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第三节幂级数,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛域,三、幂级数的运算,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数。,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或,有和函数,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,1、定义:,二、幂级数及其收敛性,下面着重讨论,的情形,即,2、收敛性,对于幂级数,要解决两个问题：(1)如何求出它的收敛域？(2)如何求出收敛域内的和函数？,从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在x=0处总是收敛的.而对的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,开区间叫做幂级数的收敛区间.,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,收敛域可能是,收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。,幂级数的收敛域？,幂级数的收敛区间，,证明,（1）由比值审敛法,定理证毕.,例1求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,解,缺少奇次幂的项,级数收敛,例2求幂级数,的收敛半径。,级数发散,收敛半径为,另解,前者收敛,后者发散,所以收敛半径为R=1/2,收敛区间为(0.5，0.5),解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,例3求幂级数,的收敛区间.,解：令t=(x1),考虑,即|x1|2,1x2时,原级数发散,在端点处,x=1,x=3,故收敛区间为1,3),另解利用比值判别法,故收敛区间为1,3)，收敛半径为2,三、幂级数的运算,1、代数运算性质,加减法,(其中,（2）乘法,(其中,柯西乘积,（3）除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,2、幂级数的和函数的分析运算性质,即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,解,两边积分得,解,解,设其和函数为s(x)，则,在例5
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