郑州大学周小平第6.1-6.2-6.3-6.4-6.5-平面电磁波

第6章平面电磁波,61正弦电磁场的复数表示方法,1电磁场量的复数形式讨论时变电磁场，在实际问题中最常见的是正弦电磁场（用正弦或余弦函数表示），非正弦电磁场（例如脉冲波，方波）也可以用傅立叶分析的方法分解为正弦电磁场的迭加，例如n=1是基波，n1表示各次谐波。研究正弦电磁场，常用复数形式，例如,用复数表示，以Ex分量为例其中称为x分量的复振幅，同理可以写出y分量的复振幅和z分量的复振幅,所以（6.2）式可以写为,称为矢量复振幅。复数形式中常略去Re，所以为了更方便，表示复数的“”也可以略去。2复数场量对时间的微分、积分运算由（6.7）式,其中,可以看出复数场量对时间的一阶导数等于乘上，对时间的二阶导数等于乘上，对时间的积分等于乘上，这样就大大简化了运算过程。3麦克斯韦方程组的复数形式把中的电磁场量都改写为复数形式所以,为了书写方便，可以略去下标m，上式可以写为,同理可以写出麦克斯韦方程组中其它几个方程的的复数形式电流连续性方程的复数形式为在有些文献中也略去了表示复振幅的。,例题6.1把改写成复数形式。解：所以矢量复振幅为,例题6.2把改写成瞬时形式。解：所以瞬时形式为,62平均坡印廷矢量,正弦电磁场的瞬时形式为瞬时形式的坡印亭矢量为先计算平均坡印亭矢量的x分量,利用三角函数公式（6.17）式中所以因为所以,（6.18）式可以写为同理可得平均坡印亭矢量的y分量和z分量所以平均坡印亭矢量为,解：内、外导体是理想导体，介质无损耗（理想介质）导体内：E0，H0，S0介质内：设同轴线内导体单位长度的电荷为，利用高斯定理可以求出介质内的电场强度为,例题6.3：计算沿一段长同轴线传输的功率，已知内外导体间的电压为U，横截面上的电流为I（U，I均为振幅值）。,图6.2.1内外导体是理想导体,利用安培环路定理可以求出介质内的磁场强度为,介质内的坡印亭矢量为方向如图6.1所示。下面计算穿过介质横截面的功率说明传输线传输的功率是通过导线周围的电磁场传输的，而不是沿导线内传输的。,图6.1内外导体是理想导体,若内、外导体是非理想导体非理想导体的电导率是有限值，所以导线内E内0，由边界条件，介质内电场强度的切向分量与导体内的电场强度相等。除此之外，由于内、外导体之间的电位差，介质内还存在电场强度的法向分量，总的电场强度为如图6.2所示。介质内的磁场强度仍为,图6.2内、外导体是非理想导体,内导体表面处电场强度的切向分量可以用下面的方法求出,所以,流入内导体的功率为,介质内的坡印亭矢量为,负号表示向内流，或对向外的能流密度Sn来说向内为Sn,内导体表面面积元,内导体表面面积,图6.2.2内、外导体是非理想导体,利用安培环路定理:,代入（6.20）式可以得到,流入内导体的功率正好等于该段导体内消耗的焦耳热功率。所以导体为非理想导体时，同轴线内一部分能量沿导体传送，一部分能量被导线吸收，转化为焦耳热。,图6.2.2内、外导体是非理想导体,63理想介质中的均匀平面波,631电磁波传播的基本方程,1麦克斯韦方程组讨论电磁波的传播，理想介质中是无源区，J0，0，麦克斯韦方程为复数形式为,简谐变化,2波动方程对（6.22）式的两端取旋度，并利用（6.21）式可得利用矢量恒等式、（6.24）式和，上式可以写为同理对（6.21）式的两端取旋度，可以导出（6.29）和（6.30）式就是研究电磁波传播的波动方程，复数形式为其中，称为波数。,亥姆霍兹方程,6.3.2均匀平面电磁波,设一均匀平面波沿z轴传播，等相位面平行于xy平面，如图6.3所示。在同一等相位面上，场强处处相等（即E、H与x、y无关），所以设E沿x方向，即，由,均匀平面电磁波是等相位面（波阵面）为平面，且在等相位面上场强处处相等的电磁波。距离辐射源很远时，球面波、柱面波都可以看成是平面波，发射天线的远区也可以看成是平面波，所以研究均匀平面电磁波具有重要的意义。,1波动方程,图6.3均匀平面电磁波,可以得到，所以波动方程（6.29）和（6.30）式可以写为复数形式为其中，称为波数。,2E、H的表达式（6.35）式是一个二阶齐次常微分方程，它的解可以写为其中、是复常数，含有初相位因子由（6.26）式和，可以得到把（6.37）式代入上式可得,下面说明（6.37）、（6.38）式中各项的意义，（6.37）式中第一项为取实部为,（6.39）式是均匀平面波表示式，代表了场的波动状态，称为电磁波的相位(PhaSE)。它由三部分构成。其中，表示随时间变化部分，称为时间相位；-kz表示随空间距离变化部分，称为空间相位；为初相位。该表示式是周期函数，其值仅由其相位决定，从表示式的相同函数值或相同相位在不同时刻传输的位置可以判断波的传播方向，令时间t（t2t1)增加，欲保持相位C（或函数值）不变,z必须增加，因此等函数值是向z增加方向移动，也就是电磁波传播方向是+z,方向。（6.39）式表示一列沿z轴正方向传播的均匀平面波，称为入射波。,时间t（t2t1)增加，欲保持相位C（或函数值）不变，z必须减小，因此等函数值是向z减小方向移动，也就是电磁波传播方向是-z方向。,同理，（6.37）式中的第二项可以写为,（这列波由源点（z0）传到z点需要的时间，所以z点t时刻的相位就是波源在时刻的相位。,空间相位-kz相同的场点所组成的曲面称为等相面,波前或波面。可见,z=const.的平面为波面。因此称这种电磁波为平面电磁波。又因Ex与x,y无关,在z=const.的波面上各点场强相等。这种在波面上场强均匀分布的平面波称为均匀平面波。它是最基本的电磁波形式。,（6.40）式表示沿轴负方向传播的均匀平面波，称为反射波。,在无限大均匀介质中，没有反射波，（6.37）、（6.38）式可以写为瞬时形式可以写为,3均匀平面波的传播特性一些基本参数的意义及有关公式常用的基本参数有角频率、周期T、频率f、波长、相速度和波数，常用的公式为在自由空间中（例如真空）相速度为。,(2)波阻抗波阻抗定义为电场与磁场之比，由（6.41）、（6.42）式所以波阻抗的表达式为其中的单位是伏秒米安，的单位是安秒米伏，很容易验证波阻抗的单位是，具有电阻的量纲。对于自由空间（例如真空）,E和H都垂直于传播方向由（6.41）、（6.42）式可以看出，对于均匀平面电磁波，电场E和磁场H都垂直于传播方向，E、H和传播方向S构成右手关系，这种波称为横向电磁波，或TEM波。,图6.4均匀平面电磁波E、H、S的方向及频率、相位关系,E和H同频率，同相位由（6.41）、（6.42）式可以看出，对于均匀平面电磁波，电场E和磁场H同频率，同相位。理想介质中均匀平面波的传播特性、从图6.4中可以看得很清楚。,沿轴正方向传播的均匀平面波的表达式为如图6.5所示,等相位面上任一点P（x，y，z）的矢径为所以则（6.47）式可以写为所以沿任意方向传播的均匀平面波可以写为,4沿任意方向传播的均匀平面波,图6.5沿z任意方向传播的均匀平面波,图6.5沿任意方向传播的均匀平面波,所以沿任意方向传播的均匀平面波可以写为,即为均匀平面波的相位，参见图，对于沿任意方向传播的波，可定义一个“波矢”，记做k，其大小就是波的相位系数k，其方向就是波的传播方向。它的三个坐标分量分别是kx，ky，kz，并有,参见图，设空间有任意点P，则穿过P(P点位置矢量为)，垂直于k的平面应为等相位面，其方程是因此电磁波在P点的相位可表示为：,常数,64波的极化特性,波的极化描述在电磁波传播的过程中，E（H）的方向的变化。上节讨论中E只有x分量，H只有y分量是一个特例，选坐标时有意使x轴沿E方向。一般情况下，E、H在等相位面上有两个分量，如图6.6所示，下面以E为例讨论。1若Ex、Ey相位相同（）,这里设初相位为0。在的等相位面上，,电磁波极化的定义：空间任意一个固定点上电磁波电场强度矢量的空间指向随时间变化的方式。用电场强度E矢量末端随时间变化的轨迹来描述波的极化。一般场强可以这样表示：,图6.6E、H在等相位面上有两个分量,或,初相位为0，即：,合场强的大小为合场强的方向用E与x轴的夹角表示,图6.7线极化波,在水平方向上变化，称为水平极化波，如果电场矢量只在竖直方向上变化，称为垂直极化波。上一节设，就是沿x方向的线极化波。,可以看出：合场强的大小随t变化，合场强的方向是一个常量，即方向始终在与x轴成角的直线上，说明电场矢量只在图6.7所示的一直线上变化，这种波称为线极化波。如果电场矢量只,由以上讨论线极化波场表式为,复振幅表示,2若Ex，Ey相位相差（）若Ex和Ey振幅相等,ExmEymEm.在的等相位面上，合场强的大小为合场强的方向可以表示为,图6.8圆极化波,所以,正负都可，正号表示Ey超前Ex，负号表示Ey滞后Ex,所以合场强大小不变，方向以角速度旋转，其箭点扫过的轨迹为一个半径为E的圆，即E的端点的轨迹是一个圆，这种波称为圆极化波,如图6.8所示。,由（6.54）式可以导出,也可以看出E的端点的轨迹是一个圆。,由以上讨论圆极化波场表式为（假定电磁波的传播方向是z向，如图示）：,右旋圆极化波方程：,图6.8右旋圆极化波,图6.8左旋圆极化波,复振幅表示：,左旋圆极化波方程：,右旋圆极化波方程：,右旋圆极化波方程：,左旋圆极化波方程：,若Ex和Ey振幅不相等，ExmEym，在的等相位面上两式移项，平方相加可得,图6.9椭圆极化波（）,2若Ex，Ey相位相差2（）,正负都可，正号表示Ey超前Ex，负号表示Ey滞后Ex,（6.59）式是椭圆方程，说明E的端点的轨迹是一个椭圆，,消去t可得：也是一个椭圆方程，但与坐标轴斜交，如图6.10所示，也是一种椭圆极化波。,这种波称为椭圆极化波，如图6.9所示，椭圆短轴和长轴之比称为椭圆极化波的椭圆度。,如果Ex和Ey的相位差，在的等相位面上,图6.10椭圆极化波（）,证明见下页,图6.9椭圆极化波（）,求以上二式的平方和，则可消去式中的,A,B,，得到,椭圆方程,电矢量E的旋转方向圆极化波和椭圆极化波根据电矢量E的旋转方向，又可以分为右旋极化波和左旋极化波。若E的旋转方向与传播方向成右手关系（以右手的四指随E的,图6.11右旋极化波和左旋极化波,图6.12例题6.4.1,tT/4时，,例题6.4试判断对于由（6.52）、（6.53）式表示的圆极化波电矢量E的旋转方向，设波的传播方向为（负z方向）。,?,?,某一位置取z0,电场分量Ex的相位超前Ey,解：,t0时，则,矢端运动，则姆指就指出了波的传播方向），称为右旋极化波；若E的旋转方向与传播方向成左手关系，称为左旋极化波，如图6.11所示。,故为左旋圆极化波。,可以看出由(6.52)、(6.53)式表示的圆极化波()，电矢量E是右旋的（若假定传播方向是z向），（旋向不但与场表式有关还与电磁波的传播方向有关，），如图6.12所示。可以证明,若,电矢量E是左旋的（若假定传播方向是z向）。,?,如果电磁波的传播方向是z向，若电场分量Ey的相位滞后Ex则为右旋极化波；反之为左旋极化波。,图6.11右旋极化波和左旋极化波,2,2,设可将线极化波写为如图6.13所示。把坐标系旋转，使x轴与E重合，在新坐标系中，电场的表达式为可以看出,例题6.5试证明任一线极化波可以分解为两个幅度相等、旋转方向相反的圆极化波之和。,图6.13,和场强,由前面的讨论得到的线极化波表达式,解：,可将其写为,（只是x、y轴变，z轴不变故不变）,右旋圆极化波方程：,因由前面的讨论得到的圆极化波表达式：左旋圆极化波方程：,所以（6.63）式可以写为,将（6.64）式配项:,换言之，用两个相互正交的线极化波或两个旋转方向相反的圆极化波可以构成任意形式的极化波，其表达式分别为,更为一般地讲，任何形式的极化波都可以分解为两个相互正交的线极化波，也可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。,E1是左旋极化波，E2是右旋极化波。,（6.64）式可以写为两个幅度相等、旋转方向相反的圆极化波之和其中,其中两个圆极化波的初相位差为3极化技术的应用信号的接收必须考虑波的极化方式，例如中波广播信号的电场是与地面垂直的（磁场是水平的），一般称为垂直极化，因此收听者要得到最佳的收听效果，就应将天线调整到与电场平行的位置，即与大地垂直（若是磁性天线则应与磁场平行，即水平位置）。而电视信号的发射，其电场是与大地平行的，称为水平极化，电视接收天线应调整到与大地面平行的位置。飞机、火箭等飞行器在飞行的过程中其状态和位置在不断地改变，因此天线方位也在不断地改变，此时如用线极化信号通信，在某些情况下可能收不到信号，所以均采用圆极化天线。通信系统中使用极化技术可以增加系统的容量，例如美国联邦通信委员会（FCC）分配给美国使用者一个专用频道，使用两个正交的线极化方式，比通常单极化的系统增加1倍的通信容量。,65损耗媒质中的均匀平面波,1损耗媒质中电磁场的基本方程麦克斯韦方程损耗媒质也称为导电媒质，电磁波在损耗媒质中传播时，麦克斯韦方程可以写为,波动方程对（6.71）式的两端取旋度，并利用（6.70）式可得,导电媒质又称为有(损)耗媒质,是指0的媒质。,电磁波在导电媒质中传播时,根据欧姆定律,将出现传导电流Jc=E,也称为欧姆电流。,利用矢量恒等式和（6.73）式，上式可以写为同理对（6.70）式的两端取旋度，可以导出,2基本方程的复数形式复介电常数首先讨论麦克斯韦方程组的复数形式定义为导电媒质中的等效介电常数。,一阶时间偏导数项代表损耗，即阻尼项,二阶时间偏导数项代表波动过程,方程（6.74）和（6.75）是电磁场广义波动方程的（无源的）普遍的形式,简谐变化,波动方程（6.74）式的复数形式为,令，上式可以写为同理（6.75）式的复数形式可以写为其中传播常数。可以看出引入复介电常数以后，损耗媒质中的麦克斯韦方程组和波动方程与理想介质中的形式上完全相同，这就为研究损耗媒质中电磁波的传播创造了有利的条件。对于均匀平面波，设，则（详见6.6.3节），（6.80）、（6.81）式可以写为,3损耗媒质中E、H的表达式由（6.82）式可以解出，不考虑反射波，所以其中复常数，令，（6.84）式的瞬时形式可以写为由（6.77）式，所以,令，显然，（6.86）式的瞬时形式为,4导电媒质中电磁波的传播特性复介电常数引入后，损耗媒质和理想介质中电磁场的基本方程形式上完全相同，所以解的形式也相同，这就为求解损耗媒质中的电磁场与电磁波问题提供了方便。复介电常数虚部与实部之比为传导电流越大损耗越大，定义导电媒质的损耗角,传播常数上式两边平方，令等式两边实部、虚部分别相等可以得到两个方程，求解可得由（6.84）（6.87）式可以看出，在损耗媒质中电场和磁场的振幅按随传播距离衰减，每传播单位长度（z1m），衰减为原来的倍，所以称为衰减常数，单位是Np/m（奈培每米）。在（6.84）（6.87）式中，表示相位随传播距离的变化量（），所以称为相位