112三角形全等的判定

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一个与原来同样大小的新教具吗？怎样才能保证制作的新教具与原来的全等呢？,怎么办？可以帮帮我吗？,新课导入,C,B,E,A,D,1了解三角形的稳定性；2掌握三角形全等的条件：边边边、边角边、角边角、角角边；3能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题,知识与能力,教学目标,1培养空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力；2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,过程与方法,1经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；2通过课堂学习培养敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；3在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理,情感态度与价值观,1运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题；2三角形全等的条件,重点,教学重难点,1寻求三角形全等的条件；2灵活运用三角形全等条件；3熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题,难点,1一个条件,（1）有一条边对应相等的三角形？,不一定全等,三角形全等的探究,判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等,（2）有一个角对应相等的三角形？,一个条件，并不能保证三角形全等,不一定全等,结论,不一定全等,（1）三角形的一个角和一条边对应相等的三角形？,2两个条件,（2）三角形的两条边对应相等的三角形,不一定全等,有两个条件对应相等也不能保证三角形全等,结论,已知ABC，画一个DEF，使DE=AB，EF=BC，DF=AC,1画线段DE=AB；,2分别以D、E为圆心，线段AC、BC为半径画弧，两弧交于点F；,3连接线段DF、EF,D,E,F,（1）三角形的三条边分别对应相等的三角形？,3三个条件,知识要点,三角形全等的条件：,三边对应相等的两个三角形全等.,即：“边边边”或“SSS”,AB=AB,BC=BC,AC=AC,（SSS）,在ABC和ABC中,ABCABC,用符号语言表达为：,例1已知ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架求证：ABDACD.,在ABC中，AB=AC，D是BC中点，点E在AD上找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的？,D,想一想,B,C,A,E,1已知：如图，ABAD，CB=CD求证：B=D,在ABC和ADC中，,ABCADC（SSS）,B=D（全等三角形的对应角相等）,证明：连结AC，,ABAD，CBCD，ACAC（公共边），,练一练,证明：BE=CF（已知），,即BC=EF,在ABC和DEF中，,AB=DE（已知），,AC=BF（已知），,BC=EF（已证），,ABCDEF（SSS）,A=D（全等三角形对应角相等）,BE+EC=CF+EC，,2如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF求证：A=D,（2）三角形的两条边和它们的夹角对应相等的三角形?,已知ABC，画一个ABC，使AB=AB，BC=BC，B=B,A,B,C,1画B=B；,2在射线BO上截取BC=BC，在射线BF上截取BA=BA,3连接AC,以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N；,画一条射线BO，以点B为圆心，BM长为半径画弧，交BO于点P；,以点P为圆心，MN长为半径画弧，与上步骤所画的弧交于点Q；,过点Q画射线BF，则OBF=B,A,B,C,M,N,O,P,Q,F,作一角等于已知角,知识要点,“边角边”或“SAS”,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,三角形全等的条件：,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中，,AB=DE，A=D，AC=DF，,ABCDEF（SAS）.,例2如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA连接BC并延长到E，使CE=CB连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离为什么？,证明：,在ABC和DEC中，,CA=CD，ACB=DCE，CB=CE，,ABCDEC（SAS），,AB=DE,证明：,在ABC和ADC中，,AB=AD（已知），,CB=CD（已知），,AC=AC（公共边）,ABCADC（SSS），,BAO=DAO（全等三角形的对应角相等）,如右图，已知：AB=AD，CB=CD求证：ACBD,练一练,在ABO和ADO中，,AB=AD（已知），,BAO=DAO（已证），,AO=AO（公共边），,ABOADO（SAS），,AOB=AOD（全等三角形的对应角相等）,AOB=AOD=90,ACBD（垂直定义）,又AOB+AOD=180（邻补角定义），,知识要点,因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决,（3）三角形的两个边和其中一个边的对角对应相等的三角形？,两个边和其中一个边的对角对应相等的三角形不一定全等,结论,（4）三角形的三个角对应相等的三角形？,三个内角对应相等的三角形不一定全等,结论,两种情况,两个角及这两角的夹边分别对应相等,两个角及其中一角的对边分别对应相等,（5）三角形的两角和一条边对应相等的三角形,已知：任意ABC，画一个ABC，使AB=AB，A=A，B=B,画法：1画AB=AB，2在AB的同旁画DAB=A，EBA=B，AD、BE交于点CABC就是所要画的三角形,A,B,C,D,E,两个角及这两角的夹边分别对应相等的三角形？,知识要点,“角边角”或“ASA”,有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等,三角形全等的条件：,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中，,AB=DE，A=D，B=E，,ABCDEF（ASA）,A,B,D,E,C,F,两个角及其中一角的对边分别对应相等的三角形,A,B,D,E,C,F,知识要点,“角角边”或“AAS”,有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等,三角形全等的条件：,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中，,AB=DE，A=D，C=F，,ABCDEF（AAS）,A,B,D,E,C,F,AD=AE（全等三角形的对应边相等），又AB=AC（已知），ABAD=ACAE即：BD=CE,证明：在ABE和ACD中A=A（公共角），AB=AC（已知），B=C（已知），,ABEACD（ASA），,例3已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，B=C求证：BD=CE,1已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线，FB=CE，ABED，ACFD，求证：AB=DE，AC=DF,练一练,证明：FB=CE（已知），,BC=EF,ABED，ACFD（已知），,B=E，ACB=DFE（两直线平行，内错角相等）,在ABC与DEF中，,BC=EF（已证），,B=E（已证），,ACB=DFE（已证），,ABCDEF（ASA），,AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）,2已知：如右图，AB、CD相交于点O，ACDB，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF求证：CE=DF,证明：在AOC和BOD中，,ACDB，,A=B（两直线平等，内错角相等）,又AOC=BOD（对顶角相等），,A=B（已证），,OC=OD（已知），,AOCBOD（AAS）,AC=BD,在AEC和BFD中，,AC=BD（已证），,A=B（已证），,AE=BF（已知），,AECBFD（ASA），,CE=DF,3已知：ABDE，AB=DE，1=2求证：BG=DF（中考题）,提示：证ABF和EDG全等,一同学不小心打破了一块三角形的玻璃，如图：他应该拿哪一块回玻璃店做一块与原玻璃一模一样的？,想一想,判定一般三角形全等的方法有哪几种？若这两个三角形是直角三角形，那么这些判定方法适用吗？判定直角三角形全等有特殊方法吗？,答：SSS，SAS，ASA，AAS,想一想,RtABCRtABC,画法：1画MCN=902在射线CM上取BC=BC3以为B圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A4连接AB,一条直角边和斜边对应相等的直角三角形全等吗？,知识要点,“斜边、直角边公理”或“HL”,斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等,直角三角形全等的条件：,用符号语言表达为：,在RtABC与RtDEF中，,AC=DF，BC=EF，,RtABCRtDEF（AAS）,如图，具有下列条件的RtABC与RtDEF（其中CF90）是否全等，在（）里填写理由；如果不全等，在（）里打“”：（1）ACDF，AD（）（2）ACDF，BCEF（）（3）ABDE，BE（）（4）AD，BE（）,ASA,SAS,AAS,想一想,1直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法“HL”公理,2使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等,注意,4直角三角形全等的判定方法有五项依据：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”其中，“HL”公理只适用于判定直角三角形全等,3两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对边相等）,三边对应相等（SSS）一锐角和它的邻边对应相等（ASA）一锐角和它的对边对应相等（AAS）两直角边对应相等（SAS）斜边和一条直角边对应相等（HL）,判断三角形全等的条件,课堂小结,ABCDCB(SSS),1如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由,随堂练习,2如图，D、F是线段BC上的两点，AB=EC，AF=ED，要使ABFECD，还需要条件_,BF=CD或BD=CF,3已知：如图，AB=CB，ABD=CBD问AD=CD，BD平分ADC吗？,证明：在ABD与CBD中，,AB=CB，ABD=CBD，BD=BD，,ABDCBD（SAS）,AD=CD，ADB=CDB，即BD平分ADC,4如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，求证：A=D,证明：BF=BE+EF，CE=CF+FE，而BE=CF，BF=CE,在ABF和DCE中，,BF=CE，B=C，AB=DC，,BADBAC（SAS），,A=D,5如图，B点在A点的正北方向两车从路段AB的一端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地此时C、D到B的距离相等吗？,证明：在BAD和BAC中，,BA=BA，BAD=BAC，AD=AC，,则BADBAC（SAS）,BD=BC，C、D到B的距离相等,6已知：如图，在ABC和ABC中，CD、CD分别是高，并且AC=AC，CD=CD，ACBACB求证：ABCABC,7如图：已知ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是BAC和B1A1C1的角平分线求证：AD=A1D1,8如图，已知：ABCD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，A=C，求证：AE=CF,9如图，ABBC，ADDC，1=2，求证：AB=AD,10如图，C是路段AB