北京理工大学数学专业数学分析Ⅲ试题MTH17042,MTH17169

课程编号MTH17042北京理工大学20142015学年第一学期20141132013级数学专业数学分析阶段测验（一）试题1设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。,UXYZVXYZ3A3A求证，其中和分别表示函数和沿S外法线方向的方SSUDNANVUV向导数。2叙述正项级数敛散性的比较判别法和DALEMBERT比值判别法，并利用前者证明后者。3判断下列级数的敛散性（1）（2）33NN312NN（3）（4）（5）211LN21SII1N12N4设。又设广义极限存在。求证0,ULIMNUL当（含）时，级数收敛；1L1N当（含）时，级数发散。1NU5研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。32SINL6设收敛，其中R0，求证对一切，绝对收敛。1NAR,XR1NAX7设，且有极限。求证数列收敛，且。,0NB1LIM0NNBPNBLIM0NB8设存在，又设绝对收敛。求证。LIMNAA1NB11LIMNKNAA课程编号MTH17042北京理工大学20142015学年第一学期2014112013级数学专业数学分析期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问是否一定收敛为1NA1NB1NAB什么如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛为什么1NA1N1NA（2）设，绝对收敛，又设的N次部分和序列有界，求证LIM0N1NA1NB收敛。1NAB二、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证N,0NAP收敛当且仅当收敛。1NA1PNA三、（15分）设对每一个自然数N，函数在数集E内有定义，NUX（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的CAUCHY准则的严1N格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数NAB,XNNAUXB与均收敛，试利用一致收敛的CAUCHY准则证明函数项级数在数集E1NA1NB1NX内一致收敛。四、（10分）设，求证收敛。2331,1,NKXNX五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明1LNXN（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；1LXNSX（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。1LNXN六、（10分）设。,0,1,2F（1）求证函数序列在中内闭一致收敛；N（2）用两种方法证明在内不一致收敛。FX,七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；12NNX（2）求函数的MACLAURIN级数展开式并确定收敛区间。2LFX八、（10分）设函数在区间I内定义，且，在区间I,NFX1,2NNFX内一致连续；又设时关于X在I内一致收敛于。求证在区F间I内一致连续，且在区间I内等度连续，即，使得NFX0,，只要，就有。,NXINNFXF九、（10分）设函数序列在区间内点态收敛于极限函数，且，NFX,AFXN极限存在；又设当时等度收敛于，即LIMNXFANFXNA，使得当时，都有，求证0,XXXN与都存在，且二者相等。LINXFLINXF（第八题、第九题二题中任选一题）课程编号MTH17169北京理工大学20162017学年第一学期2015级数学与统计学院数学分析期中考题1（20分）讨论下列正项级数的收敛性。（1）；（2）；（3）。2NE21N2211NN2（30分）判断下列级数是否收敛；若收敛，是绝对收敛还是条件收敛（1）；（2）。SI0NPNXXLNPN3（15分）求幂级数的收敛半径和收敛域，并求出和函数的表达式。1NN4（15分）设和都在区间I上有界，并且在I上一致收敛于，FG1,2NFF在I上一致收敛于。证明在I上一致收敛于。NGNFGG5（20分）设，证明21COSNXFX（1）在其定义域内连续；（2）在区间上可导；FF0,2（3）。2075FFXD课程编号MTH17042北京理工大学20142015学年第一学期2014122013级数学专业数学分析第三次阶段练习一、判别敛散性（1）；（2）；（3）。LN220SINL1XD10COSDX二、设单调递减，且，求证收敛当且仅当收敛。NA,NA1NA21NA三、设，求证收敛。3441,1,KXX四、（1）求函数的MACLAURIN级数展开式并确定收敛区间；2LFX（2）求幂级数的收敛域及和函数。211NN五、（1）证明无穷级数收敛，并求其和；2N（2）设，求及的表达式。220XTSFEDFXF六、设对每一个自然数N，函数在数集E内有定义，又设，都有NU3,NXE，求证函数项级数在数111SINLNLNUX1NU集E内一致收敛。七、设收敛，其中为定数，求证（1）幂级数在内绝对1NAR01NAX,R收敛；（2），幂级数在内一致收敛。,C1NAX,CR八、设有广义积分，问取何值时绝对收敛取何值时20SIPIDPIPP条件收敛取何值时发散IPI九、求广义积分的收敛域I，并证明21LNPXJD（1）函数在I内连续；（2）广义积分在I内不一致收敛。PJP十、设，用三种方法计算广义积分。,0ABMA0SINAXBEMXD选作设和在内连续，又设极限存在，且广义积分FXG0,LIXFA绝对收敛，求证。0GXD00LIMTFXGDXAGXD课程编号MTH17042北京理工大学20142015学年第一学期20151262013级数学专业数学分析期末试题B卷一、（每小题7分，共35分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；211NNX（2）设，求；2SIYFDFY（3）将展开成X的幂级数，确定收敛区间，并求的值；2LN43FXX50F（4）求证无穷级数收敛，并求其和。11NN（5）设，其中。求以为周期的FOURIER级数展开式，并求其XFEXF2和函数在内的表达式。0,2二、（10分）设单调递减，且，求证收敛当且仅当收敛。NA,0NA1NA320NA三、（10分）设，求证数列收敛。110,2,PNKPXNX四、（15分）（1）设在内有定义，其中I是一个区间，且FYAYI，关于在内常义可积，用肯定语气叙述广义积分AAYI,A关于在区间I内不满足一致收敛CAUCHY准则的严格含义；,FXD（2）用两种方法计算广义积分（证明计算过程的合理性）。230COSXEDX五、（15分）求广义积分的收敛域I，并证明41LNPJ（1）函数在I内连续；（2）广义积分在I内不一致收敛。JPJ六、（7分）设，又设幂级数的收敛半径为1，其和函数为。,0NA0NAXFX求证成立的充要条件是发散。10LIMXFN七、（8分）设在区域上定义，偏导函数在内存在且,|,XYABYXF有界；又设对每个，极限存在；求证,BLIMYFXG（1）在有界开区间内一致连续；G,（2）时，关于在有界开区间内一致收敛。YFXY,AB提示考虑以下的定理设，在内连续，则时，在内一致NF,ABNNF,AB收敛的充分必要条件是时，在内收敛且在区间内等度连续。N,课程编号MTH17169北京理工大学20162017学年第一学期2015级数学与统计学院数学分析期终考试考题（A卷）1（20分）判断下列无穷级数或广义积分的收敛性。（1）；（2）；（3）；（4）213NN1NN201PDX。L10XDR2（10分）证明当时绝对收敛；当时条件收敛；当SIN1COXPED101P时发散。0P3（12分）（1）设，求；20XTFEDFX（2）设，其中在上连续，求。20,XTDFSF2AFX4（12分）（1）求幂级数的收敛域及其和函数的表达式；01NX（2）求级数的和。11,2NN5（14分）（1）证明关于在内闭一致收敛，但不一致收敛；0COSXD0,1（2）求积分的值。IIXBAEAB6（14分）设以为周期，在上表达式为。F2,02XF（1）求的FOURIER级数；（2）