高等流体力学-第三讲

第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,本讲主要内容（以平面流动为例）一、问题概述二、欧拉方程的求解（有势流动的基本理论）三、边界层内运动的解析解法,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,一、问题概述1、大雷诺数近似下的欧拉方程（EulersEquations）NS方程，用相对值表示为无量纲形式，其中参考量选择如下：理论：在20世纪前已比较完善；成果：流场，升力。问题：阻力（达朗伯佯谬DAlembertsParadox）；无滑动条件。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,2、边界层内流动的量级分析边界层方程（1）边界层的提出通过流场显示结果，Prandtl（1904）提出边界层理论。边界层外，流动有势，满足欧拉方程；边界层内，粘性运动，剪切层产生旋涡；漩涡的粘性扩散与对流传输漩涡仅限于边界层内；,边界层图,边界层的尺度：,其中：,在20C时，U=1m/s,L=1m，=10-6m2/s；水：Re106；空气：Re6.7X104,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（2）边界层内NS方程的量级分析,其中：,1）连续方程,注意v的量级：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（2）边界层内NS方程的量级分析,其中：,2）运动方程,即：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（2）边界层内NS方程的量级分析,2）运动方程，同理可得,由此得：,或：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（3）边界层方程按有量纲形式的方程表示定解条件,其中：,在边壁上：,在边界层界面上：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,3、欧拉方程与边界层方程的衔接条件,在边界层界面上有：,对平面绕流边界静止不动的问题，有v（x,0）=0，由x方向的欧拉方程，可确定边界层压强值，即：当y0：,边界层方程：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,4、大雷诺数问题解决步骤（1）求解无边界层的欧拉方程，得到边界层外整个流场的速度分布、压强分布；（2）确定物体所受的升力值，及（3）壁面上的速度值和压强值；（4）计算边界层内的速度分布；（5）确定边界层厚度（可用于对欧拉计算的边界修整），（6）结算壁面剪应力分布，计算壁面的阻力值。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,二、欧拉方程的求解势流理论1、基本方程与定界条件重力场中的恒定的平面流动：,基本方程：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,2、势函数(x,y)当流动无旋时，有：上式称为Laplace方程，为线性方程，解可叠加。对无旋流动的空间问题，也存在势函数(x,y,z)，满足Laplace方程。,对平面问题：,必满足无旋条件（有势必无旋）,代入连续方程,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,3、拉格朗日与伯努利方程（积分）（1）兰姆葛罗米柯（Lamb-pombiko）方程（2）力势函数与压力势函数对重力场和不可压流体：,对欧拉方程：,由矢量恒等式,可得兰姆葛罗米柯型方程,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（3）拉格朗日方程将：在恒定流条件下，有：拉格朗日方程适用条件：运动无旋。常数c适用于整个流场。,代入兰姆方程：,得拉格朗日方程：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（4）伯努利方程在运动为恒定条件下，兰姆方程为：伯努利方程的适用条件：定常流动。由此可知，可将求解欧拉方程问题转化为：1）由Laplace方程求出；2）由势函数求速度场u、v、w；3）由拉格朗日或伯努利方程求压强场。,沿流线积分，得伯努利方程：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,4、流函数(x,y),由平面连续方程：,引入(x,y)满足：,当流动无旋时，(x,y)满足Laplce方程：,注意：1）流函数仅存在于平面流动或轴对称流动问题；2）无论流动是否无旋，流函数都存在。但只有满足无旋流动条件，才能满足Laplace方程。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,5、流函数与势函数的一些特性（1）流函数(x,y)=const，表示流线；（2）两流函数之差表示通过两流线间的流量值；（3）流线与等势线正交；（4）速度势函数(x,y)不能在域内有极大值与极小值；（5）流体质点的速度的模在流域中不能达到极值；（6）压强在域内不能出现极小值；（7）在单连同域内，(x,y)、(x,y)是单值函数，再多连同域内可以是多值函数。其中：Q通过多连通域封闭曲线的流量；沿多连通域封闭曲线的速度环量；m环绕多辆通域的次数数。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,6、有势流动的主要性质（1）凯尔文定理（KelvinsTheorem）理想正压流体在有势力场中运动时，连续流场中沿封闭流体线的速度环量不随时间而变化。（2）拉格朗日涡量不生不灭定理理想正压流体在有势力场中运动时，如某一时刻连续流场中无旋，则流场始终无旋。（3）亥姆霍茨（Helmholtz）涡管、涡线保持定理理想正压流体在有势力场中运动时，满足：1）组成涡面的流体质点永远组成涡面；2）组成涡线的流体质点永远组成涡线；3）组成涡管的流体质点永远组成涡管，且其强度不随时间而变。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,7、平面有势流动问题的复势方法奇点叠加法（1）定常平面有时流动的Laplace方程的求解1）求解势函数2）求解流函数,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（2）复势及其与有势流动各量间的关系1）复势的定义,为调和函数；,且满足：,柯西黎曼条件（CauchyRiemann）,构造复变函数,是解析复变函数。,其中：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,2）用复势表示有势流动各物理量f(z)=const，表示等势线和流线簇复速度与复势的关系封闭曲线的的环量与通过的流量与复势的关系,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,柱体所受流体作用力、力矩与复势的关系,作用力：,作用力矩：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（3）复势的确定奇点叠加法1）步骤研究基本复数函数所表示的流场；通过基本复势的叠加，构造满足物面边界条件的流场。物面是一条流线。通过边界条件（Q、）确定待定常数。计算流场速度、压强分布。计算物体所受的力。2）基本复变函数所表示的流场均匀流f(z)=cz=c(x+iy)其中：c是复常数。,均匀流图示,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,源、汇流a为实数，a0：源；a0：环量逆时针转动；a0：环量顺时针转动。,源汇流图示,点涡流图示,柱坐标表示的速度关系,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,偶极子与无环量圆柱绕流偶极子无环量圆柱绕流,偶极子图示,圆柱绕流图示,其中圆柱半径：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（4）复势确定的镜像法1）平面镜像2）圆周镜像其中,平面镜像图示,圆周镜像图示,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（5）复势确定的保角变换法1）保角变换解析函数变换过程中两线段的夹角不变，长短可变。2）变换思路找到一解析函数=g(z)，将物理平面D中的曲线L变换到映射平面D中的圆周L；在映射平面D中求出圆周绕流的复势F()；通过z=g-1()的反函数将所求得的F()变换到物理平面中得到f(z)；已知复势后其它各量可求。,保角变换图示,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,三、边界层内流体运动量的解析解法1、边界层（BoundaryThickness）的定义（1）边界层厚度（名义厚度）(x)在x处的边界层厚度定义为u(x,y)=0.99UE(x)所对应的y值。存在的问题：(x)难以准确测定。（2）位移厚度（排挤厚度DisplacementThichness）d(x)由于边界层的影响，对应于x处通过边界层(x)的流体质量，无边界层所需尺度为(x)-d(x)。,即：,得：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（3）动量损失厚度（MomentThichness）M(x)由于边界层的影响，对应于x处，无边界层通过尺度为(x)-d(x)，其动量通量与通过边界层(x)的动量通量之差成为动量损失。,定义动量损失厚度：,即动量损失：,有定义可知：,位移与动量厚度图示,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,2、平面定常边界层方程,所给问题是适定的。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,3、边界层方程的相似解（1）相似解的概念对边界层速度u(x,y)存在适当变换，使得每个横断面上的u(x,y)经过变换后的分布都相同，即：通过相似变换，将偏微分方程转化为常微分方程。,相似参数,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（2）相似解存在条件当流动无特征长度（绕流边界无限长），边界层外速度UE(x)=cxm，即为幂级数时就存在相似解。其中、必须为常系数。（3）相似解求解方法引入流函数引入流函数，使得对两个变量（u、v）的方程组转化为对一个相似参数的常微分方程。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（4）边界层相似方程将所定义的流函数代入可得：其中：UEg为对x的导数；f表示对的导数。代入边界层连续方程和运动方程，整理可得：,边界条件：,其中：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（5）半无限平板恒定层流边界层的Blasius解1）流动特点：,流动图示,定解条件：,方程简化为：,方程是非线性的，Blasius给出级数解，Howarth给出精度较高的数值解，见教材p.82表4-1所示。,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,2）数值成果分析速度分布：边界层厚度：位移厚度动量损失厚度,数值解成果,速度分布图,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,板面剪应力剪应力系数板长为L的阻力阻力系数,数值解成果,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,3）计算结果,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,4、定常平面边界层的卡门（KarmanT.Von）动量积分方法特点：是一种近似方法；仅在积分意义上满足边界层方程；简单，有一定精度，在工程中得到广泛应用。（1）基本方程与边界条件,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（2）动量积分关系将（1-1）式乘u后与（1-2）式相加，得：将（1-1）式乘UE后再加udUE/dx，得：将（2-2）-（2-1）后沿边界层积分，得：,引入边界层定义，得,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,引入定义形状因子壁面摩察系数方程特点：仅有一个方程，但有三个未知量M，Hdm，cf；当已知边界层速度分布后，则M，Hdm，cf可以确定。,得卡门动量积分方程：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（3）边界层近似求解步骤1）假设边界层速度分布形式2）由边界条件确定待定系数，得到边界层相容性方程3）计算边界层名义厚度4）计算边界层其余参量,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,（4）应用例对无穷远水平来流U=Const绕半无限平板边界层内流动，设：确定相容性方程，并计算边界层个参量。解：1）由边界（相容）条件确定a、b、c、d四个系数,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,解得：相容方程为2）由动量积分方程确定边界层厚度位移厚度：动量损失厚度：形状因子：壁面剪应力：,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,代入动量积分方程，有解得：3）计算其它参量（计算结果与Blasius结果的比较）,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,作业计算水平无穷远来流绕半无限平板的边界层，设速度剖面为：确定相容性方程，计算边界层各参数，并与Blasius解比较以判断两速度剖面假设的优劣。,（1）,（2）,第三讲大雷诺数流体力学问题的求解,四、边界层分离现象的定性分析1、基本分