线性代数相关定理结论总结(上).doc

线性方程组：高斯-约当算法：增广矩阵阶梯型矩阵简化阶梯型矩阵解的存在状况：1.阶梯型矩阵中出现“0=d(d0)”，无解；2.阶梯型矩阵中不出现“0=d(d0)”，若其中非零行个数为r,主元个数为n,则：r=n,方程组有唯一解 rn,方程组有无穷多个解。齐次方程组（常数项全为0）的非零解的存在情况：n元齐次线性方程组有非零解阶梯状矩阵中：非零行个数rn,n为主元个数；方程个数为s,若ss,则：向量组1,2,r线性相关。 向量组1,2,r可由向量组1,2,s线性表出，且向量组1,2,r线性无关,则：rs4.等价的线性无关向量组所含向量个数相等。5.向量组任意两个极大线性无关组的向量个数相等。秩1. 向量组1,2,s线性无关它的秩等于他所含向量个数。2. 向量组1,2,r可由向量组1,2,s线性表出，则 rank(1,2,r)rank(1,2,s)3.等价的向量组有相同的秩。4.矩阵的秩：（1）行秩等于列秩；（2）初等变换不改变矩阵的秩；（3）rankA=rankA（4）任一非零矩阵的秩等于它的不为零的的子式的最高阶数，即： A为n阶矩阵,若存在不为零的r阶子式Ar,且对于任一r+1阶子式Ar+1,都有Ar+1=0,则rankA=r.（5）A为n阶矩阵,rankA=nA=0线性方程组的解1.线性方程组有解判定线性方程组 x11+x22+xnn=有解的充要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵拥有相同的秩。即：A=1,2,n,A=1,2,n,n元齐次线性方程组Anmx=0若rankA=rn，则一定有非零解。2.线性方程组解的构造齐次线性方程组Anmx=0若rank(A)=r,则有n-r个线性无关的基本解组1,2,n-r通解：基本解组的线性组合，即x=c11+c22+cn-rn-r非齐次线性方程组Anmx=b若其特解为0,导出组Anmx=0的解集为c11+c22+cn-rn-r，则解为x=0+c11+c22+cn-rn-r3.基和维数基：V中：1,2,r线性无关，且V中的每一个向量都可用它们线性表出，则其为V的一个基。性质：(1)V的任意两个基所含向量个数(维数：dimV)相等； (2)n元齐次线性方程的解空间W满足dimW=n-rank(A)矩阵的运算1.乘积：A=(aij)sn ,B=(bij)nmABi;j=k=1nA(i;j)B(k;j)(1)左矩阵列数=右矩阵行数；(2)乘积矩阵的行数等于左矩阵行数，列数等于右矩阵列数。(3)ABC=A(BC) AB+C=AB+AC B+CD=BD+CD kAB=kAB=A(kB) n级方阵：AkAl=Ak+l;Akl=Akl(4)ABBA;但：K=kI数量矩阵,则：KA=AK AB=0A=0或B=0 ABkAkBk,但若A,B可交换：ABk=AkBk(5) 1,2,nx1x2xn= x11+x22+xnn 1,2,n b11b1mbn1bnm =b111+b212+bn11,b1m1+b2m2+bnm1a11a1na21a2nas1asnx1x2xn=a11x1+a12x2+a1nxna21x1+a22x2+a2nxnas1x1+as2x2+asnxn2.转置：A+B=A+BkA=kAAB=A+B3.对角矩阵：d10000d200000dnx1x2xn=d1x1d2x2dnxn 1,2,nd10000d200000dn=d11,d22,dnnd10000d200000dnc10000c200000cn=c1d10000c2d200000cndn4.初等矩阵用初等矩阵P(j,i(k)左乘一个矩阵，相当于把第i行的k倍加到第j行上；用初等矩阵P(j,i(k)右乘一个矩阵，相当于把第j列的k倍加到第i列上；5.对称矩阵: A=A 斜对称矩阵: A=-A6.矩阵运算的秩rank(AB)minrankA,rank(B)rankA+BrankA+rank(B)rankAA=rankAA=rank(A)若A、B都是n级矩阵：AB=AB7.可逆矩阵(1)判断A是可逆矩阵A0,rankA=n且A-1=1AA*A*=A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn(2)性质AB-1=B-1A-1 A1A2As-1=As-1A2-1A1-1若A可逆，则A可逆；可逆矩阵经过初等变换化成的简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵；可逆矩阵可以表示成一些初等矩阵的乘积，即： A=P1P2Ps用一个可逆矩阵P去左（右）乘矩阵A，不改变A的秩，即：rankPA=rankAP=rankA(3)初等变化法A,I初等行变换I,A-18.矩阵的分块A=A11A12A21A22,B=B11B12B21B22AB=A11B11+A12B21A11B12+A12B22A21B11+A22B21A21B12+A22B22要求：左矩阵的列组数=右矩阵的行组数； 左矩阵的每个列所含列数等于右矩阵的相应行组所含行数。若AB=0,B=1,2,m则：1,2,m是齐次线性方程AX=0的解。A1A2A3A4=A1A2A3A4InBAIs=Is-AB=In-BA9.正交矩阵方阵A：AA=I性质：(1)正交矩阵一定可逆A-1=A；(2)若A，B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)若A是正交矩阵，A-1=A也是正交矩阵；(4)若A是正交矩阵：A=1或-1(5)正交矩阵的行（列）向量组组成某空间的一个标准正交基（正交矩阵的充要条件），即