2010年全国各地数学中考试题分类汇编-解直角三角形

第十六课时 解直角三角形基础知识回放考点1 勾股定理及逆定理1勾股定理：直角三角形两直角边a，b的_等于斜边c的_，即。2勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a，b，c有这样的关系：，那么这个三角形是_三角形。温馨提示：利用勾股定理时，要注意求的是直角边还是斜边，前都用减法，而后者用加法，如没有确定告诉的，还有讨论。另外，在解题时，通常勾股定理与其逆定理同时应用，即先判定出是直角三角形，然后再利用勾股定理解此三角形。考点2 锐角三角函数1在RtABC中，若A、B、C的对边分别是a、b、c且C=90。（1）SinA=，叫做A的正弦，（2）CosA=，叫做A的余弦，（3）tanA=，叫做A的正切，温馨提示：若所给的边不能直接求出想要求的三角函数，则可先通过勾股定理求出第三边，然后在利用定义求出相应地三角函数。2特殊角的三角函数值三角函数030456090Sin01Cos10tan01不存在温馨提示：在忘记某个角的特殊值时，可自己动手推导，即可设出某一边的长为1或2等简单数字，然后再利用直角三角形中特殊角与边的关系，再结合勾股定理，推导出三边的长度，然后在利用三角函数的定义得出各个特殊角的三角函数值。3（1）互余角三角函数间的关系，如果AB=90，那么SinA=CosB，CosA=SinB。（2）同角三角函数的关系：=1，tanA=。（3）当090时，有0Sin1，0Cos1，tan0。锐角的正弦值与正切值都随角度的增大而_，而锐角的余弦值都随角度的增大而_。考点3 解直角三角形1直角三角形的性质及条件性质：（1）直角三角形的两个锐角_。（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的_。条件：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。（2）有两个角_的三角形是直角三角形。（3）如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么此三角形是直角三角形。2解直角三角形：是指在直角三角形中，由已知的边和角，求出未知的边和角。温馨提示：利用勾股定理，三角形内角和定理以及锐角三角函数等性质即可解三角形，此技能，同学们一定要掌握。3仰角与俯角：如图所示4坡度、坡角和坡比通常把坡面的铅直高度与_的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示，_与水平面的夹角叫做坡角，记作。温馨提示：再求有关坡度或坡比的计算时，常作的辅助线是过顶点作下底的高线。再利用解直角三角形的相关知识解决问题。5方位角如图所示，AOB是方位角为北偏东角。DOE的方位角为南偏东角，若此时此角度为45，通常称为东南方向。EOF的方位角为南偏西角。6解直角三角形的类型及解法已知一边一角：（1）已知斜边和一锐角分别为c、A，解法：B=90A，a=cSinA，b=cSinB=cCosA。（2）已知一直角边和一锐角分别为a，A，解法：B=90A，b=atanB，c=。已知两边：（1）已知两直角边a、b，解法：由tanA=求出A，B=90A，c=。（2）已知一直角边和斜边分别为a，c，解法：由SinA=求出A，B=90A，b=cCosA=CSinB。7（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（2）在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。（3）含有45角的直角三角形是等腰直角三角形。温馨提示：上述性质在解题中会经常用到，切不可忘记。在使用它们时，通常用方程思想进行求解，可使问题简化。中考热点难点突破例1：如图，ADCD，AB13，BC12，CD3，AD4，则sinB=（ ）例1图A B. 分析：本题考查的知识点比较多，如勾股定理、勾股定理的逆定理、正弦函数的定义等，掌握不好其中的每一个性质，解决本题都会出错，所以对于一些基本的定义或性质都要准确地掌握。解：因为ADCD，CD3，AD4，根据勾股定理，得,又AB13，BC12，所以,所以ABC是直角三角形，所以sinB=.故选A.例2图例2：如图，斜坡AB的坡度i=：1，那么tanB的值为（ ） A. B. C. D. 分析：对于坡度、正切等的相关定义掌握好是解决好本题的关键。 解：根据坡度的定义可知：1=AC：BC，又根据正切的定义可知，tanB的值正好与AB的坡度值相等，所以应该选择C。例3：如图，小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点处的仰角为52，楼底点处的俯角为13若两座楼与相距60米，则楼的高度约为_米（结果保留三个有效数字）例3图（，）分析：本题考察了锐角三角函数应用，主要是利用直角三角形的边角关系解决实际问题.对于俯角、仰角等相关定义要理解准确，并能利用图形，做出相关的辅助线，求出正确的解。解： 作AECD于E，得矩形ABDE，AE=BD=60米.EAD=13，CAE=52.tanCAE=，tan52=，CE1.279960=76.794.例4图tanEAD =，tan13=，DE0.230960=13.854.楼的高度约为：90.6米.例4：如图，在RtABC中，CAB=90，AD是CAB的平分线，tanB=，则CDDB= . 分析：此题考查解直角三角形的有关知识, 解决此类问题关键在于用一个未知数表示出两个相关的量,通过相比约去公共的未知数,得到比值.解：RtABC中，CAB=90，tanB=，若设AC=x，则AB=2x，BC=x，过点D作DEAB于E，因为AD是CAB的平分线，所以DE=AE,设DE=a,则,AE=a,BE=2a,DB=b所以3a=2x.,解得x=a,所以CB=,CD=a=.则CDDB=:=1:2.中考效能测试1（09年兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为A5m B6m C7m D8m2（09年长春）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（ ）A B C D3(09年河北)图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中ABCD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）A mB4 m C m D8 mxyOCBA第2题图第1题图ABCD150第3题图h4（09年内蒙古包头）已知在中，则的值为（ ）A B C D5（09年吉林省）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（ ）Acm Bcm Ccm D2cm6（09年深圳市）如图，在矩形ABCD中，DEAC于E，EDCEDA=13，且AC=10，则DE的长度是（ ）A3 B5 C D第8题图第6题图第5题图60PQ2cm7（09年天津市）2sin的值等于（ ）A1BCD2 8. 如图，在四边形ABCD中，DACB90，CD12，AD16，BC15，则AB（ ）A. 20B. 25C. 35D. 309有一个角是30的直角三角形，斜边长为1，那么斜边上的高为多少? （ ）A. B. C. D.10的值等于（ ）A B. C. D.1第11题图 二、填空题（每小题3分，共30分）11如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。12（09年济南）如图，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 13（09年济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点处安置测倾器，测得风筝的仰角；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线的长度为70米；（3）量出测倾器的高度米根据测量数据，计算出风筝的高度约为 米（精确到0.1米，）14（09年安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m15（09年宁波市）如图，在坡屋顶的设计图中，屋顶的宽度为10米，坡角为35，则坡屋顶高度为 米（结果精确到0.1米）ADBEC60第13题图第14题图ABChl第15题图第12题图OAB第16题图16（09年南宁市）如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为 _海里（结果保留根号） 17（09年包头）如图，在中，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）18（09年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）第16题图GAEC(F)DB第18题图EABC(F)D第18题图第17题图ANCDBM19(09宁夏)在中，则的值是 20（09年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要 cmBA6cm3cm1cm第20题图 三、解答题（共60分）21（本题9分，各3分）计算下列各题：（1） (09年湖州)计算：（2）（09眉山）计算：（3）22（本题6分）（09辽宁朝阳）一艘小船从码头出发，沿北偏东方向航行，航行一段时间到达小岛处后，又沿着北偏西方向航行了10海里到达处，这时从码头测得小船在码头北偏东的方向上，求此时小船与码头之间的距离（，结果保留整数）23（本题7分）（09眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离第23题图24（本题7分）(09年南充)如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于A（1）求的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90后记作点，求点的坐标；OxAB11第24题图y（3）将平移得到，点A的对应点是，点的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点的坐标25（本题7分）（09年台州市）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5 （1）求坡高;第25题图DCBA512（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米）26（本题8分）某片绿地形状如图所示，其中ABBC，CDAD，A=60，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长第26题图27（本题8分）（09柳州）如图8，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，CAB第27题图这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：） 28（本题8分）（09年凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路，已知点周围200米范围内为原始森林保护区，在上的点处测得在的北偏东45方向上，从A向东走600米到达处，测得在点的北偏西60方向上（1）是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？CBNMA第28题图参考答案基础知识回放平方和 平方 直角 增大 减小 互余 一半 互余 水平宽度 坡面一、选择题1A【解析】本题主要考查直角三角形问题。tan=0.75=,因为水平距离为4m，所以铅直高度为0.754=3m，根据勾股定理知，坡面相邻两株数间的坡面距离为5m。故选A。2C【解析】过点C作x轴的垂线，则构成一个等腰直角三角形，利用勾股定理可求得此三角形的直角边为1，则B点的坐标为3B【解析】本题属于基础题，考查学生利用三角函数的定义进行简单计算的能力，过C作CEAB,在RtCBE中，由三角函数的定义可知CE=BCsin30=8=4m.故选B.一些同学往往对三角函数的定义记不准确而出错。4A 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTABC中，C=90，则，和；由知，如果设，则，结合得；，所以选A5B【解析】本题考查折叠与解直角三角形的有关知识，由图中条件可知纸片重叠部分的三角形是等边三角形，此三角形的高是2，求边长，利用锐角三角函数可求出PQ的长为，故选B。规律总结：解决本题的关键是判断出重叠部分的三角形是等边三角形，而要得到重叠部分的三角形是等边三角形则必须利用折叠（即轴对称）对应角相等来说明，对于图形折叠的问题在不少地区的中考题中都出现，也是各地考查轴对称的一种主要题型。6D【解析】EDCEDA=13，且ADC=90，则EDC=22.5，则DOE=45，又AC=10，则AO=OD=5，根据勾股定理可求得：DE=7A【解析】本题考查学生对特殊角三角函数值的识记，根据特殊角三角函数值可得的值等于，故选A.8B9C【解析】本题可结合图形，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，及勾股定理求解。10A二、填空题11米【解析】要正确理解坡度的含义。12【解析】连结AB，利用勾股定理可得OB=2，OA=AB=，利用勾股定理的逆定理可得AOB是以OB为斜边的直角三角形，则cosAOB=。本题综合考查了利用勾股定理及其逆定理以及三角函数的定义求一个角的函数值的能力，属于基础题，一般借助构造直角三角形求解，学生解答时往往对三角形的定义不明确而出现计算错误。1316.1【解析】在RtCBD中，由三角函数的定义可知DC=BCsin60=7060.62.又因AB=1.5，则得CE=60.62+1.562.1米.本题也属于基础题，考察了利用三角函数的定义进行简单计算的能力，一些同学往往对三角函数的定义记不准确而出错。14【解析】开始时梯子顶端离地面距离为移动后梯子顶端离地面距离为，故梯子顶端沿墙面升高了本题考查了解直角三角形的实际应用的知识，应注意数形结合，化归在特定直角三角形计算。153.5【解析】在直角三角形ABD中，解得。ABCFDh本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是熟记三角函数公式。本题须借助于计算器进行计算，计算结果要注意符合题目中精确到0.1米的要求。16【解析】的长等于+，而在直角中，450，所以sin45040，所以40，在直角中，40，300，所以cos300=，所以+40+.命题规律与趋势：本题考察解直角三角形的知识。要先将实际问题抽象成数学模型。分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系。一般为测量物体的高度或测量不可到达的地方的宽度。17 【解析】考查点：本题考查三角形和扇形面积的求法及三角函数有内容。解题思路：图中阴影部分的面积等于，连结AD，在ABC中，AB=AC，A与BC相交于点D，则ADBC，B=30， 18【解析】考查点：本题考查旋转和三角函数有关内容。解题思路：由题意知，在TRABC中，A=30，B=60，由旋转的性质知图(2)中，CB=CE， BCE为等边三角形。ECB=60，ECG=30；而FED=60。EGC=90，在RTDEF中，CE=EF，在RTCEG中，。19【解析】本题考查锐角三角函数值的计算能力。在直角三角形ABC中，C=90，cosA=2010，（或）【解析】将长方体按题意展开，得到所用细线的最短长度为AB，根据勾股定理，得。AB33116C同理，当沿侧面绕n圈时，将长方体按题意展开得到下图：AB6C88n个8，即8n根据勾股定理，得。易错易混点：有的学生没有把握本题的实质，没有将本题中的长方体进行展开处理，导致解题陷入困境。另外，相当多的同学没有考虑到绕n圈的解决方法同一圈的解决方法是完全一样的，而感觉到本题的第二问无从