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1,4Romberg求积公式,2,3,4,5,6,梯形值序列,Simpson序列,Cotes序列,Romberg序列,Romberg方法计算过程,7,=0.9207355,=0.9397933,8,9,2,4,1,8,0.9207355,0.9397933,0.9445135,0.9456909,0.9461459,0.9560869,0.9460833,0.9460830,0.9460831,0.9460831,利用只有一两位有效数字的T1,T8经过三次外推得到7位有效数字.可见加速的效果十分显著.,用Romberg算法计算如下,准确值I=0.9460831,10,Romberg算法的理论依据,11,Romberg算法的理论依据,有如下EulerMaclaurin公式,12,Romberg算法的理论依据,13,Romberg算法的理论依据,14,5Gauss型求积公式,5.1一般理论,15,（一）Gauss型求积公式,16,17,区间-1,1上两点高斯求积公式,18,梯形公式与Gauss求积公式的比较,19,区间-1，1上三点高斯求积公式,20,（二）Gauss点与正交多项式的关系,21,22,结论1：,23,结论3：求积系数也可用下面计算公式,24,（三）Gauss型求积公式的误差,25,26,5.2几种常用的Gauss型求积公式,(一)GaussLegendre求积公式,高斯点为GaussLegendre多项式的零点,27,两点高斯-勒让德求积公式为：,28,三点高斯-勒让德求积公式为：,n更大时Gauss-Legendre求积公式的节点与系数可通过查表得到,29,30,解：作变换,31,（二）GaussChebyshev求积公式,求积系数为：,GaussChebyshev求积公式为,其余项为,32,例:用如下两点GaussChebyshev求积公式,解:,33,（三）GaussLaguerre求积公式,截断误差为,求积系数为,34,35,（四）GaussHermite求积公式,截断误差为,求积系数为,36,高斯型求积公式精度高，能计算广义积分，但需要通过查表得到节点与求积系数，而且当节点数增加时，原来的计算结果不能继续使用。,高斯型求积公式需要掌握：,37,解：记,38,39,此求积公式有5次代数精确度,是Gauss型求积公式。,40,查表,41,Matlab函数,quad:自适应步长Simpson积分法用法:quad(Fun,a,b,tol),其中Fun为被积函数,a,b为积分下上限,tol为误差精度.quadl:高精度Lobatto积分法用法:同quad(Fun,a,b,tol).,f=inline(exp(-x.2);quad(f,0,1,1e-6)ans=0.74682418072
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