小学数学常用数量关系及计算公式.doc

小学数常用的数量关系及计算公式一、运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(c) 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 加减混合运算：abcacb (ac) abcbca (bc)abcdm(ab)(cd)m (ab，cd)a(bc)(dm)(bc，dm)a(mb)(cd)(mb，cd)二、基本性质1、减法的性质：ab=c；a=cb；b=ca；ab=c；a=bc；b=ac； abca(bc) a（bc）abc2、除法的性质：商不变性质：()()=()()=其它性质：a（bc）= abc a（bc）= abc（ab）c = acbc （ab）c = acbc三、数量关系1、加数+加数=和 一个加数=和另一个加数；被减数减数=差 减数=被减数差 被减数=差减数；2、因数因数积 积一个因数另一个因数被除数除数商 被除数商除数 商除数被除数除数商余数=被除数 （被除数余数）除数=商3、路程=速度时间 时间=路程速度 速度=路程时间4、工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量工作时间工作效率5、单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 总产量单产量数量6、每份数份数总数总数每份数份数总数份数每份数 7、1倍数倍数几倍数 几倍数1倍数倍数 几倍数倍数1倍数 8、总数总份数平均数 9、（对折后剪的次数）21=得到的段数10、奇数与偶数加法：偶数偶数=偶数 奇数奇数=偶数 偶数奇数=奇数减法：偶数偶数=偶数 奇数奇数=偶数 偶数奇数=奇数乘法：偶数偶数=偶数 奇数奇数=奇数 偶数奇数=偶数四、小学应用题（及奥数）运算公式 （一）平均数问题1、算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。 【注】每份数平均数，份数总份数，总数数量之和总数总份数=每份数；每份数份数总数；总数每份数份数；2、加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 （部分平均数权数）的总和（权数的和）=加权平均数。 3、差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。 （大数小数）2=小数应得数 最大数与各数之差的和总份数=最大数应给数 最大数与个数之差的和总份数=最小数应得数（二）和差、和倍、差倍问题【注】较小数也叫“1倍数”或称“标准数”， 较大数也可以称做“几倍的数”或者“另一个数”。1、和差问题：（和+差）2=较大数 （和-差）2=较小数较大数差=较小数 和较小数=较大数和较大数=较小数 较小数差=较大数2、和倍问题：和(倍数1)较小数和较小数较大数较小数倍数较大数 较大和较小数倍数较大数倍数较小数 和倍数和（倍数+1）=较小数 和-较小数=较大数3、差倍问题：两个数的差（倍数1）较小数较小数倍数较大数较小数+差=较大数4、年龄问题：几年后的年龄=大小年龄差倍数差小年龄几年前的年龄=小年龄大小年龄差倍数差 年龄问题的特点是：（1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。（3）两个年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，也在发生变化。（4）年龄问题也是和差、和倍、差倍问题的具体应用。（三）行程问题：1、一般行程问题：路程速度时间路程时间速度路程速度时间2、相遇（相离）问题：相遇和相离问题属于反向行程问题的两种类型。相遇问题是指二人从两地出发，相向而行。相遇路程速度和相遇时间相遇时间相遇路程速度和速度和相遇路程相遇时间速度和速度甲=速度乙相离问题是指两人背向而行。相离路程速度和相离时间相离时间相离路程速度和速度和相离路程相离时间速度和速度甲=速度乙3、追及问题：追及问题属于同向行程问题，放水问题也可以参照解答。 追及（拉开）时间追及距离（路程差）速度差速度差追及距离（路程差）追及（拉开）时间追及距离（路程差）速度差追及（拉开）时间4、过桥问题：路程：指的是桥的长度和列车的长度和。路程=桥长车长过桥时间路程速度速度路程过桥时间 路程速度过桥时间 车长车速通过时间桥长桥长车速通过时间车长5、流水问题（行船问题）：【注】水速：指的是水流速度。船速：指的是船的静水速度。顺水速度船速水速逆水速度船速水速船速（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2 顺水路程顺水速度时间逆水路程逆水速度时间两船相向航行的：甲船顺水速度+乙船逆水速度甲船静水速度+乙船静水速度两船同向航行的：两船距离缩小速度后船静水速度前船静水速度两船距离拉大速度前船静水速度后船静水速度5、植树问题： 【注】间隔数段数，棵数株数，全长总路程，每个间隔长株距，非封闭线路上植树指的是在首尾不相接的路线上种树，封闭线路上植树是指在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）。在非封闭线路上的植树问题，主要可分以下三种情形:.两端都植树（沿线段植树）:株数段数1全长株距+1 全长株距(株数1) 株距全长(株数1) 段数株数1.一端植树,另一端不植树（沿周长植树）: 株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数 .两端都不植树: 株数段数1全长株距+1 全长株距(株数1) 株距全长(株数1) 段数株数+1在封闭线路上的植树问题：株数段数全长株距 全长株距株数株距段数 株距全长株数全长段数 路长间隔数=棵数 平面植树问题：占地总面积每棵占地面积=棵数 （四）工程问题: 工作总量工作效率工作时间工作时间工作总量工作效率工作效率工作总量工作时间用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几1单位时间能完成的几分之几=工作时间 【特别注意】用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。（五）鸡兔同笼问题:1、已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少公式：（总脚数-每只鸡的脚数总头数）（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数总头数-兔数=鸡数或者（每只兔脚数总头数-总脚数）（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数总头数-鸡数=兔数2、已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时公式： （每只鸡脚数总头数-脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数总头数-兔数=鸡数或者（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数总头数-鸡数=兔数 3、已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时公式：（每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数总头数-兔数=鸡数 或者（每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数 总头数-鸡数=兔数 4、得失问题（鸡兔问题的推广题）公式： （1只合格品得分数产品总数-实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数 或者总产品数-（每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 【特别注意】 “得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。 5、鸡兔互换问题已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题公式：（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=鸡数 （两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=兔数 （六）方阵问题：【方阵问题的基本特点】方阵不论哪一层,每边上的人(物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少“2”，每一层就少8。每层人数最外层四周人数每边人数最外层每边人数每层人数=（每边人数1）4每边人数=每层人数41总人数4层数+层数每边人数1、实心方阵：总人(物)数最外层每边人数最外层每边人数4（最外层一边人数层数）层数2、空心方阵：总人(物)数（最外层每边人数层数）层数4中空方阵的人数（最外层每边人数）（最外层每边人数）-（最外层每边人数-2层数）2（七）归一问题和归总问题归一问题：单一量份数总数量（正归一）总数量单一量份数（反归一） 归总问题：单位数量单位个数另一个单位数量另一个单位数量单位数量单位个数另一个单位数量另一个单位数量 （八）分数、百分数应用题1、分数乘法应用题分数乘法应用题：是指已知一个数，求它的几分之几（百分之几）是多少的应用题。用乘法。分率：是指单位“1”的几分之几（或百分之几）分量：单位“1”的几分之几（或百分之几）是多少。特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。 已知条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几（或百分之几）（分率）所求问题：求单位“1”的几分之几（或百分之几）是多少（分量）解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 画线段图：两个量的关系，画两条线段图；部分和整体的关系，画一条线段图。单位“1”通常在分率句中分率的前面或在“占”“是”“比”的后面。求一个数的几倍：一个数几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数几/几“的”相当于“”；“占”、“是”、“比”相当于“ = ”分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1 分率）=分率对应量数量关系：单位“1”的量分律=分量一个数几分之几（百分之几）2、分数除法应用题已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数。用除法。特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。 已知条件：单位“1”的几分之几（或百分之几）（分率）；单位“1”的几分之几（或百分之几）是多少（分量）所求问题：表示单位“1”的量（总量）解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量。关系式：多少几分之己=总量求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。用除法。特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。 解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。 已知条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几（或百分之几）是多少（分量）所求问题：求分量是单位“1”的几分之几（或百分之几）（分率） 【甲是乙的几分之几（百分之几）】甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。 【甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）】甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式：（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数 3、百分数应用题已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题。数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同。分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1分率）=分率对应量未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法：（建议：最好用方程解答）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。算术（用除法）：分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题。两个数的相差量单位“1”的量 100% 或： 求多百分之几：（大数小数 1） 100% 求少百分之几：（ 1 - 小数大数） 100% （九）求分率、百分率问题 1、增减分（百分）率互求公式：增长率（1+增长率）=减少率减少率（1-减少率）=增长率 两数差较小数=多几（百）分之几（增） 两数差较大数=少几（百）分之几（减）2、求比较数公式： 标准数分（百分）率=与分率对应的比较数； 标准数增长率=增长数； 标准数减少率=减少数； 标准数（两分率之和）=两个数之和； 标准数（两分率之差）=两个数之差。 3、求标准数公式：比较数与比较数对应的分（百分）率=标准数； 增长数增长率=标准数； 减少数减少率=标准数； 两数和两率和=标准数； 两数差两率差=标准数； 比较数标准数=比较数的对应分（百分）率增长数标准数=增长率 减少数标准数=减少率4、浓度问题：溶质的重量溶剂的重量溶液的重量溶质的重量溶液的重量100%浓度溶液的重量浓度溶质的重量溶质的重量浓度溶液的重量 5、盈亏问题：一次有余（盈），一次不够（亏）：(盈亏)两次分配量之差参加分配的份数两次都有余（盈）：(大盈小盈)两次分配量之差参加分配的份数（大亏小亏）两次分配量之差参加分配的份数两次都不够（亏）：分配量之差参加分配的份数一次不够（亏），另一次刚好分完：亏两次每人分配数的差参加分配的份数一次有余（盈），另一次刚好分完：盈两次每人分配数的差参加分配的份数6、利率问题： 单利问题公式：利息本金利率时间 税后利息本金利率时间80%(120%)本利和本金（1+利率时期）本金本利和（1+利率时期）月利率年利率12年利率月利率12 应纳税额需要交税的钱 税率涨跌金额本金涨跌百分比 复利问题公式：本利和本金（1+利率）存期期数（注意：国债和教育储蓄不交税） 【利率问题的基本概念】利息与本金的比值叫做利率；存入银行的钱叫做本金；取款时银行多支付的钱叫做利息。纳税：就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家；缴纳的税款叫应纳税款；应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ）的比率叫做税率。 7、利润与折扣问题：1、折扣：商品降低利润（甚至亏本）按原定价格的百分之几减价出售，叫做折扣。通称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如：减价20，就是按定价的1-20=80出售，通常也叫做打八折出售。 “八折”的含义是：现价是原价的80%，八折80%；“八五折”的含义是：现价是原价的85%，八五折85%；“六折五”的含义是：现价是原价的65，六折五0.65=65。2、一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三点五，也就是35%利润售出价成本利润率利润成本100%（售出价成本1）100%售出价=成本（1利润率）成本=售出价（1利润率）折扣实际售价原售价100%（折扣1）现价原价 折数（通常写成百分数形式）8、出勤率问题：职工的出勤率=实际出勤人数应出勤人数100% 发芽率=发芽种子数试验种子数100% （小麦）出粉率= 面粉的重量出粉物（小麦）的重量100% 产品的合格率=合格的产品数产品总数100% 达标率 = 达标学生人数学生总人数100%成活率 =成活的数量总数量100% 烘干率 = 烘干后的重量烘干前的重量100%含水率 = （烘干前的重量烘干后的重量）烘干前的重量100%【特别注意】一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）（十）比和比例应用题1、比和比例应用题包括按比例分配、比例尺和正反比例应用题。2、按比例分配的应用题：是把一个数量按照一定的比分配成几部分。按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上来解决的。3、解题关键：关键是要根据各部分之比，确定各部分量与总量之间的关系，即各部分占总量的几分之几。然后按照“求一个数（分配量）的几分之几是多少”的问题来解答。即：首先求出分配的总量和分配的比，然后把分配的比转化成分数或份数来进行解答。也就是首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 4、在比例尺应用题中，图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式：图上距离：实际距离=比例尺三个相关联的量中，知道任意两个量，就可以根据关系式，求出另一个量在计算中，要注意各种量的单位在算式中必须统一。5、正、反比例应用题正比例应用题中的各种相关联的量有正比例关系，关系式：y/x=k（一定）反比例应用题中的各种相关联的量有反比例关系，关系式：x.y=k（一定）正、反比例应用题的解题策略审题，找出题中相关联的两个量