自动控制原理(胡寿松)第六版第三章1 2ppt课件

.,第三章线性系统的时域分析法,3.1线性系统时间响应的性能指标3.2一阶系统的时域响应3.3二阶系统的时域响应3.4高阶系统的时域响应3.5稳定性分析3.6稳态误差计算,.,分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。线性系统：,时域分析法，,根轨迹法，,频率法,非线性系统：,多输入多输出系统：,描述函数法，,相平面法,采样系统：,Z变换法,状态空间法,.,3-1线性系统时间响应的性能指标,3.1.1典型输入信号,动态性能，静态性能。动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准-典型输入信号。条件：1能反映实际输入；2在形式上尽可能简单，便于分析；3使系统运行在最不利的工作状态。,1,考查系统对恒值信号的跟踪能力,.,A=1，称单位斜坡函数,记为t1(t),2.斜坡函数（等速度函数）,考查系统对匀速信号的跟踪能力,.,3.抛物线函数（等加速度函数）,A=1，称单位抛物线函数,记为,考查系统的机动跟踪能力,.,4.脉冲函数,考查系统在脉冲扰动下的恢复情况,.,各函数间关系：,（5）正弦函数,.,二.阶跃响应的时域性能指标,c(t)=ct(t)+css(t)=暂态响应+稳态响应,1.暂态性能指标,图32,.,B,动态性能指标定义1,.,上升时间tr,调节时间ts,动态性能指标定义2,.,动态性能指标定义3,.,(1)延迟时间td：c(t)从0到0.5c()的时间。,(2)上升时间tr：c(t)第一次达到c()的时间。无超调时,c(t)从0.1c()到0.9c()的时间。,(3)峰值时间tp：c(t)到达第一个峰值的时间,(4)调节时间ts：c(t)衰减到与稳态值之差不超过2%或5%所需的时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号表示，即=2%或=5%。,(5)超调量s%：c(t)最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示，描述的系统的平稳性。,.,2.稳态性能指标稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即,最后一节细讲。,.,凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。,TRC，时间常数。其典型传递函数及结构图为：,3.2一阶系统的时域分析,.,T2T3T4T,当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。,3.2.1单位阶跃响应,响应曲线在0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡,0.632,0.95,0.982,0.865,1.0,.,一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts定义：c(ts)1=(取5%或2%),一阶系统响应具备两个重要的特点：可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。响应曲线的初始斜率等于1/T。,T反映了系统的惯性。T越小惯性越小，响应快！T越大，惯性越大，响应慢。,.,3.2.2单位斜坡响应r(t)=t,r(t)=t,c(t)=tT+Tet/T,稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数。,T,T,稳态分量（跟踪项+常值）,暂态分量,.,表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：,在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。,.,3.2.3单位脉冲响应R(s)=1,它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以h(t)标志。,求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。,对应,.,线性定常系统的重要性质,2.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。,1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。,.,3.3.1二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：,闭环传递函数为,二阶系统有两个结构参数(阻尼比)和n(无阻尼振荡频率)。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。,3.3二阶系统的时域分析,.,微分方程式为：,对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。,例如:RLC电路,.,3.3.2二阶系统的闭环极点,二阶系统的闭环特征方程，即s2+2ns+n2=0,其两个特征根为：,上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：,s1,s2,1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。,.,(3)01时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。,(2)=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。,s1=s2=n,n,s1,s2,jd,n,.,(4)=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。,jn,(5)1,=1,01,=0,.,3.3.3单位阶跃响应,由式,，其输出的拉氏变换为,式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。,对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。,.,（1）欠阻尼情况01,响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。调节速度慢。（不同于一阶系统）,.,（5）不稳定系统0,总结：1）1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢；3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；4）01时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理选择可使既快又平稳，工程上把0.707的二阶系统称为二阶最优系统；,.,Mp,3.3.4二阶系统的动态性能指标,1.欠阻尼,用tr,tp,Mp,ts四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。,1,0.5,0.05或0.02,tr,tp,ts,td,.,(1)上升时间tr：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。,(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。,.,(3)超调量Mp：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。,.,Mp只是的函数，其大小与自然频率n无关。Mp,(4)调节时间ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间。c(t)c()c()(tts),.,工程上，当0.10.9时，通常用下列二式近似计算调节时间。,=5%c(),=2%c(),.,总结：,各性能指标之间是有矛盾的。,.,例3-1单位负反馈随动系统如图所示,(1)确定系统特征参数与实际参数的关系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，试计算系统的动态性能指标。解:(1)系统的闭环传递函数为,与典型二阶系统比较可得：K/T=n21/T=2n,.,(2)K=16，T=0.25时,(=0.05),K/T=n21/T=2n,.,设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。,例3.2,解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。,.,抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性,调节时间减小。,3.3.4改善二阶系统性能的措施,1.比例微分控制,(1)方法的思路,未超前校正,超前校正,3.3.1,3.3.3,3.3.2,3.3.5,.,开环传递函数：开环增益：K=n/2,特点:(1)引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；(2)零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性。(3)不影响系统误差，自然频率不变。,闭环传递函数：,闭环系统具有零点,可以使上升时间提前.阻尼增大,超调减小。,(2)性能分析,.,抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性,调节时间减小。,2.速度反馈控制,(1)方法的思路,超前校正,未超前校正,.,由上可知：1)速度反馈使增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；2)速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例微分控制；3)系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益.,在二阶系统中引入微分反馈：,闭环传递函数：,开环传递函数为：,(2)性能分析,.,闭环零点对系统的影响,峰值时间提前、超调增大、振荡加剧、调节时间拉长。,r=zwn/z为闭环极点与闭环零点的实部比,.,G(s)，H(s)一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为,3.4高阶系统的时域分析,3.4.1高阶系统的阶跃响应控制系统的基本结构如图所示。,其闭环传递函数为,.,式中0k0(i,j=1,2,n)即，闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。1.劳斯判据系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。若不满足，则不稳定劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。,.,令系统特征方程为,排劳斯表：,表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。,.,2.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性例3-1设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表,第一列元素符号改变了2次，系统不稳定，且s右半平面有2个根。,s4s3s2s1s0,13524,6,1,5,5,.,结论,（1）若劳斯表中第一列的系数均为正值,则系统稳定（2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定,例3-2一调速系统的特征方程为,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的,例3-4已知系统的特征方程为,.,求系统稳定的K值范围,欲使系统稳定则应满足,排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：,1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全为零。解决的办法是以一个很小正数来代替为零的这项。然后完成劳斯表的排列。,解不等式组得：,.,结论：,如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于该方程在S平面右半面上根的数目。,例3-5已知系统的特征方程为,，试判别相应系统的稳定性,解：列劳斯表,方程中有对虚根，系统不稳定。,.,例3-6系统的特征方程为D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为,第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：,s3s2s1s0,1302,用一个很小的正数来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,.,0+时，b10，劳斯表中第一列元素符号改变了两次系统有两个正根，不稳定。,用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s33s27s+6=0,s3s2s1s0,130()2,2,s4s3s2s1s0,136372/36206,会得到相同的判断结果,.,例3-7设某线性系统的闭环特征方程为D(s)=s6+s52s43s37s24s-4=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下,第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：,s6s5s4s3s2,127-4134134000,.,由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：s1=1和s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2。,用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。,s6s5s4s3s2s1s0,127-4134134,4601.5416.704,F(s)=s43s24=0F(s)=4s36,.,（2）分析参数变化对稳定性的影响例3-8已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。,解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0,要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0K6,s3s2s1s0,123K(6K)/3K,.,（3）确定系统的相对稳定性,例3-9检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s=1的右边？,解：1),劳斯表中第一列元素均为正系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。,2)令s1=s1坐标平移，得新特征方程为2s13+4s12s11=0,s3s2s1s0,21310412.24,.,劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。因此，系统在垂直线s=1的右边有一个根。,s13s12s11s10,21410.51,.,3.6线性系统的误差分析,3.6.1误差的基本概念,1.误差的定义误差的定义有两种：从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与反馈信号之差，即E(s)=R(s)B(s),从系统输出端定义，它定义为系统输出量的期望值与实际值之差。Eo(s)=R(s)C(s)对于单位反馈系统，两种定义是一致的。2.两种定义的关系,.,由图可知，R(s)表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的期望值。因而，E(s)是从输出端定义的非单位控制系统的误差。E(s)=R(s)B(s)=R(s)H(s)C(s),由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。,.,由图所示，误差定义有两种方式：1)e(t)=r(t)-c(t),无法量测2)e(t)=r(t)-b(t)单位反馈时两种定义相同。,稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误差是指，稳态响应的希望值与实际值之差，即稳定系统误差的终值,e(t)=希望值实际值,根据终值定理,使用该公式应满足sE(s)在s右半平面及虚轴上解析的条件，即sE(s)的极点均位于s左半平面。当sE(s)在坐标原点具有极点时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时可用此公式。,误差传递函数为：,.,3.稳态误差ess定义：,例3-12设单位反馈控制系统的开环传函为：,当r(t)=t2/2R(s)=1/s3解法一：,试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，r(t)=t，r(t)=sint时，控制系统的稳态误差。解：,终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。,.,解法二：,e(t)=T(tT)+T2et/T,(2)当r(t)=1(t)R(s)=1/s,(3)当r(t)=tR(s)=1/s2,.,(4)当r(t)=sintR(s)=/(s2+2),终值定理的条件不成立！,终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。,.,一、影响稳态误差的因素一般开环传递函数可以写成如下形式：,3.6.2系统类型与静态误差系数,显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。,式中，K为开环增益。为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，=0,1,2时，系统分别称为0型、型、型系统。,3.5.1,例,3.5.2,3.5.4,.,二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数,.,三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数,.,四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数,.,如表3-1。,五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系,减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶次、增加开环增益K。,表3-1输入信号作用下的稳态误差,.,阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差,r(t)=Ct2/2,r(t)=Bt,r(t)=A1(t),静态误差系数,系统型别,ess=C/Ka,ess=B/Kv,ess=A/(1+Kp),KpKvKa,A/(1+K),K00,0,C/K,0,0,K,2,B/K,0,K0,1,.,例3-14已知两