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文档简介
第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题1.水平放置的ABC的直观图如图,其中BOCO1,AO,那么原ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形解析:选A.AO2AO2,BCBOCO112,在RtAOB中,AB2,同理AC2,所以ABC是等边三角形2给出下列几个命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析:选B.错误,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;正确;错误,棱台是上、下底面相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等3(2019武汉市调研测试)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CD的中点,则三棱锥ABC1M 的体积VABC1M()ABCD解析:选C.VABC1MVC1ABMSABMC1CABADC1C.故选C.4把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面,则这个圆锥的高为()A10B10C10D5解析:选B.设圆锥的底面半径为r,高为h.因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长,半圆的半径等于圆锥的母线,所以2r20,所以r10,所以h10.5(2019湖北武汉5月模拟)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为()A4BC2D4解析:选B.设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,由已知得的两边同时平方得x2y2z22xy2xz2yz81,把代入得x2y2z229,所以长方体的体对角线的长为.故选B.6已知圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于()A4BCD16解析:选D.如图,由题意知圆柱的中心O为这个球的球心,于是,球的半径rOB2.故这个球的表面积S4r216.故选D.7在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD2,AA11,则点B到平面D1AC的距离等于()ABC1D解析:选B.如图,连接BD1,易知D1D就是三棱锥D1ABC的高,AD1CD1,取AC的中点O,连接D1O,则D1OAC,所以D1O.设点B到平面D1AC的距离为h,则由VBD1ACVD1ABC,即SD1AChSABCD1D,又SD1ACD1OAC2,SABCABBC222,所以h.故选B.8在三棱锥SABC中,SBBC,SAAC,SBBC,SAAC,ABSC,且三棱锥SABC的体积为,则该三棱锥的外接球半径是()A1B2C3D4解析:选C.取SC的中点O,连接OA,OB,则OAOBOCOS,即O为三棱锥的外接球球心,设半径为r,则2rr2,所以r3.9(2019安徽省江南十校3月检测)我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”意思是:如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面积恒等,那么这两个几何体的体积相等利用此原理求以下几何体的体积:如图,曲线yx2(0yL)和直线yL围成的封闭图形绕y轴旋转一周得几何体Z,将Z放在与y轴垂直的水平面上,用平行于平面,且与Z的顶点O距离为l的平面截几何体Z,得截面圆的面积为()2l.由此构造右边的几何体Z1(三棱柱ABCA1B1C1),其中AC平面,BB1C1C,EFPQ,ACL,AA1,AA1,Z1与Z在等高处的截面面积都相等,图中EFPQ和BB1C1C为矩形,且PQ,FPl,则几何体Z1的体积为()AL2BL3CL2DL3解析:选C.由题意可知,在高为L处,几何体Z和Z1的水平截面面积相等,为L,所以S矩形BB1C1CL,所以BCL,所以V三棱柱ABCA1B1C1SABCL2,故选C.10(2019重庆市七校联合考试)已知正三棱锥的高为6,内切球(与四个面都相切)的表面积为16,则其底面边长为()A18B12C6D4解析:选B.由题意知,球心在三棱锥的高PE上,设内切球的半径为R,则S球4R216,所以R2,所以OEOF2,OP4.在RtOPF中,PF2.因为OPFDPE,所以,得DE2,AD3DE6,ABAD12.故选B.11(多选)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下几种几何图形的4个顶点,这些几何图形可以是()A矩形B有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体C每个面都是直角三角形的四面体D每个面都是等边三角形的四面体解析:选ABCD.4个顶点连成矩形的情形显然成立;图(1)中四面体A1D1B1A是B中描述的情形;图(2)中四面体DA1C1B是D中描述的情形;图(3)中四面体A1D1B1D 是C中描述的情形12(多选)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则下列四个结论正确的是()A直线A1C1与AD1为异面直线BA1C1平面ACD1CBD1ACD三棱锥D1ADC的体积为解析:选ABC.对于A,直线A1C1平面A1B1C1D1,AD1平面ADD1A1,D1直线A1C1,则易得直线A1C1与AD1为异面直线,故A正确;对于B,因为A1C1AC,A1C1平面ACD1,AC平面ACD1,所以A1C1平面ACD1,故B正确;对于C,连接BD,因为正方体ABCDA1B1C1D1中,ACBD,ACDD1,BDDD1D,所以AC平面BDD1,所以BD1AC,故C正确;对于D,三棱锥D1ADC的体积V三棱锥D1ADC222,故D错误13(多选)如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,ABEF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,且AB2,ADEF1.则()A平面BCF平面ADFBEF平面DAFCEFC为直角三角形DVCBEFVFABCD14解析:选AD.因BFAF,BFDA,所以BF平面DAF,所以平面BCF平面ADF,由题意可知,平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V四棱锥FABCD,V三棱锥FCBE.过点F作FGAB于点G,因为平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEFAB,FG平面ABEF,所以FG平面ABCD.所以V四棱锥FABCD12FGFG,V三棱锥FBCEV三棱锥CBEFSBEFCBFG11FG,由此可得V三棱锥CBEFV四棱锥FABCD14.二、填空题14(一题多解)(2019淄博市第一次模拟测试)底面边长为6,侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为_解析:法一:由题意得,三棱锥的侧棱长为3,设正三棱锥的高为h,则33336h,解得h.法二:由题意得,三棱锥的侧棱长为3,底面正三角形的外接圆的半径为2,所以正三棱锥的高为.答案:15(2019高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为_解析:由题可得,四棱锥底面对角线的长为2,则圆柱底面的半径为,易知四棱锥的高为2,故圆柱的高为1,所以圆柱的体积为1.答案:16(2019高考全国卷)已知ACB90,P为平面ABC外一点,PC2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为_解析:如图,过点P分别作PEBC交BC于点E,作PFAC交AC于点F.由题意知PEPF.过P作PH平面ABC于点H,连接HE,HF,HC,易知HEHF,则点H在ACB的平分线上,又ACB90,故CEH为等腰直角三角形在RtPCE中,PC2,PE,则CE1,故CH,在RtPCH中,可得PH,即点P到平面ABC的距离为.答案:17(2019河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为2的等边
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