第二节--二元函数的极限.ppt

第十六章多元函数的极限与连续,2二元函数的极限,一二元函数极限,回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.,表示,如图,就是0,0.,当0|xx0|时,有|f(x)A|0,当,对应的函数值满足,|f(P)A|0，P0的去心邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,例1用“,”定义验证极限,证明因为,先限制在点（2，1）的,的方邻域,内讨论，则有,所以,于是,，取,，则当,时，就有,由二元函数极限定义知,例求证,证,当时，,原结论成立,例2设,证明,证明：对函数的自变量作极坐标变换,这时,等价于对任何,都有,.由于,因此，,，只须取,，当,时，不管,取什么值都有,所以,定理16.5,的充要条件是：对于,的任一子集,只要,是,的聚点，就有,推论1设,是,的聚点.若,不存在，则,也不存在,推论2设,是它们的聚点，,但,则,不存在,若存在极限,推论3极限,存在的充要条件是：对于,中任一满足条件,且,的点列,，它所对应的函数列,都收敛.,上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理,与一元函数的海涅归结原则,注意：是指P以任何方式趋于P0.,一元中,多元中,确定极限不存在的方法：,例3.设f(x,y)=,证明f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.,证:只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.,考察X=(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.,如图,对应函数值,从而,当X=(x,y)沿y=kx趋于(0,0)时,函数极限,请考察当X=(x,y)沿x轴,沿y轴趋于(0,0)的情形.,当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.,沿x轴,y=0.函数极限,=0,沿y轴,x=0.函数极限,=0,但不能由此断定该二重极限为0,例4二元函数,请看p95图16-7，,沿任何直线趋于原点时,都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限,沿抛物线,的值趋于,而不趋于零，,尽管当,就是零，因为当,趋于原点时,所以该极限不存在.,非正常极限,极限,的定义,设二元函数,为定义在,上的二元函数，,为,的一个聚点，如果,使得当,时，都有,则称,在,上当,时，存在非正常极限,记作,点,或,仿此可类似地定义,与,例5设函数,证明,证明：因为,，只要取,，当,时，都有,由此推得,即,所以,二元函数极限的性质,性质（四则运算）与一元函数运算相同,除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。,例求,解,二元函数的极限运算举例,例求极限,解,其中,二.累次极限,中的两个自变量,以任何方式趋于,时的极限，我们称它为二重极限.,与,依一定次序趋于,与,时,的极限，称为累次极限.,对于两个自变量,对于二元函数,在,与,依一定次序趋于,与,时的累次极限有两个,和,例6设,求,在点,解当,时，有,从而有,同理可得,的两个累次极限.,1.两个累次极限可以相等也可以不相等，所以,计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们,的次序.,例7函数,关于原点的两个累次极限分别是,与,.,2.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能,保证二重极限存在,例如设,两个累次极限都存在,且相等.,但二重极限,却不存在.,3.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即,二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.,例8函数,由于,，故由定义知,二重极限存在,且,但对任何,，当,时,的第二项,不存在极限,同理对任何,，当,时,的第一项,不存在极限，从而两个,累次极限都不存在.,定理16.6若二重极限极限,和累次极限,(或另一次序)都存在,则它们必相等.,推论1若二重极限,和累次极限,都存在,则必相等.,二重极限与累次极限的关系