1章 数制与编码1

,北京理工大学珠海学院信息科学技术学院电工电子教研室主讲人：李克勤,多媒体教学课件,数字电路与系统DigitalCircuitsAndSistems,理论课学时分配,第一章数制与编码,1.1进位计数制1.2数制转换1.3带符号数的代码表示1.4码制和字符的代码表示,第一章数制与编码,本章主要介绍进位计数制的表示方法，以二进制为重点，讨论各种进制数的相互转换，带符号数的代码表示法，码制和字符的编码方法等。,进位基数：在一个数位上，规定使用的数码符号的个数叫该进位计数制的进位基数或进位模数，记作R。例如十进制，每个数位规定使用的数码符号为0，1，2，9，共10个，故其进位基数R=10。数位的权值：某个数位上数码为1时所表征的数值，称为该数位的权值，简称“权”。各个数位的权值均可表示成Ri的形式，其中R是进位基数，i是各数位的序号。按如下方法确定：整数部分，以小数点为起点，自右向左依次为0，1，2，n-1；小数部分，以小数点为起点，自左向右依次为-1，-2,，-m。n是整数部分的位数，m是小数部分的位数。,1.1进位计数制1.1.1十进制数的表示用数字量表示物理量的大小时，仅用一位数码往往不够用。因此，用一组统一的符号和规则表示数的方法，常用进位计数的方法组成多位数码使用。我们把一组多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。,十进制数的表示,原则上说，一个数可以用任何一种进位计数制来表示和运算，但不同数制其运算方法及难易程度互不相同。选择什么样的进位计数制来表示数，对数字系统的性能影响很大。例如：632.45=6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置计数表示如下：（N）10=(kn-1kn-2k1k0.k-1k-2k-m）10,按权展开的表示法：,(N)10=kn-110n-1+kn-210n-2+k1101+k0100+K-110-1K-m10-m=ki10i(i=-mn-1）1.1.2二进制数的表示数字系统中使用的进位制并不仅限于十进制，当进位基数为2时，称为二进制。在二进制中，只有0和1两个数码。二进制的计数规则是由低位向高位“逢二进一”，即每位计满2就向高位进1，例如，(1101)2就是一个二进制数。不同数位的数码表示的值不同，各位的权值是以2为底的连续整数幂，从右向左递增。,十进制数的表示,原则上说，一个数可以用任何一种进位计数制来表示和运算，但不同数制其运算方法及难易程度互不相同。选择什么样的进位计数制来表示数，对数字系统的性能影响很大。例如：632.45=6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置计数表示如下：（N）10=(kn-1kn-2k1k0.k-1k-2k-m）10,按权展开的表示法：,(N)10=kn-110n-1+kn-210n-2+k1101+k0100+K-110-1K-m10-m=ki10i(i=-mn-1）1.1.2二进制数的表示数字系统中使用的进位制并不仅限于十进制，当进位基数为2时，称为二进制。在二进制中，只有0和1两个数码。二进制的计数规则是由低位向高位“逢二进一”，即每位计满2就向高位进1，例如，(1101)2就是一个二进制数。不同数位的数码表示的值不同，各位的权值是以2为底的连续整数幂，从右向左递增。,二进制数的表示,(N)2=(kn-1kn-2k1k0.k-1k-2k-m)2=ki2i(i=-mn-1）在数字系统中，常用二进制来表示数字并进行运算。因为它具有如下特点：(1)二进制数只有0或1两个数码，任何具有两个不同稳定状态的元件都可用来表示1位二制数，例如，晶体管的导通和截止，脉冲信号的“有”或“无”等。(2)二进制运算规则简单。其运算规则如P2表1.1.1所示：,1.1.3其它进制数的表示,一般说来，对于任意的数N，都能表示成以R为基数的R进制数。数N的位置记数法为：(N)R=(kn-1kn-2k1k0k-1k-2k-m)R而相应的按权展开表示法为：(N)R=kn-1Rn-1+kn-2Rn-2+k1R1+k0R0+k-1R-1+k-2R-2+k-mR-m=kiRi(i=-mn-1）,1.2数制转换,1.2.1二进制数与十进制数的转换在计算机和其他数字系统中，普遍使用二进制数，采用二进制数的数字系统只能处理二进制数和用二进制代码形式表示的其它进制数。而人们习惯于使用十进制数，所以，在信息处理中首先必须把十进制数转换成计算机能加工和处理的二进制数进行运算，然后再将二进制数的计算结果转换成人们习惯的十进制数。,按权展开法：,例如：(11010.101)2=124+123+022+121+020+12-1+02-2+12-3=16+8+2+0.5+0.125=(26.625)10十进制数转换成二进制数时，将待转换的数分成整数部分和小数部分，并分别加以转换。一个十进制数可写成：(N)10=(整数部分)10.(小数部分)10转换时，首先将(整数部分)10转换成(整数部分)2；然后再将(小数部分)10转换成(小数部分)2。待整数部分和小数部分确定后，就可写成：(N)2=(整数部分)2.(小数部分)2,一、整数转换,十进制数的整数部分采用“除2取余”法进行转换，即把十进制数除以2，取出余数1或0作为相应二进制数的最低位，把得到的商再除以2，取余数1或0作为二进制数的次低位，依次类推，继续上述过程，直到商为0，所得余数为最高位。例如，将十进制整数58转换为二进制整数，先把它写成如下形式：(58)10=(kn-1kn-2k1k0)2=kn-12n-1+kn-22n-2+k121+k020=2(kn-12n-2+kn-22n-3+k1)+k0只要求出等式中的各个系数kn-1、kn-2、k1、k0便得到二进制整数。,具体转化法：,258229k0=0214k1=127k2=023k3=121k4=10k5=1,二、纯小数转换,十进制数的小数部分采用“乘2取整”法进行转换，即先将十进制小数乘以2，取其整数1或0作为二进制小数的最高位；然后将乘积的小数部分再乘以2，并再取整数作为次高位。重复上述过程,直到小数部分为0或达到所要求的精度。如：将十进制小数0.625转换为二进制小数，需把它写成如下形式：(0.625)10=(0.k-1k-2k-m)2=k-12-1+k-22-2+k-m2-m=k-1/2+1/2(k-2+k-m2-m+1)只要求出各系数k-1、k-2、k-m，便可得到二进制小数。,具体转换方法：,0.625x）21.250整数1（k-1）最高位x）20.500整数0（k-2）次高位x）21.000整数0（k-2）最低位,注意点：运算时，式中的整数不参加连乘。,1.2.2二进制数与八进制数、十六进制数的转换八进制数的基数R=8，3位二进制数恰好是8个状态，即8=23；十六进制数的基数为R=16,4位二进制数恰好是16个状态，即16=24。二进制数、八进制数和十六进制数之间具有2的整指数倍关系。因而可直接进行转换。将二进制数转换为八进制或十六进制的方法是：从小数点开始，分别向左、右按3位一组转换为八进制或按4位一组转换为十六进制，最后不满3位或4位的则需补0。将每组以对应的等值八进制数或十六进制数代替，具体举例如下：,具体转换方法：,二进制数：010101111000101101100八进制数：257.0554二进制数：10101111000101101100十六进制：AF.16C,1.3带符号数的代码表示,1.3.1真值与机器数通常我们都用符号“+”表示正，用符号“-”表示负。“+”和“-”无非是表示两种对立的状态标志。如同计算机中可采用的“0”和“1”一样。因此，在计算机中表示正负号的最简单方法是约定用0表示“+”，用1表示“-”。一个带符号的数由两部分组成：一部分表示数的符号；另一部分表示数的数值。对于一个n位二进制数。若数的第一位为符号位，则剩下的n-1位就表示数的数值部分。一般用正号“+”和负号“-”来表示带符号的二进制数，叫做符号数的真值。,真值与机器数,数的真值形式是一种原始形式，不能直接用于计算机中。当把符号数值化后，就可在计算机中使用它。数的符号是一个具有正、负两种值的离散信息，它可以用一位二进制数来表示。习惯上以0表示正数，而以1表示负数。计算机中使用的符号数叫做机器数。（P9图1.3.1）,0/1,1,0,1,1,符号,数值,1.3.2原码,原码又称为“符号数值表示”。在以原码形式表示的正数和负数中，第1位表示符号位，对于正数，符号位记作0；对于负数，符号位记作1；其余各位表示数值部分。例如N1和N2的真值形式为N1=+100110N2=-010101则N1和N2的原码表示形式为N1原=0100110N2原=1010101,根据上述原码形成的规则，一个n位的整数N(包括一位符号位)的原码一般表示式为,N0N2n-1N原=2n-1-N-2n-1N0若对于定点小数，通常小数点定在最高位的左边，这时数值小于1。定点小数原码一表示式为N0N1N原=1-N-1N0,1.3.3反码,反码又称为“对1的补数”。用反码表示时，左边第1位也是符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数。对于负数，反码的数值是将原码数值按位求反，即原码的某位为1，反码的相应位就为0，或者原码的某位为0，反码的相应位就为1。而对于正数，反码和原码相同。所以，反码数值的形式与它的符号位有关。例如两个带符号的二进制数分别为N1和N2，其真值形式为：N1=+100110N2=-010101则N1和N2的反码表示形式为：N1反=0100110N2反=1101010,反码的一般表示：,根据上述反码形成的规则，一个n位的整数N(包括一位符号位)的反码一般表示式为N0N2n-1N反=（2n-1)+N-2n-1N0同样，对于定点小数，若小数部分的位数为m，则它的反码一般表示为N0N1N反=(2-2-m)+N-1N0,1.3.4补码,补码又称为“对2的补数”。在补码表示中，正数的表示同原码和反码的表示是一样的，而负数的表示却不同。对于负数，其符号位为1，而数值位是将原码按位取反后，再在最低位加1。例如两个带符号的二进制数分别为N1和N2，其真值形式为：N1=+100110N2=-010101则N1和N2的补码表示形式为：N1补=0100110N2补=1101011,补码的一般表示式：,N0N2n-1N补=2n+N-2n-1N0同样，对于定点小数，补码的一般表示式可写成：N0N1N补=2+N-1N0,1.3.5机器数的加、减运算,一、原码运算原码中的符号位仅用于表示数的正、负，不参加运算，进行运算的只是数值部分。原码运算时，应首先比较两个数的符号，若两数的符号相同，则两数相加就是将两个数的数值相加，结果的符号不变；若两数的符号不同，就得进一步比较两数的数值相对大小，两数相加是用数值较大的数减去数值较小的数，结果的符号取数值较大的数的符号。,示例说明,例1.3.1已知N1=-0.00111,N2=+0.10111,求N1+N2原和N1-N2原。解：(1)N1+N2原=(-0.00111)+0.10111原由于N1和N2的符号不同，并且N2的绝对值大于N1的绝对值，因此，要进行N2减N1的运算，其结果为正。即0.10111-0.00111=0.10000运算结果的原码为：N1+N2原=0.10000它的真值为N1+N2=0.10000,二、补码运算,由补码的定义可以证明如下补码加、减运算规则：N1+N2补=N1补+N2补N1-N2补=N1补+-N2补补码的加、减运算规则是：两数和的补码等于两数的补码之和，而两数差的补码也可以用加法来实现。运算时，符号位和数值位一样参加运算，如果符号位产生进位，则需将此进位“丢掉”。运算结果的符号位为0时，说明是正数的补码；运算结果的符号为1时，说明是负数的补码，应对结果再求补码才得原码。下面举例说明。例1.3.2已知N1=-0.11001,N2=-0.00100,求N1+N2补和,示例说明：,例1.3.2已知N1=-0.11001,N2=-0.00100,求N1+N2补和N1-N2补。解：(1)N1+N2补=N1补+N2补=1.00111+1.111001.00111+）1.11100丢掉11.00011,1,三、反码运算,反码运算同补码运算一样，两数和的反码等于两数的反码之和，两数差的反码可以用两数反码的加法来实现。反码加、减运算规则：N1+N2反=N1反+N2反N1-N2反=N1反+-N2反运算时，符号位和数值位一样参加运算，如果符号位产生了进位，则此进位应加到和数的最低位，称之为“循环进位”。运算结果符号位为0，说明是正数的反码，与原码相同。运算结果符号位为1，说明是负数的反码，应对结果再求反码才得原码。下面举例说明。,示例说明,例1.3.3已知N1=+0.10010,N2=+0.00111,求N1+N2反和N1-N2反。解：(1)N1+N2反=N1反+N2反=0.10010+0.001110.10010+）0.001110.11001即：N1+N2反=0.11001真值为N1+N2=0.11001,示例说明,对于N1-N2反=N1反+-N2反=0.10010+1.110000.10010+）1.1100010.01010+）10.01011由于符号位发生了进位，因此要进行“循环位”，即得N1-N2反=0.01011，它的真值为：N1-N2=0.01011,1,1.3.6十进制数的补数,二进制数的补码和反码的引入，使二进制数的减法运算转换成加法运算。在有些情况下，计算机或其他数字系统常用二进制代码直接表示十进制数，并进行运算。为使十进制数的减法运算也能转换成加法运算，带符号十进制数也引入同二进制数相似的三种表示方法，它们分别是符号数值表示，“对9的补数”及“对10的补数”。十进制数的符号用4位二进制数表示，习惯上用0000(等效于十进制数0)表示正，而用1001(相当于十进制数9)表示负。,一、对10的补数,对于十进制正数N，其“对10的补数”表示形式为：符号位为0，数值部分则为十进制数N本身。例如十进制正数N=5493，其“对10的补数”为N10补=05493对于十进制负数N，其“对10的补数”的一般形式为：N10补=10n+N-10n-1N0其中，n是十进制负数包括1位符号位N的整数部分的位数。,具体示例,例如：十进制数N=-3250,其“对10的补数”为-325010补=105-3250=96750又如：十进制数N=-0.3267,其“对10的补数”为-0.326710补=10-0.3267=9.6733例1.3.4给定N1=72532,N2=33256,求N=N1-N2。解：用“对10的补数”进行运算，即N1-N210补=72532-3325610补=7253210补+-3325610补=072532+966744072532+）966744丢掉1039276,二、对9的补数,对于十进制正数N，其“对9的补数”表示形式与N的“对10的补数”表示形式相同。例如：十进制正数N=8954，其“对9的补数”为89549补=08954对于十进制负数N,它“对9的补数”的一般表示形式为N9补=10n-10-m+N-10n-1N0其中：n是十进制负数包括1位符号位N的整数部分的位数；m是十进制负数N的小数部分的位数。,具体示例,例如：十进制数N=-3250,其“对9的补数”为：-32509补=105-1-3250=96749又如：十进制数N=-25.639,其“对9的补数”为：-25.6399补=103-10-3-25.639=974.360由此可见，只要分别用9减十进制数的各位就可得到这个数“对9的补数”。十进制数“对9的补数”减法运算同二进制数的反码运算相类似，可将减法转换成加法来实现。,1.4码制和字符的代码表示,1.4.1码制不同的数码不仅可以表示数量的不同大小，而且还能用来表示不同的事物。在后一种情况下，这些数码已没有表示数量大小的含意，只是表示不同事物的代号而已，这些数码称为代码。比如在举行长跑比赛时，为便于识别运动员，通常给每个运动员编一个号码。显然，这些号码仅仅表示不同的运动员，已失去了数量大小的含意。为便于记忆和处理，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则被称为码制。,表1.4.1几种常见的BCD代码,十进制,编码,8421码,余3码,2421码,5211码,余3循环码,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0000,0001,0010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,权,8421,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,0000,0001,0010,0011,0100,1011,1100,1101,1110,1111,2421,0000,0001,0100,0101,0111,1000,1001,1100,1101,1111,5211,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1111,1110,1010,几种常见代码的特点,8421码是BCD代码是最常见的一种。在这种编码方式中每一位二值代码的1都代表一个固定数值，把每一位的1代表的十进制数加起来，得到的结果就是它所代表的十进制数。由于代码中从左到右每一位的1分别表示8、4、2、1，所以把这种代码叫做8421码。余3位码的编码规则与8421码不同，如果把每一个余3码看作4位二进制数，则它的数值要比它所表示的十进制数码多3，故而将这种代码叫做余3码。,2421码是一种恒权代码，它的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5也互为反码，这个特点和余3码相仿。,5211码是另一种恒权代码。余3循环码是一种变权码，每一位的1在不同代码中并不代表固定的数值。它的主要特点是相邻的两个代码之间仅有一位的状态不同。因此，按余3循环码接成计数器时，每次状态转换过程中只有一个触发器翻转，译码时不会发生竞争-冒险现象。,1.4.2可靠性编码,代码在数字系统或计算机中形成与传送过程中，都可能发生错误。为使代码不易出错，或者出错时容易发现，甚至能查出错误的位置，除提高计算机本身的可靠性外，人们还采用可靠性编码。一、格雷码(循环码)表1.4.2列出了一种格雷码。,十进制数码,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,二进制码,0000,0001,0010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,格雷码,0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,二、奇偶校验码,奇偶校验码是一种能检验出二进制信息在传送过程中出现错误的代码。这种代码由两部分组成：一部分是信息位，这就是需要传送的信息本身；另一部分是奇偶检验位，它使整个代码中1的个数按预先的规定成为奇数或偶数。当信息位和检验位中1的总个数为奇数时，称为奇校验；而1的总个数为偶数