第十二章量子物理基础南京大学出版社习题解答

1第12章量子物理基础2010122419世纪末、二十世纪初，为克服经典物理在解释一系列物理实验（如黑体辐射、光电效应、康普顿散射等）时所遇到的巨大困难，人们创立了量子理论，量子理论与相对论理论一起共同构成了现代物理学的两大理论支柱。本章介绍量子理论基础。主要内容有普朗克能量子假设；爱因斯坦光量子假设和光电效应方程；光子和自由电子互相作用的康普顿效应；氢原子的玻尔理论；德布罗意物质波假设；不确定关系；量子力学关于氢原子的主要结果；薛定谔方程以及薛定谔方程用于求解一维势阱和势垒问题等。121黑体辐射普朗克量子假设1211热辐射黑体任何物体在任何温度下都向外发射各种波长电磁波的性质称为热辐射。实验表明热辐射具有连续的辐射能谱,辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度，温度越高,光谱中与能量最大的辐射所对应的波长越短,辐射的总能量越大。温度为T时，从物体表面单位面积上在单位波长间隔内所发射的功率称为单色辐出本领，用M（T）表示，单位是瓦/米2（W/M2）。温度为T时，物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射功率，称为物体的总辐射本领，用M（T）式表示，单位为WM2。一定温度下时，物体的辐出度和单色辐出度的关系为（1211）0D任何物体在任何温度下都发射热辐射，也吸收热辐射。不同物体发射或吸收热辐射的本领往往是不同的。1860年基尔霍夫研究指出，热辐射吸收本领大的物体，发射热辐射的本领也大。白色表面吸收热辐射的能力小,在同温度下它发出热辐射的本领也小表面越黑,吸收热辐射的能力就越大,在同温度下它发出热辐射的本领也越大。能完全吸收射到它上面的热辐射的物体叫做绝对黑体（简称黑体）。黑体辐射热辐射的本领最大，研究黑体辐射的规律具有重要的理论意义。绝对黑体是理想模型，自然界中绝对黑体是不存在的，但存在着近似的绝对黑体。如不透明的空腔壁上开有一个小孔，小孔表面可以近似当作黑体。这是因为射入小孔的电磁辐射，要被腔壁多次反射，每反射一次，空腔的内壁将吸收部分辐射能。经过多次的反射，进入小孔的辐射几乎完全被腔壁吸收，由小孔穿出的辐射能可以略去不计则，故小孔可认为是近似的绝对黑体。此外，当空腔处于某确定的温度时，有电磁辐射从小孔发射出来，相当于从面积等于小孔面积的温度为T的绝对黑体表面射出。图121空腔的小孔表面是近似的绝对黑体2问题121白天，从远处看建筑物的窗户是黑暗的，这是为什么问题122把一块表面一半涂了煤烟的白瓷砖放到火炉内烧，高温下瓷砖的哪一半显得更亮些1212黑体辐射的实验规律黑体辐射实验的M，T曲线如图152所示。根据实验结果可总结出黑体辐射的两条实验规律。图122黑体辐射的实验曲线首先对于给定温度的黑体，总辐射本领与温度的四次方成正比，即（1214MT2）其中567108WM2K4）为斯特藩玻尔兹曼常数，此为斯特藩玻尔兹曼定律。其次黑体单色辐出度M，T最大值对应的波长M与黑体温度成反比，即（121BT3）式中B2898103MK。（1213）式表明，当黑体的温度升高时，曲线上与单色,MT辐出度的峰值相对应的波长向短波方向移动，此规律称为维恩位移定律。M热辐射的规律在现代科学技术上具有广泛的应用，是高温测量、遥感、红外追综等技术的物理基础。问题123铁块在炉中加热，当升高到一定温度后，可以看到铁块的颜色随着温度的升高而变化。请说明原因。问题124人体也向外发出热辐射,为什么在黑暗中还是看不到人呢问题125将地球和太阳视为黑体，假设地球处于热辐射平衡状态，平均温度为285K，试据此估算太阳的温度。已知太阳半径、地球半径和日地距离分别是，866910M,3710SER。14960MD例121实验测得太阳辐射波谱的M490NM，若把太阳视为黑体，试计算太阳每单位表面上所发射的功率。3解根据维恩位移定律MTB得，K109548233又根据斯特藩玻尔兹曼定律可求出总辐出度，即单位表面上的发射功率83472567106W/MM1213经典物理学的困难和普朗克量子假设黑体辐射实验规律的理论解释是一个涉及热力学、统计物理学和电磁学的重大理论问题，在19世纪末吸引了许多物理学家的注意，其中最有代表意义的研究结果是维恩、瑞利和金斯的工作。1896年，维恩把辐射体上分子或原子看作线性谐振子，其辐射能谱分布类似于麦克斯韦速率分布，得到的黑体热辐射公式在波长较短处与实验结果符合得很好，但在波长很长处与实验结果相差较大。1900年，瑞利和金斯把统计物理中的能量按自由度均分定理用到电磁辐射上来，假设每个线性谐振子的平均能量都为KT，得到的黑体热辐射公式在波长很长处与实验结果比较接近，但在波长趋向零时得到辐射能趋向无穷大，这是荒谬的。经典物理学在解释黑体辐射上的这个结果被科学界称为“紫外灾难”。1900年，普朗克运用插值方法提出了一个与实验结果符合得很好的热辐射经验公式（1214）25/,E1HCKTM式中为光速，为一普适常量，称为普朗克常数。（124）式叫做普朗克C346210JHS公式。由普朗克公式可推导出维恩位移定律和斯特藩玻尔兹曼定律。为了从理论上解释黑体辐射的实验规律，普朗克提出了能量子假设辐射黑体表面带电粒子的振动可视作谐振子，谐振子可以发射和吸收辐射能，但是这些振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中。对于频率为的谐振子来说，谐振子的最小能量（称为能量子）为（1215）H0谐振子的能量是最小能量的整数倍，即谐振子的能量为（1216）0N其中N0,1,2,3是整数，称为量子数,这是物理学史上首次提出量子的概念。普朗克根据能量子假设成功地导出了与黑体辐射实验结果相符合的普朗克公式。能量子假设与经典物理学的概念是格格不入的，普朗克本人曾长期致力于用经典物理学来解释量子的概念，试图回到经典理论中，但都没有成功，直到1911年，他才真正认识到量子化是根本不可能从由经典理论导出的，量子化具有的全新的和基础性的重要意义。问题127（1）在波长很短或温度较低的条件下，由普朗克公式可导出维恩公式25,EKCTMH（2）在波长很长或温度很高的条件下，由普朗克公式可导出瑞利金斯公式4,试推导之。4例122一质量为20G的物体与一无质量的弹簧组成弹簧振子，弹簧的劲度系数为025N/M。将弹簧拉伸4CM后自由释放。1用经典方法计算弹簧振子的总能量和振动频率；2一个能量子具有的能量是多少3假设弹簧振子能量是量子化的，振子的量子数N是多少解1弹簧振子的总能量为J102450214KAE弹簧振子的频率为H63ZM2一个能量子的能量为J10751063440H3由ENH，振子的量子数为29342EN能量为20104J的振子有541029个能量状态，相邻两个状态的能量差是371024J，所以振子的能量几乎是连续的。这表明宏观物体的量子化特性通常显示不出来。例123设有一音叉尖端的质量为0050KG，将其频率调为480HZ，振幅A10MM。求（1）尖端振动的量子数；（2）当量子数由N增加到N1时，振幅的变化是多少解（1）尖端振动的能量为22107EMAJ量子数为29730NH音叉振动的量子数是非常大的。（2）因为，ENH21MA所以有2NH取微分有2ADM取，得ADNN代入数据得。如此微小的变化是难以觉察到的，表明宏观范围内，能量量子化效应是极不34107明显的，宏观物体的能量可认为是连续的。5122光电效应光子1221光电效应的实验规律光照射在金属表面上时有电子从金属中逸出的现象称为光电效应。研究光电效应的实验装置如图152所示。在一个抽空的玻璃泡内装有金属电极阴极（K）和阳极（A），用适当频率的光从石英窗口射入，照在阴极K上时，便有电子自其表面逸出,逸出的电子称为光电子。光电子经电场加速后为阳极A所收集，形成光电流。实验表明，对于一定的金属阴极，当照射光的频率V小于某个最小值V0时，不管光强多大，照射时间多长，都没有光电流，即阴极K不释放光电子，这个最小频率V0称为该金属的光电效应截止效率，也叫做红限，红限也常用对应的波长0表示。红限决定于阴极材料的性质，与光强无关，多数金属的红限在紫外区，见表121。表121几种金属的逸出功和红限金属铯CS钾K钠NA锌ZN钨W银AG逸出功/EV194225229338454463红限V0/1014HZ46954455380610951119红限0/NM639551541372273267实验表明，保持光照射不变的情况下，改变电压UAK，发现当UAK0时，仍有光电流，表明光电子逸出时具有一定的初动能。如何测量光电子的初动能呢改变电压极性，使UAK1的定态称为氢原子的激发态。根据玻尔氢原子理论的第二条假设和式1544可以求得里德伯常数的理论值为47H23090/M8MERHC与实验值相当符合。实际上,如进一步考虑到原子中电子与原子核绕质心运动,可得,与实验值符合地更好。7H109651/R玻尔氢原子理论成功地解释了氢原子的光谱实验规律，但是其缺陷也是明显的。一是其理论是在经典物理的基础上生硬地加上几条假设，并不是一个自洽的理论；二是它存在着局限性，只能计算氢原子和类氢原子的光谱线，对其它复杂的原子就无能为力了。这些问题的解决是通过量子力学理论的建立和完善实现的。1243弗兰克赫兹实验1912年玻尔发表了氢原子理论，1919年弗兰克（JFRANK，18821964，德国）和赫兹（GLHERTZ，18871975，德国）用实验证实了原子能级。如图玻璃管B内为低压水银蒸汽，电子从加热的灯丝F发射出来，在加速电压U0下被加速，在栅极G和P之间有一个小的反向电压UR05V，电子到达P后，可在电路中观察到板极电流IP。实验结果如图所示，电流是有峰极的。设汞原子基态能量为E1，第一激发态能量为E2，EK为加速电子的动能。若EK和E，这时为实数，R0,说明，即使粒子总能量大于势垒高度，002PMEK也不能说入射粒子一定越过势垒全部进入区，或者说，虽然粒子总能量E大于势垒高度，0P粒子由I区入射，仍有一定概率被反射回I区。这与经典力学是不同的。图1285从左方射入的粒子，在各区域内的波函数312EEP0和EEP0两种情况讨论，对于粒子通过一维势垒的运动，经典力学与量子力学的描述有那些不同1283221313E6KARK32122113EKATK32129氢原子的量子理论简介1291能量量子化和角动量量子化氢原子中的电子在原子核的电场中运动，若以原子核为坐标原点，以无穷远为势能零点，该电子具有的势能为（1291）204EVR将此式代入定态薛定谔方程得（1292）22220MERERXYZ下面介绍求解该方程得到的关于氢原子量子化的一些特性。1能量量子化氢原子中电子的总能量为N1，2，（1293）42018NMEEH称作主量子数。这表明氢原子的能量是量子化的，且量子力学的结果与玻尔的氢原子理N论结果一致。2角动量量子化求解薛定谔方程得到的电子绕核运动的角动量也是量子化的,其大小为LL0，1，2，N1（1294）LLL称作角量子数。在量子力学中，轨道的概念已失去意义，而且也不需要轨道的概念。这是量子力学与玻尔理论的本质区别。不过在有些书上仍将称为轨道角动量，这是为了区别于自旋角动量，而沿袭使用了经典力学中的名词而已。图1291角动量空间量子化333角动量空间量子化选某特定方向为Z轴（实验时取外磁场方向），电子角动量在该方向的分量为LML0，1，2，L（1295）ZLLML称作磁量子数,只有种可能值。这说明电子角动量的取向也是量子化的，此即角动量21L的空间量子化。图1591给出、和的电子角动量空间取向量子化的示意图。2L3注与玻尔理论比较，在量子力学中，所有的量子化条件都是在求解薛定谔方程时，要求波函数必须满足单值、有限、连续条件的自然结果，而不需要作人为规定。例1212求量子数L1时，角动量与Z轴夹角的可能值。L解1L2，ML0，1ZLCOSLZ/L0，/所以，角动量与Z轴的可能夹角为/4，/2，3/4（图1517。L1292电子自旋自旋角动量量子化1925年，乌伦贝克和古密斯特为了解释碱金属原子光谱线的精细结构，提出了电子存在着一种固有的自旋运动，相应地具有自旋角动量。S1自旋角动量量子化的值为S（1296）1SS称为自旋量子数，它只能取一个值,12，故自旋角动量的值为。SS12342自旋角动量空间量子化自旋角动量在某特定方向如轴Z上的分量也是量子化的S（1297）ZSSM12S式中称为自旋磁量子数。这说明自旋角动量在特定方向的分量只能取两种值SM（1298）12Z自旋是一个很重要的概念，一切微观粒子都具有各自的自旋。电子的自旋运动是电子的重要特征,与电子的内部结构有关。自旋的系统理论属于相对论量子力学范围。不要把“自旋”想像成宏观物体的“自转”，因为微观物体的运动与宏观物体的运动并不相同，简单的类比会导致错误的概念。341210原子的电子壳层结构12101四个量子数量子力学对氢原子中电子状态的描述用四个量子数N、L、ML、MS来描述，这也适用于多电子原子。主量子数。它决定原子中电子的能量的主要部分。N1,23角量子数。它决定电子绕核运动的角动量。一般地说，处于同一主量L0N子数而不同角量子数的状态中的电子，较小者能级较低。LL量子数ML0，1，2，L。它决定电子绕核运动角动量的空间取向及其分量。自旋磁量子数。它决定电子自旋角动量的空间取向及其分量。S12102壳层分布模型1916年柯塞尔建立了形象化的壳层分布模型。主量子数N相同的电子组成一个主壳层。对应于N1，2，3，4，5，6，7的壳层分别用大写字母K，L，M，N，O，P，Q来命名。N相同及角量子数也相同的电子组成支壳层，对应于L0，1，2，3，4，5，6等状态的支壳层分别用L小写字母S，P，D，F，G，H，I来命名。若则说明K主壳层只有一个S支壳层。1,0,L若则，说明L主壳层具有S和P两个支壳层。2N若则，说明M主壳层具有S，P，D三个支壳层。依次类推。3,L12103电子在原子中分布的基本规律电子在原子中的分布遵从两个原理。一泡利不相容原理在同一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态。也就是说，原子中任何两个电子的量子数不可能完全相同。泡利不相容原理不,LSNM局限于原子体系，是量子力学的基本原理。由该原理可推出在每个支壳层中从而每个主壳层中能容纳的电子数。1在一个支壳层中可容纳的电子数在主量子数为N、角量子数为L支壳层上，由于ML的取值是ML0，1，2，N1，有2L1个不同的取值。当取定时,又有两种可能取值。LS因此在同一支壳层中可容纳的电子数为1LN2在一个主壳层中可容纳的电子数对应于主量子数为N，角量子数L可取0，1，2，,有N种可能值。于是在的主量子数为N的主壳层上可容纳的电子数为,135120122NLNN二能量最小原理原子系统处于正常状态时，原子中电子尽可能地占据未被填充的最低能级。需要注意，原子中的电子能级不但与主量子数N有关，而且与角量子数L有关。我国科学家徐光宪总结出这样的规律，对于原子的外层电子而言，能量高低以（N07L）来确定，该值越大，能级越高。例如，4S和3D比较，（4070）4（3072）44，所以先填4S。总的说来，原子中电子的填充次序是1S，2S，2P，3S，3P，4S，3D，4P，5S，4D，5P，6S，4F，5D，6P，7S，5F，6D问题1223给出核电荷数为Z33的砷原子的电子填充式。问题1224试确定处于基态的氦原子中两个电子的量子数。36习题121太阳可看作是半径为的球形黑体，试计算太阳表面的温度。太阳光直射到地球表面上单位M1078面积的的辐射功率为，地球与太阳的距离为。（斯特藩常数324W/150MD4）8256710/K122已知地球到太阳的距离，太阳的直径为，太阳表面的温度为，8150KD639KD60KT若将太阳看作绝对黑体，求向地球表面受阳光垂直照射时，每平方米的面积上每秒钟得到的辐射能为多少（斯特藩常数4）8245670/M123在加热黑体的过程中，其单色辐出度的最大值所对应的波长由变化到，其总辐射出射度069M50增加了几倍124从铝中移出一个电子需要的能量，今有波长为2000的光投射到铝表面，试问1从铝表面42EV发射出来的光电子的最大动能是多少2遏止电势差为多大3铝的红限频率为多大125用波长为4000的紫光照射金属，产生光电子的最大初速度为，则光电子的最大初动能510/S是多少该金属红限频率为多少126钾的截止频率为4621014HZ，今以波长为4348的光照射，求钾放出光电子的最大初速度。127在康普顿效应中，入射光子的波长为30103NM，反冲电子的速度为06CC为光速，求散射光子的波长和散射角。128一个静止电子与一能量为的光子碰撞后,它能获得的最大动能是多少2401EV129入射的X射线光子的能量为060MEV，被自由电子散射后波长变化了20，求反冲电子的动能。1210一束带电粒子经206V的电势差加速后，测得其德布罗意波长为，已知这带电粒子所带电210量与电子的电量相等，求这粒子的质量。1211已知粒子的静质量为，求速率为5000KM/S的粒子的德布罗意波波长。276810KG1212求温度为27时，对应于方均根速率的氧气分子的德布罗意波波长。1213铀核的线度为，估算其中一个质子的动量和速度的不确定量。1572M1214试证明自由粒子的不确定关系可写成,式中为自由粒子的德布罗意波长。24X1215如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长,证明此粒子速度的不确定量。41216设有一电子在宽为020NM的一维无限深势阱中运动。计算1电子在最低能级的能量；2电子处于第一激发态时，在势阱中何处出现的概率最小，其值是多少1217在线度为的细胞中有许多质量为的生物粒子，若将生物粒子作为微510M170KGM观粒子处理，试估算该粒子的N100和N101的能级和能级差各是多大（将粒子视为在一维无限深势阱中运动）。1218一电子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动。（1）欲使电子从基态跃迁到第一激10发态，需给它多少能量（2）在基态时，电子处于与之间的概率为多09X102MX37少（3）在第一激发态时，电子处于与之间的概率为多少10X1025M1219根据玻尔氢原子理论，计算氢原子基态的轨道半径值。1220以动能为的电子通过碰撞使氢原子激发，氢原子最高能激发到哪一能级当回到基态时，能产EV512生哪些谱线（）7H09/MR1221试计算氢原子巴尔末系的长波极限波长和短波极限波长。（H21RNMAXMIN）7H1/1222求量子数L2时，角动量与Z轴的最小夹角和最大夹角。L1223求出能够占据一个D分壳层的最大电子数，并写出这些电子的ML、MS值。38第12章量子物理基础习题解答121太阳可看作是半径为的球形黑体，试计算太阳表面的温度。太阳光直射到地球表面上单位M1078面积的的辐射功率为，地球与太阳的距离为。（斯特藩常数324W/150MD4）8256710/K解已知，。太阳辐射的总功率，假设辐射没32/P8SR12S4ER有能量损失，则分布在的球面上，4D有22S04EPD运用斯特藩玻耳兹曼定律，得T131/4/21/4885050K76SR122已知地球到太阳的距离，太阳的直径为，太阳表面的温度为，815KMD9KMD6T若将太阳看作绝对黑体，求地球表面受阳光垂直照射时，每平方米的面积上每秒钟得到的辐射能为多少（斯特藩常数4）82456710W/K解根据斯特藩玻耳兹曼定律和能量守恒方程，得ET204EPD92428230130567W/M1580DPD2/123在加热黑体的过程中，其单色辐出度的最大值所对应的波长由变化到，其总辐射出射度69增加了几倍解由维恩位移定律和斯特藩玻耳兹曼定律得MTB4TE（倍），即增加了263倍444211206935E124从铝中移出一个电子需要的能量，今有波长为2000的光投射到铝表面，试问1从铝表面EV发射出来的光电子的最大动能是多少2遏止电势差为多大3铝的红限频率为多大解（1）由得2MHW34821919M106260J320JC（2）2MAEUMVAUE（3）由0WH19153460HZ20Z39125用波长为4000的紫光照射金属，产生光电子的最大初速度为，则光电子的最大初动能510M/S是多少该金属红限频率为多少解光电子的最大初动能为235219M1914JKE将光电效应的爱因斯坦方程改写成，则得该金属红限频率为0CH819140134305780HZ462K126钾的截止频率为4621014HZ，今以波长为4348的光照射，求钾放出光电子的最大初速度。解将光电效应的爱因斯坦方程改写成，则得光电子的最大初速度M0CHH123481/245M01106670M/S90HCV127在康普顿效应中，入射光子的波长为30103NM，反冲电子的速度为06CC为光速，求散射光子的波长和散射角。解根据康普顿效应中的能量守恒关系式220CHM22200014MCCHHC3412121203412384635N9M根据康普顿效应公式（），得散射光子的散射角为0CCOS12C01046128一个静止电子与一能量为的光子碰撞后,它能获得的最大动能是多少24EV解当光子与电子发生正磁而折回即散射角时,能量损失最大,光子的波长变为0820C0C1SIN2能量变为00CCC0HHH电子的最大动能为000C0C1122EHEH4031918123194840162060J4306026129入射的X射线光子的能量为060ME，被自由电子散射后波长变化了20，求反冲电子的动能。解由光子能量公式可知，光子散射后能量减少，波长增大为CH01根据能量守恒，反冲电子获得的动能等于光子损失的能量，即KE0000216MEV1KHC1210一带电粒子经206V的电势差加速后，测得其德布罗意波长为，已知这带电粒子所带电量与电子的电量相等，求这粒子的质量。解因加速电压较低，不必考虑相对论效应。设加速电压为U，则带电粒子的动能为2KPEEM其德布罗意波长为KH得粒子的质量为234227219160KG610KGHMEU1211已知粒子的静质量为，求速率为5000KM/S的粒子的德布罗意波波长。278KG解由于粒子的运动速率，故有，所以速率为5000KM/S的粒子的德布罗意波波长为C0M34527601910NM685HP1212求温度为27时，对应于方均根速率的氧气分子的德布罗意波波长。解理想气体分子的方均根速率。对应于方均根速率的氧气分子的德布罗意波波长为2MOLRTM23342A2OL6010M581N38NHHP1213铀核的线度为，估算其中一个质子的动量和速度的不确定量。1570解对质子来说，其位置的不确定量，根据不确定关系15720R/2RP3421159KGMSP412167904M/S6PM1214试证明自由粒子的不确定关系可写成,式中为自由粒子的德布罗意波长。2X证明根据德布罗意波长，有HPH两边微分取绝对值有2P代入不确定关系24XP4X1215如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长,证明此粒子速度的不确定量。4证明由题意可知X德布罗意波长HPM且不确定关系24X由上述各式HM1216设有一电子在宽为020NM的一维无限深势阱中运动。计算1电子在最低能级的能量；2电子处于第一激发态时，在势阱中何处出现的概率最小，其值是多少解（1）23421811960J50J89HEA（2）在一维无限深势阱中运动的粒子波函数SIN,23NXXXA第一激发态对应,波