大学物理A第3章-动量和角动量a

2020/5/1,1,第三章,动量守恒定律,2020/5/1,2,教学基本要求,一掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件.,二熟练掌握用隔离体法分析物体的受力情况,能用微积分方法求解变力作用下的简单质点动力学问题.,2020/5/1,3,一理解动量、冲量概念,掌握动量定理和动量守恒定律.,二了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点.,教学基本要求,2020/5/1,4,牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄不清楚过程的细节。,作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累效应。,力在空间上的积累,作功，改变动能,力在时间上的积累,(1)平动=冲量，改变动量,(2)转动=冲量矩，改变角动量,2020/5/1,5,牛顿第二定律的另外一种表示方法,2020/5/1,6,力在时间上的积累效应,力F在tt+dt时间内给质点的冲量.,在有限时间内,一、质点的动量定理,定义冲量,在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量质点的动量定理,2020/5/1,7,讨论,1.冲量是矢量。冲量的大小和方向与整个过程中力的性质有关。,2.在冲击等过程中，力的作用时间很短暂，而力随时间的变化却很复杂，无法通过力的积分计算冲量,并估算力的平均冲力：,如：汽车气囊、拳击手套、运动护垫,但可由求得力的冲量。,2020/5/1,8,讨论,2020/5/1,9,*教授吸收了铁锤的全部动量，但只吸收了部分动能！,讨论,2020/5/1,10,讨论,2020/5/1,11,6.动量与参照系有关，但动量差值与参照系无关。因此，动量定理适用于所有惯性系。,5.动量定理适用于任何形式的质点运动，但在讨论如冲击、碰撞等过程时更方便。,4.动量定理的分量式,3.动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的。,讨论,2020/5/1,12,解：,(1)根据动量定理：,2020/5/1,13,2020/5/1,14,例2、一物体受合力为（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？,2020/5/1,15,2020/5/1,16,例3、质量为2kg的物体沿x轴正方向无摩擦地运动，设t=0时，物体位于x0=0、速度v0=0，设物体在力N的作用下移动了8s时，求它的速度为多少？,2020/5/1,17,2020/5/1,18,例4、质量为2kg的质点在xy平面上运动，受到外力,的作用，t=0时，它的初速度为,求t=1s时质点的速度及受到的法向力,2020/5/1,19,2020/5/1,20,由于在自然坐标系中,切向速度方向就是,方向,2020/5/1,21,此时法向的力是,方向的,2020/5/1,22,内力：质点系内各质点之间的相互作用，fij,二、质点系的动量定理,1质点系的动量,质量分别为:位矢分别为:动量分别为:质点系总动量：,2质点系的内力和外力,外力：质点系外质点对内各质点的作用，Fi,2020/5/1,23,对所有质点求和,3质点系的动量定理,第i个质点的动力学方程,共有N个方程,质点系的总动量,质点系的合外力,质点系的内力和,2020/5/1,24,依牛顿第三定律，因内力总是成对出现（fij和fji）,与单个质点的动量定理形式上相同,质点系的动量定理：作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量,2020/5/1,25,若（1）质点系所有质点不受外力；,（1）.区分外力和内力内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量。,4动量守恒定律,质点系总动量不随时间改变,（2）质点系所受合外力为零；,注意,质点系动量守恒定律,2020/5/1,26,(3).在碰撞、打击、爆炸等过程，外力与内力相比小很多。在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之下可以忽略不计。可近似认为动量守恒。,(4).动量定理只适用于惯性系,(5）.在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推论。但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。,(2).合外力沿某一方向为零：该方向上的动量守恒（尽管总动量不守恒）,2020/5/1,27,例3、炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面有摩擦，摩擦系数为,炮弹相对炮身的速度为u，求炮身相对地面的反冲速度v。,2020/5/1,28,解：,选取炮车和炮弹组成系统,运用质点系的动量定理：,内、外力分析。,x方向：,y方向：,2020/5/1,29,2020/5/1,30,三、质心,考虑两个质点组成的“孤立体系”,由动量守恒得,2020/5/1,31,定义,空间点C的位置矢量,C称为系统的质心,设,2020/5/1,32,质量分别为:位矢分别为:动量分别为:,2020/5/1,33,质点系总动量：,2020/5/1,34,表明：两质点系统可看作一个质量集中在的一个质点。,即：质点系的运动等同于一个质点的运动：该系统的动量就等于该“质点”的动量；系统的动量守恒就等同于该“质点”的动量守恒。,定义质量中心,将上述讨论推广到N个质点系统,2020/5/1,35,分量形式：,2020/5/1,36,对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元,分量形式：,式中,2020/5/1,37,同样，对孤立的N个质点系统或连续分布体有：,或：,质点系的运动等同于一个“质点”的运动；该系统的动量就等于该“质点”的动量；系统的动量守恒就等同于该“质点”的动量守恒。,表明：系统可看作一个质量全部集中在的一个“质点”,对于非孤立系统，每个质点都可能受到外力的作用，系统总动量一般不再守恒。,2020/5/1,38,四、质心运动定理,设想系统在外力的作用下运动,质心速度：,质心加速度：,2020/5/1,39,质心运动定理,当质点系受到的合外力为零时，质心保持静止或匀速直线运动（动量守恒）。,表明：如果将系统看作一个质量全部集中在的一个质点，则质点系的运动就等同于一个质点的运动（指平动）,2020/5/1,40,例5、质量分别为和的小孩在光滑的平面上通过一条轻绳彼此拉对方。设他们开始时静止，相距为l，问他们在何处相遇？,解设t=0时刻，两小孩分别处于和。在水平方向上，系统不受外力作用，因此水平方向上动量守恒，即,2020/5/1,41,例5、质量分别为和的小孩在光滑的平面上通过一条轻绳彼此拉对方。设他们开始时静止，相距为l，问他们在何处相遇？,由此得,2020/5/1,42,整理后，得,利用关系式，得,2020/5/1,43,因此，两人相遇时的位置坐标为,相遇点距离A为,相遇点距离B为,2020/5/1,44,例5、质量分别为m1和m2的小孩在光滑的平面上彼此拉对方。设开始时静止，相距l。问他们在何处相遇？,解：,设t=0时刻，两小孩分别处于x10和x20。,x20-x10l,2020/5/1,45,水平方向上外力为零，且在t=0时刻，两小孩静止。,由质心运动定理：,即：质心不动，两人相遇时，一定在其质心位置，故有,按定义：t=0时质心位置为,此乃两人相遇地点的位置坐标。（与前述用动量守恒定律所得结果相同）,2020/5/1,46,有可能结合在一起；或产生新的成份（如粒子间的碰撞）,碰撞是自然界中十分普遍的现象，泛指一类“物体”间的“相互作用”。,特点：,“碰撞”前，无相互作用；接近时发生相互作用；“碰撞”后，相互作用消失。,作用时间短，作用力复杂。,碰撞前后为自由运动状态,相互作用结果：,2020/5/1,47,但是，“碰撞”前后，“物体”的性质是容易测量的。,通常根据“碰撞”前后“物体”性质的变化来研究“物体”间的相互作用性质。,如：高能粒子对撞机可用来（1）产生新粒子(BEP)（2）研究粒子间的基本相互作用(LEP),由于碰撞过程中（1）相互作用强，（2）力的形式复杂，（3）无法直接测量和记录碰撞过程。难以直接研究“碰撞”。,2020/5/1,48,五（完全）弹性碰撞,“碰撞”后的“物体”与“碰撞”前相同,且“物体”内部状态无变化,如：宏观物体无形变，无发热,微观粒子（有内部结构）的状态同碰撞前,特点：,“碰撞”前后“物体”总能量保持不变。,（宏观物体指动能，微观粒子指广义能量）,2020/5/1,49,五、完全非弹性碰撞,“碰撞”后的“物体”与“碰撞”前不相同;,如：宏观物体有形变，有发热等；,微观粒子（有内部结构）的状态不同于碰撞前，或产生新的粒子,或“物体”内部状态有变化。,特点：,“碰撞”前后“物体”总机械能不守恒。,（对微观粒子指部分或全部机械能转化为内部能量）,注意：力学部分的碰撞限于宏观物体的碰撞。,2020/5/1,50,由动量守恒守恒和总动能守恒：,碰撞理论,讨论限于两个质点的弹性碰撞和完全非弹性碰撞其它情况同学们自学！,1.弹性碰撞,如图所示,这是弹性碰撞所应遵循的两个一般关系,2020/5/1,51,两球m1，m2对心碰撞，碰撞前速度分别为v10、v20，碰撞后速度变为v1、v2,动量守恒和动能守恒,由上面两式可得,讨论：一维对心碰撞,2020/5/1,52,(4)/(3)得,碰撞前两球相互趋近的相对速度（v10-v20）等于碰撞后两球相互分开的相对速度（v2-v1）,由（3）、（5）式可以解出,2020/5/1,53,讨论,即两球经过碰撞而交换速度，其中最奇妙的是最初处于静止的情况，即碰撞静止的，结果会突然停止，接过的速度前进。原子反应堆中的中子减速剂就是利用这个原理。,这时可得：,气体分子与器壁的碰撞属于此类,2020/5/1,54,这相当于用质量很大的球去碰静止的轻球,这时可得：,讨论,即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。,这样的例子很多，请举之！,2020/5/1,55,2.完全非弹性碰撞,动量守恒,动能损失为,2020/5/1,56,当的特殊情况下，碰撞前后机械能的损失是：,令,，机械能完全损失；,打铁时要考虑前者，打桩时则要考虑后者的应用。,，机械能几乎不损失。,2020/5/1,57,3.恢复系数,牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v2-v1与碰撞前两球的接近速度v10-v20之比为以定值，比值由两球材料得性质决定。该比值称为恢复系数。,完全非弹性碰撞：e=0，v2=v1完全弹性碰撞：e=1，v2-v1=v10-v20非完全弹性碰撞：0e1,2020/5/1,58,六、质点对轴线的角动量定理,力是物体运动状态改变的原因；力可使物体产生平动或转动。,力矩,遵从牛顿2nd定律,遵从什么规律？,遵从角动量定理,如图所示：设力在垂直于转轴的平面内,力矩不仅与力的大小有关，还与力的方向（作用线到转轴的距离）有关。,2020/5/1,59,考虑到力矩与转动的方向，定义：,力对转轴的力矩,单位,Nm,方向,满足右手规则如图所示,2020/5/1,60,力对参考点O的力矩,为参考点到力的作用点的有向线段,力矩大小：,满足右手规则,2020/5/1,61,七、质点对点的角动量定理,类似于力矩的定义，可定义质点对参考点的角动量：,大小,方向,满足右手规则如图所示,单位,kgm2/s或Js,2020/5/1,62,质点匀速率圆周运动,L=mvR,质点对O点的角动量,角动量的大小、方向均不变！,大小,方向,如图所示,同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。,注意,2020/5/1,63,质点的角动量定理,转动定律,适用于质点对参考点的转动,作用于质点的合外力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.,2020/5/1,64,比照冲量，定义冲量矩：,或,（注意（1）物理意义（2）,质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.,2020/5/1,65,角动量守恒定律,由角动量定理,当,2020/5/1,66,角动量守恒定律,微分形式,2020/5/1,67,1）角动量守恒定律的条件,2）动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律,3）有心力力始终过某一点centralforce,行星在速度和有心力所组成的平面内运动,角动量守恒,如行星运动,动量不守恒角动量守恒,直升飞机,2020/5/1,68,开普勒第二定律,掠面速度,角动量守恒就是掠面速度相等,常矢量,2020/5/1,69,质点的角动量守恒,由质点对轴的角动量定理，如果质点所受的力对轴（例如z轴）的合力矩为零，则质点对该轴的角动量就不随时间改变.,质点对轴的角动量守恒定律,如果外力使质点变换轨道，由角动量守恒得：,2020/5/1,70,例7、一个质点在光滑的水平桌面上运动。设受轻绳的约束，质点开始绕O点作半径为的匀速圆周运动，速率为。若用外力通过轻绳使质点的圆周运动半径减小到，质点的运动速率变