2014-2018年五年真题分类第九章直线和圆

第九章 直线和圆考点1 直线与方程1（2018北京，7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直线xmy2=0的距离，当，m变化时，d的最大值为()A1 B2C3 D41.C cos2+sin2=1， P为单位圆上一点，而直线xmy2=0过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.2.(2014四川，14)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.2.5易求定点A(0，0)，B(1，3).当P与A和B均不重合时，不难验证PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.3.(2014江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_.3.3由曲线yax2过点P(2，5)可得54a(1).又y2ax，所以在点P处的切线斜率4a(2).由(1)(2)解得a1，b2，所以ab3.考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1（2018全国，6）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x22+y2=2上，则ABP面积的取值范围是()A2，6 B4，8 C2，32 D22，321.A 直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，A-2,0,B(0,-2),则AB=22，点P在圆（x-2）2+y2=2上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离d1=|2+0+2|2=22.故点P到直线x+y+2=0的距离d2的范围为2,32.则SABP=12ABd2=2d22,6,故选A.2（2018江苏，12）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若ABCD=0，则点A的横坐标为_2.3 设A(a,2a)(a0)，则由圆心C为AB中点得C(a+52,a),易得C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0，与y=2x联立解得点D的横坐标xD=1,所以D(1,2).所以AB=(5-a,-2a),CD=(1-a+52,2-a)，由ABCD=0得(5-a)(1-a+52)+(-2a)(2-a)=0,a2-2a-3=0,a=3或a=-1，因为a0，所以a=3.3.(2016全国,4)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1,则a()A. B. C. D.23.A 由圆的方程x2y22x8y130得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d1,解之得a.4.(2015广东,5)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A.2xy0或2xy0 B.2xy0或2xy0C.2xy50或2xy50 D.2xy50或2xy504.D设所求切线方程为2xyc0,依题有,解得c5,所以所求切线的直线方程为2xy50或2xy50,故选D.5.(2015新课标全国,7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点,则|MN|()A.2 B.8 C.4 D.105.C由已知,得(3,-1),(-3,-9),则3(-3)(-1)(-9)0,所以,即ABBC,故过三点A、B、C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2(y+2)225,令x0得(y2)224,解得y122,y222,所以|MN|y1y2|4,选C.6.(2015重庆,8)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴,过点A(4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|()A.2 B.4 C.6 D.26.C圆C的标准方程为(x-2)2(y-1)24,圆心为C(2,1),半径为r2,因此2a1-10,a-1,即A(-4,-1),|AB|6,选C.7.(2015山东,9)一条光线从点(2,3)射出,经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或 C.或 D.或7.D圆(x3)2(y2)21的圆心为(-3,2),半径r1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,反射光线所在直线方程为y3k(x-2),即kx-y-2k30.反射光线与已知圆相切,1,整理得12k225k120,解得k或k.8.(2014江西,9)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切,则圆C面积的最小值为()A. B. C.(62) D.8.A由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O,要使圆C的面积最小,只需圆C的半径或直径最小.又圆C与直线2xy40相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O到直线2xy40的距离,此时2r,得r,圆C的面积的最小值为Sr2.9.（2017江苏,13）在平面直角坐标系xOy中，A（12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上若 20，则点P的横坐标的取值范围是_ 9. -5 ，1 根据题意，设P（x0 ， y0），则有x02+y02=50，=（12x0 ， y0）（x0 ， 6y0）=（12+x0）x0y0（6y0）=12x0+6y+x02+y0220，化为：12x0+6y0+300，即2x0+y0+50，表示直线2x+y+50以及直线下方的区域，联立 ，解可得x0=5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是5 ，1，故答案为：5 ，110.(2016全国,16)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|2,则|CD|_.10.4 设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R2,AB2,所以OM3,解得m,由解得A(3,),B(0,2),则AC的直线方程为y(x3),BD的直线方程为y2x,令y0,解得C(2,0),D(2,0),所以|CD|4.11.(2015新课标全国,14)一个圆经过椭圆1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为_.11.y2由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,2)三点,(4,0),(0,2)两点的垂直平分线方程为y12(x2),令y0,解得x,圆心为,半径为.故圆的标准方程为y2.12.(2015江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_.12.(x1)2y22直线mxy2m10恒过定点(2,1),由题意,得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.13.(2014陕西,12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线yx对称,则圆C的标准方程为_.13.x2(y1)21因为点(1,0)关于直线yx对称点的坐标为(0,1),即圆心C为(0,1),又半径为1,圆C的标准方程为x2(y1)21.14.(2014湖北,12)直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧,则a2b2_.14.2由题意得,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即a21,同理可得b21,则a2b22.15.(2014重庆,13)已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a_.15.4依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线axy20的距离等于2,于是有,即a28a10,解得a4.16.(2014江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_.16.因为圆心(2,1)到直线x2y30的距离d,所以直线x2y30被圆截得的弦长为2.17.(2014新课标全国,16)设点M(x0,1),若在圆O：x2y21上存在点N,使得OMN45,则x0的取值范围是_.17.1,1由题意可知M在直线y1上运动,设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1).当x00即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(1,0)符合要求；当x00时,过M作圆的切线,切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有OMNOMP,故要存在OMN45,只需OMP45.特别地,当OMP45时,有x01.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为1,1.18（2018全国，19）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8 （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程18.（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x1）（k0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由y=k(x-1)y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0 =16k2+16=0，故x1+x2=2k2+4k2所以AB=AF+BF=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2由题设知4k2+4k2=8，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程为y=x1（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则y0=-x0+5，(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3，y0=2或x0=11，y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=14419.（2017新课标,20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（）证明：坐标原点O在圆M上；（）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程 19.方法一：证明：（）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，2），则 =（2，2）， =（2，2），则 =0， ，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），整理得：k2x2（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y20，则y1y2=4，由 =x1x2+y1y2=0，则 ，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，整理得：y22my4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则y1y2=4，则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 =x1x2+y1y2=0，则 ，则坐标原点O在圆M上，坐标原点O在圆M上；（）由（）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=4，圆M过点P（4，2），则 =（4x1 ， 2y1）， =（4x2 ， 2y2），由 =0，则（4x1）（4x2）+（2y1）（2y2）=0，整理得：k2+k2=0，解得：k=2，k=1，当k=2时，直线l的方程为y=2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=1，则M（ ， ），半径为r=丨MP丨= = ，圆M的方程（x ）2+（y+ ）2= 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，圆M的方程为（x3）2+（y1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=2x+4，圆M的方程（x ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x2，圆M的方程为（x3）2+（y1）2=10 20.(2016江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x6上,求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BCOA,求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.20.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225,圆心M(6,7),半径r5,由题意,设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1,圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2,可设l的方程为y2xm,即2xym0.又BCOA2.由题意,圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d2.即2,解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由,则四边形AQPT为平行四边形,又P、Q为圆M上的两点,|PQ|2r10.|TA|PQ|10,即10,解得22t22.故所求t的范围为22,22.21.(2015广东,20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2y26x50相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k,使得直线L：yk(x4