2.4 压缩映射原理及应用1ppt课件

压缩映射及其不动点的概念,第四节压缩映射原理及其应用,压缩映射原理应用举例求映射的不动点,压缩映射原理,注：1）把“方程的求解”问题化归为“求映射的不动点”问题，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既近似解）的方法是计算数学，分析和代数中常用的一种重要方法。例如，牛顿求代数方程根时采用的切线法。2）映射的不动点：使x=Tx的x称为T:XX的不动点.,基本思想：,代数方程,微分方程,积分方程,x=Tx,x0,xn+1=Txn,定义4.1(压缩映射)设X是距离空间，T：XX是X上的自映射，如果存在01，对x,yX，都有(Tx,Ty)(x,y)，则称T是X上的一个压缩映射。,一、压缩映射及压缩映射原理,1.压缩映射及其不动点的定义,定义4.1(映射的不动点)设X距离空间，T：XX是X上的自映射，如果存在xX，使得x=Tx，则称x是映射T的一个不动点。,定理1压缩映射是连续映射事实上，xnX,xnxX,T:XX是压缩映射(Txn,Tx)(xn,x)0(n)T是连续映射,2.压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，1922),定理4.1(压缩映射原理)设X是完备的距离空间，映射T：XX是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x,即x=Tx。,证存在性设X完备，T:XX是压缩映射，任取初始点x0X，构造迭代序列xnX：xn+1=Txn(n=0,1,2,)证明xn是基本列,因而是收敛列。T是压缩映射,01,使得(xn+1,xn)=(Txn,Txn-1)(xn,xn-1)2(xn-1,xn-2)n(x1,x0)=n(Tx0,x0)(n=1,2,)(xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+(xn+k-1,xn+k-2)+(xn+1,xn)(n+k-1+n+k-2+n)(Tx0,x0)(kN),证明极限点x就是T的不动点。T是压缩映射T是连续映射xn+1=Txn,xnx,T连续x=Tx(n)x是T的不动点,唯一性设x,y都是T的不动点x=Tx,y=Ty(x,y)=(Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0(01),(xn+k,xn)0(n)(01)xn是基本列xn收敛(X完备)xX,使xnx(n),注1)压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件；2)压缩映射原理提供了映射不动点的求法迭代法:x0X,令xn=Txn-1,则xn=Tnx0(n=1,2,),x=limxn(n).3)压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式：,事实上，由定理证明过程知,令k,有极限保号性记即得证,推论4.1设X是完备的距离空间，T：XX.如果T在闭球S(x0,r)上是压缩映射，并且(Tx0,x0)(1)r(01)则T在闭球S(x0,r)中存在唯一的不动点。,分析只要在闭球内构造一个迭代序列xn即可。证取初始点x0S(x0,r)，作迭代xn=Tnx0(n=0,1,2,)T是S(x0,r)上的压缩映射,且(Tx0,x0)(1)r(01)(x1,x0)=(Tx0,x0)(1-)rr(x2,x0)=(Tx1,x0)(Tx1,Tx0)+(Tx0,x0)(x1,x0)+(1-)r+r(1-)r=r(xn,x0)r(n=1,2,)(数学归纳法)xnS(x0,r)(n=1,2,)唯一xS(x0,r)，使得x=Tx.（在S(x0,r)上应用定理4.1),推论4.2设X是完备距离空间，T：XX，如果存在常数(01)及正整数n0，使对任何x,yX，都有,则T存在唯一不动点x，即x=Tx.(其中定义：T2x=T(Tx),T3x=T(T2x),Tnx=T(Tn-1x),),证,是X上的压缩映射,x与Tx都是的不动点x=Tx（不动点的唯一性）,应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤：1)说明X是完备距离空间；2)有实际问题定义映射T:XX，使x=Tx；3)证明所定义映射T是X上的压缩映射；3)有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。,3.压缩映射原理应用,例4.1设f(x)在R可导,且f(x)0,使=k1,令Cx0-,x0+=y=y(x)xx0-,x0+,y(x)连续，则Cx0-,x0+按如下距离(y1,y2)是完备的距离空间：,T是压缩映射唯一y(x)C(x0-,x0+),使,例4.3设有线性方程组,如果对每个i,则该方程组有唯一解。,证Rn按距离,是完备的距离空间.,则T是Rn到Rn的映射,可以证明，T是压缩映射，因而存在唯一不动点x,使得x=Tx=Ax+b,即原方程组有唯一解。事实上，x(k)=(x1(k),x2(k),xn(k)Rn,k=1,2.,T:RnRn是压缩映射。,由于对每个,故,从而,从而T是压缩映射。由压缩映射原理，知T在,