因为2121NNSXNNX，11XDD，即INL关于单调增加，所以12MINNXXX，为的最大似然估计量712016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案与解析一、选择题（1）【答案】（C）【分析】利用反常积分的比较判别法【详解】1001111111ABABABXXXXXXXXXDDD，由于011LIM11ABXAXXX，所以1A时，111ABXXXD收敛应选（C）（2）【答案】（D）【详解】21211DLN1XCXFXFXXXXXCX所以，当2T时，IT取极小值，即最小值，最小值23I（18）【详解】由高斯公式得22321IXXYZXXYZDDDDDD11002121XXDDXXYZXXYZDDDDDD1123200212123122XXXXXXDD（19）【证明】（1）依题意知11NNNNNNXXFXFXFXX11221122NNNNXXXX，1122PU，21202113228XXPXDXDY故1111,2222PUXPUPX，即U与X不独立79（3）因为UXUX,U0UUX,U1ZZZ，于是，ZUX的分布函数为FPUXPUX,U0PUX,U1ZZZZPX,U0PX1,U1ZZPX,XYPX1,XYZZ下面分别计算上式中的两项概率当0Z当01Z12Z1ZFZ综上所述，Z的分布函数为233220,03,012121112221,2ZZZZZFZZZZZ,从而2FX单调递增，2211FF即11FF（3）【答案】（D）【详解】方向余弦1COS3，2COSCOS3，即122,333偏导数1,2,01,2,024XFXY，21,2,01,2,01YFX，1,2,01,2,020ZFZ，故所求方向导数为1,2,01224102333FN（4）【答案】（C）【详解】由题意，002110TTVTTVTTDD，于是由图中面积得025T选（C）（5）【答案】（A）【分析】把矩阵可逆与没有零特征值联系起来即得正确答案【详解】由为N维单位列向量，知T为N阶方阵，且T的N个特征值为10（1N重），T21因此矩阵T的N个特征值为11（1N重），21，所以T不可逆另外，易知其他3个选项中的矩阵均没有零特征值（6）【答案】（B）【详解】显然A，B，C的特征值均为2，2，121REA，即A的属于特征值2的线性无关的特征向量有2个，故A有3个线性无关的特征向量，可对角化即A与C相似22REB，即B的属于特征值2的线性无关的特征向量有1个，故B有2个线性无关的特征向量，不可对角化B与C不相似82（7）【答案】（A）【详解】由|PABPAB1PABPABPBPBPABPBPBPAPABPABPAPB又|PBAPBA1PABPBAPAPAPABPAPAPBPABPABPAPB故选（A）（8）【答案】（B）【详解】0,11IXN，且1X，2X，NX相互独立，故221NIINX又10,2NXXN，于是22112NXX，故212NXX服从2分布不正确二、填空题（9）【答案】0【分析】利用FX的麦克劳林展开式，0NNFAN【详解】利用麦克劳林公式得，2462111FXXXXX，11X，YX取得极小值10Y（18）【分析】（1）用零点定理；（2）利用原函数法构造辅助函数，再用中值定理20FXFXFX变形为FXFXFXFX，两边积分并分离常数得CFXFX，辅助函数即为FXFXFX【详解】1由0LIM0XFXX，在,1C上用零点定理，至少存在一个C,1，使得0F即方程0FX在区间0,1内至少存在一个实根2由函数FX在区间0,1内可导，从而一定连续，以及0LIMXFXX存在，得00