河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅰ 文科数学（ PDF版含答案）

姓名 准考证号 绝密启用前 文科数学试题 第1页( 共4页)文科数学试题 第2页( 共4页) 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 本试卷4页, 2 3小题, 满分1 5 0分。考试时间1 2 0分钟。 注意事项: 1.答题前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成, 答在本试题上无效。 3.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案用0. 5mm黑色笔迹 签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题: 本题共1 2小题, 每小题5分, 共6 0分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合A=-3,-1,0,1 ,B=x|(x+2) (x-1)0 , 则AB= A. x|-2 4) 和常数, 对满足已知条件的点P均有|PM|=|PN|, 则= A.1B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 文科数学试题 第3页( 共4页)文科数学试题 第4页( 共4页) 1 2.已知长方体A B C D- A1B1C1D1内接于半球O, 且底面A B C D落在半球的底面上, 底面 A1B1C1D1的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3,A B=B C, 则该长方体体积的 最大值为 A.1 2 3B.6 6C.4 8D.7 2 二、 填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共2 0分. 1 3.已知向量a=(-2,1) ,b=(3,2) , 若a(a+k b) , 则k= . 1 4.近几年来移动支付越来越普遍, 不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同.某学校兴趣小 组为了了解移动支付在大众中的熟知度, 要对1 57 5岁的人群进行随机抽样调查, 可供选 择的抽样方法有简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样, 则最合适的抽样方法是 . 1 5.设实数x,y满足约束条件 3x-y-20, x-3y+20, x+y-60, 则z=| 3 x+4y+3 | 5 的最大值为 . 1 6.设函数f(x)=x-1 x , 若对于x1, 3 2 , f(a x-1)f(2) 恒成立, 则实数a的取值范围 是 . 三、 解答题: 共7 0分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第1 72 1题为必考题, 每个试 题考生都必须作答.第2 2, 2 3题为选考题, 考生根据要求作答. (一)必考题:共6 0分. 1 7. ( 1 2分) 已知等差数列 an 是递增数列, 且a1+a4=0,a2a3=-1. ( 1) 求数列an 的通项公式; ( 2) 设bn=3 an+4, 数列 bn 的前n项和为Tn, 是否存在常数, 使得 Tn-bn+1恒为定值? 若 存在, 求出的值; 若不存在, 请说明理由. 1 8. ( 1 2分) 2 0 1 4年1月2 5日, 中共中央办公厅、 国务院办公厅专门发布了 关于创新机制扎实推进农村 扶贫开发工作的意见 , 对我国扶贫开发工作做出战略性创新部署, 提出建立精准扶贫工作 机制.某乡镇根据中央文件精神, 在2 0 1 4年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有4 7 3 户, 结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施, 从2 0 1 5年至2 0 1 8年该乡镇每年脱贫户数见 下表: 年份 2 0 1 52 0 1 62 0 1 72 0 1 8 年份代码x 1234 脱贫户数y 5 56 97 18 5 ( 1) 根据2 0 1 52 0 1 8年的数据, 求出y关于x的线性回归方程y= b x+ a; ( 2) 利用(1) 中求出的线性回归方程, 试估计到2 0 2 0年底该乡镇的4 7 3户贫困户能否全部 脱贫. 附: b= n i=1 xiyi-nx y n i=1 x 2 i-nx 2 , a=y- bx. 1 9. ( 1 2分) 如图, 四棱锥P - A B C D的底面A B C D为直角梯形,A B D C,A B C= 9 0 ,P A B=1 2 0 ,D C=P C=2,P A=A B= B C= 1. ( 1) 证明: 平面P A B平面P B C; ( 2) 求四棱锥P - A B C D的体积. 2 0. ( 1 2分) 已知椭圆E: x 2 a 2+ y 2 b 2=1( ab0) 的离心率为 2 2 , F1,F2分别为E的左、 右焦点, 过E的右 焦点F2作x轴的垂线交E于A,B两点,F1A B的面积为2. ( 1) 求椭圆E的方程; ( 2) 是否存在与x轴不垂直的直线l与E交于C,D两点, 且弦C D的垂直平分线过E的右 焦点F2? 若存在, 求出直线l的方程; 若不存在, 请说明理由. 2 1. ( 1 2分) 已知函数f( x)=xl nx. ( 1) 求曲线y=f(x) 在点P(1,f(1) ) 处的切线方程; ( 2) 当a1时, 求证: 存在c(0, 1 a) , 使得对任意的x( c,1) , 恒有f(x)a x(x-1). (二)选考题:共1 0分.请考生在第2 2,2 3题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请用2 B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑. 2 2. 选修4 - 4: 坐标系与参数方程 (1 0分) 以原点O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 点M的极坐标为(2, ) , 曲线C 的极坐 标方程为=2 s i n, 0,2 ). ( 1) 求曲线C的直角坐标方程; ( 2) 过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为3, 求的值及此时直线OM将曲线 C分成的两段弧长之比. 2 3. 选修4 - 5: 不等式选讲 (1 0分) 已知函数f( x)=|x+a|+|x-2a|(aR) ,g(x)=|x|+1. ( 1) 当a=1时, 在下面的平面直角坐标系内作出函数f(x) 与g(x) 的图像, 并由图写出不等 式f( x)g(x) 的解集; ( 2) 若对任意的x1R都有x2R, 使得f(x1) =g ( x2) 成立, 求实数a的取值范围. 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 参考答案及解析 2 0 1 9年全国高三统一联合考试文科数学 一、 选择题 1.B 【 解析】B=x|-2xc, 所以 2ab+c, 与已知a=1,b+c=2矛盾, 所以A= 3 .所 以由余弦定理得a 2=b2+c2-2 b cc o sA=(b+c) 2- 3b c=4 - 3b c=1, 解得b c=1, 所以SA B C= 1 2b c s i nA= 1 2 1 3 2 = 3 4 .选D. 1 1.B 【 解析】如 图, 由 题意 圆 上的 任意 一 点P均 满 足 |PM|=|PN|, 可知A,B两点也满足该关系式.由 A(-4,0) ,B(4,0) ,M(2,0) ,N(t,0) , 得=| AM| |AN|= |BM| |BN|= 6 4+t= 2 t-4 , 解得t=8,= 1 2 .选B. 1 2. A 【 解析】如图, 设A B=B C=a,C C1=h, 由长方体 内接于半球, 得( 2 2a) 2 +h 2=9, 则h2=9-a 2 2 .令t= a 2 2 , 则a 2=2 t(0t9) , 所以V2=(a 2 h) 2=a4 h 2= 4t 2( 9 -t)=-4t 3+3 6 t 2. 令f(t)= -4t 3+3 6 t 2( 0 t0,f(t) 单调递增; 当t(6,9) 时, f ( t)2或- 1 2 a x-1 3 x 或 1 2x a3或 1 2 4 7 3, 即到2 0 2 0年底该乡镇的 4 7 3户贫困户估计能够全部脱贫.1 2分 1 9. ( 1) 证 明: 在P A B中, 由P A=A B=1,P A B= 1 2 0 , 得P B= 3. 因为P C=2,B C=1,P B= 3, 所 以P B2+B C2= P C2, 即B CP B.2分 因为A B C=9 0 , 所以B CA B.因为P BA B=B, 所以B C平面P A B. 4分 又B C平面P B C, 所以平面P A B平面P B C. 6分 ( 2) 解: 在平面P A B内, 过点P作P EA B, 交B A的 延长线于点E.如图, 由(1) 知B C平面P A B, 因为B C平面A B C D, 所以平面P A B平面A B C D. 因为P E平面P A B, 平面P A B平面A B C D=A B, P EA B, 所以P E平面A B C D.9分 因为在R t P E A中,P A=1,P A E=6 0 , 所以P E= 3 2 .1 0分 因为底面A B C D是直角梯形, 所以VP - A B C D= 1 3 1 2 ( 1+2)1 3 2 = 3 4 .1 2分 2 0.解: (1) 设F1(-c,0) ,F2(c,0) ,SF1A B= 1 2 2c |A B|=c2 b 2 a = 2, 而c a = 2 2 , 2分 2 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 文科数学 则b 2=1, a 2=2, 4分 因此椭圆E的方程为 x 2 2 +y 2=1. 5分 ( 2) 假设存在直线l满足条件, 设直线l:y=k x+m, C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 线段C D的中点M(x0,y0). 将直线l的方程代入椭圆方程得(1+2k 2) x 2+4 k m x+ 2m2-2=0, 则2x0=x1+x2= - 4k m 1 + 2k 2, 所 以x0= - 2k m 1+2k 2, 又y0=k x0+m,所 以y0= m 1+2k 2, 即 M- 2k m 1+2k 2, m 1+2k 2(). 7分 若C D的 垂 直 平 分 线 过 右 焦 点F2(1,0) , 则k m 1+2k 2 - 2k m 1+2k 2-1 =-1, 所以1+2k 2=- k m,9分 即x0=- 2k m 1+2k 2=2, 与x0(- 2,2) 矛盾. 故不存在这样的直线l满足条件. 1 2分 2 1. ( 1) 解: 由f(x)=xl nx, 得 f ( x)= l nx+1,1分 所以f(1)=0, f ( 1)=1,3分 故所求切线方程为y-0=1(x-1) , 即x-y-1=0. 4分 ( 2) 证明: 由f(x)a x(x-1) , 得xl nxa x(x-1) , 考虑到x0, 可得l nxa(x-1). 设g(x)=l nx-a(x-1) , 则 g (x)= 1 x -a= - a x- 1 a () x . 当x 0, 1 a () 时, g (x)0; 当x 1 a ,+ () 时, g ( x)0. 8分 另一方面, g(e -a) = l ne -a-a( e -a-1) =-ae -a0. 由, 存在cx0, 1 a () , 使g(x)0恒成立, 即存在c 0, 1 a () , 使 得对 任 意的x(c,1) , 恒有 f(x)a x(x-1).1 2分 2 2.解: (1) 由=2 s i n得 2=2 s i n, 即x 2+y2-2 y= 0, 即得x 2+( y-1) 2=1. 所以曲线C的直角坐标方程为x2+( y-1) 2=1. 4分 ( 2) 因为过极点O与点M的直线方程为=, 又极点O既在直线OM上又在曲线C上, 所以直线与曲线C相交所得弦长为3时即得= 3, 所以在=2 s i n中, 令= 3得s i n= 3 2 , 所以= 3 , 或=2 3 .7分 当= 3 时, 因为曲线C的圆心的极坐标为C(1, 2) , 所以MC O=2 3 , 所以曲线C被分成的两段弧长之比 为21或12; 9分 同理, 当=2 3 时, 由对称性可得曲线C被分成的两段 弧长之比也为21或12. 因此, 直线OM将曲线C分成的两段弧长之比为21 或12. 1 0分 2 3.解: (1) 当a=1时,f(x)=|x+1 |