2020届南京市第29中学高三年级4月月考数学试题含答案

2020届南京市第29中学高三年级4月月考数学试题含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】根据交集定义计算【详解】由题意故答案为：【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题2.设复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数_【答案】【解析】由，得，故答案为.3.根据如图所示的伪代码，当输出y的值为1时，则输入的x的值为_【答案】1【解析】【分析】根据图中给出的程序，将问题转化为已知分段函数的函数值求出自变量的取值即可【详解】由题意得，当时，有，此方程无解；当时，有，解得故答案为1【点睛】解答本题的关键是读懂程序的功能，然后将问题转化为已知函数值求自变量取值的问题求解，属于基础题4.已知一组数据，的方差为3，若数据，的方差为12，则的值为_.【答案】2【解析】【分析】由新数据与原数据方差之间的关系求解【详解】由题意，故答案为：2【点睛】本题考查方差，考查线性变化后新数据与原数据间方差的关系若数据的方差为，则新数据的方差为5.在区间(1，3)内任取1个数x，则满足的概率是_【答案】【解析】【分析】解对数不等式求出中的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案【详解】由得，解得根据几何概型概率公式可得，所求概率为故答案为【点睛】本题考查长度型的几何概型概率的求法，解题的关键是读懂题意，然后根据线段的长度比得到所求的概率，属于基础题6.若双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为 【答案】【解析】试题分析：由题意得，因此双曲线的虚轴长为考点：双曲线性质7.函数的部分图象如图所示，则_.【答案】【解析】【分析】由图象求出函数解析式后再求值【详解】由题意，又，故答案为：【点睛】本题考查由函数图象求三角函数解析式，掌握“五点法”是解题关键8.若正六棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为_.【答案】【解析】【分析】由侧面积得斜高，然后计算出高，再由体积公式得体积【详解】设正六棱锥斜高为，则，底面正六边形中心到边的距离为，正六棱锥的高为，底面积为，体积为故答案为：【点睛】本题考查求正棱锥的体积，解题关键是掌握正棱锥的性质正棱锥中几个直角三角形，特别是两个直角三角形：高、侧棱、侧棱在底面上的射影构成一个直角三角形，高、斜高、斜高在底面上的射影构成一个直角三角形，这两个直角三角形集中了正棱锥的所有几何量.9.已知函数f(x)x32x，若f(1)f0(a0且a1)，则实数a的取值范围是_【答案】(0,1)(3，)【解析】试题分析：因为，所以为R上单调递增奇函数，因此由得，即当时当时，成立，即实数的取值范围是考点：利用函数性质解不等式10.已知数列为正项的递增等比数列，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_【答案】6【解析】【分析】设等比数列an的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q1由a1+a5=82，a2a4=81=a1a5，a1，a5，是一元二次方程x282x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an利用等比数列的求和公式可得数列的前n项和为Tn代入不等式2019|Tn1|1，化简即可得出【详解】数列为正项的递增等比数列，a2a4=81=a1a5，即解得，则公比，则 ，即，得，此时正整数的最大值为6.故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.如图，已知的边的垂直平分线交于点，交于点.若，则的值为 .【答案】-16【解析】【详解】试题分析：考点：向量数量积12.若实数，满足，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设，则，由此结合基本不等式可得最值【详解】设，则，时，时，而，当且仅当，即时等号成立，即最大值为故答案为：【点睛】本题考查由基本不等式求最值，解题关键是代数式的变形，即设，从而得出可用基本不等式的形式13.在平面直角坐标系中，已知点，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，.设线段的中点为，则线段长的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出直线方程，设，在直线上，得一等式，再求出直线方程，直线方程，三者结合消去可得的轨迹方程，然后由数形结合即可求得的取值范围【详解】由题意直线方程为，设，则，以为直径的圆的方程是，联立，相减可得直线方程是，线段的中点为，直线的方程是：，由消去得点的轨迹方程是，圆心为，半径为又，的最大值为，最小值为，即的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是求出点的轨迹方程，然后由点与圆的位置关系求出圆上点到定点距离的取值范围14.在平面四边形中，已知，则四边形的面积为_.【答案】4【解析】【分析】用余弦定理通过求得，然后再用表示出四边形的面积，整理后两式平方相加，正好构造出，从而求得面积【详解】由余弦定理得：，同理，即，四边形面积记为，则，即，两式求平方和得：，由，解得故答案为：4【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，考查两角和的余弦公式，解题关键是用余弦定理建立的关系，用面积把联系在一起，从而凑配出，求得面积二、解答题（本大题共6小题，共计90分.请在答纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若，求证：平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接，根据线面平行的性质定理可知，又为中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知，正方形可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据线面垂直性质可知，根据等腰三角形三线合一可知，根据线面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点 为的中点（2）在四棱锥中，四边形是正方形 为中点 又底面，底面 而四边形是正方形 平面， 平面又平面 平面，平面【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.16.已知函数.（1）求函数 图象的对称中心；（2）在中，若为锐角三角形且 ，求 的取值范围.【答案】(1) ,(2)（ ，2）.【解析】试题分析：（1）先由两角和差公式化一 ,(2) 由得到角A，最终得到要求结果. (1) 解得 ，故对称中心为（，1）（2）由 解得所以，又为锐角三角形，故 所以 取值范围是 （ ，2）.17.如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路，且和交于点.为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路.景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为，半径为2百米的圆，且公路与圆相切，圆心到，的距离均为5百米，设，长为百米.（1）求关于的函数解析式；（2）当为何值时，公路的长度最短？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，写出直线方程，由直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于圆半径，可求得关于的函数；（2）令，换元后，由导数知识可求得最值【详解】解（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在直角中，所以直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，因为点在直线的上方，所以，解得.因此，关于的函数解析式为，.（2）令，则，且，所以，因为.所以在上单调递减，所以，当，即时，取得最小值，此时.【点睛】本题考查函数应用题，解题关键是建立平面直角坐标系，解题方法是利用解析法求得函数关系式，利用换元法简化函数，利用导数求得最值18.如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：，点F（1，0），E是圆C上一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D（） 求点B的轨迹方程；（） 当D位于轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；（） 若G是圆上另一个动点，且满足FGFE记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由【答案】（1）1（2）x2y40（3）【解析】【详解】(1)由已知，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，所以点的轨迹方程为； 当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，所以，且，所以的坐标分别为和， 因为是线段的垂直平分线，所以直线的方程为，即直线的方程为 设点的坐标分别为和，则点的坐标为，因为点均在圆上，且，所以 所以，所以，即点到坐标原点的距离为定值，且定值为19.设函数f(x)xexasinxcosx(aR，其中e是自然对数的底数)(1) 当a0时，求f(x)的极值；(2) 若对于任意的x，f(x)0恒成立，求a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）极小值为f(1)，无极大值（2）(，1（3）不存在【解析】解：(1) 当a0时，f(x)xex，f(x)ex(x1)，令f(x)0，得x1列表如下：x(，1)1(1，)f(x)0f(x) 极小值 所以函数f(x)的极小值为f(1)，无极大值(2) 当a0时，由于对于任意x，有sinxcosx0，所以f(x)0恒成立，当a0时，符合题意； 当0a1时，因为f(x)ex(x1)acos2xe0(01)acos01a0，所以函数f(x)在上为增函数，所以f(x)f(0)0，即当0a1时，符合题意； 当a1时，f(0)1a0，fe0，所以，存在，使得f()0，且在(0，)内，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为减函数，所以f(x)f(0)0，即当a1时，不符合题意综上所述，a的取值范围是(，1(3) 不存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点由(2)知，当a1时，f(x)在上是增函数，且f(0)0，故函数f(x)在区间上无零点当a1时，f(x)ex(x1)acos2x.令g(x)ex(x1)acos2x，则g(x)ex(x2)2asin2x，当x时，恒有g(x)0，所以g(x)在上是增函数由g(0)1a0，gea0，故g(x)在上存在唯一的零点x0，即方程f(x)0在上存在唯一解x0.且当x(0，x0)时，f(x)0；当x时，f(x)0，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在上单调递增当x(0，x0)时，f(x)f(0)0，即f(x)在(0，x0)上无零点；当x时，由于f(x0)f(0)0，fe0，所以f(x)在上有唯一零点所以，当a1时，f(x)在上有一个零点综上所述，不存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点20.设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列（1）设，若对均成立，求d取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）【答案】（1）d的取值范围为（2）d的取值范围为，证明见解析【解析】分析：（1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差d的取值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范围.详解：解：（1）由条件知：因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得因此，d的取值范围为（2）由条件知：若存在d，使得（n=2，3，m+1）成立，即，即当时，d满足因为，则，从而，对均成立因此，取d=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当x0时，所以单调递减，从而f（0）=1当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，d的取值范围为点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.附加题21.已知矩阵，.若矩阵满足，求矩阵的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值，相应的特征向量；特征值，相应的特征向量【解析】【分析】设，由矩阵乘法法则求得矩阵，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量【详解】解：设，由，即，得，解得，所以.设，令，得，特征向量为，当时，取；当时，取.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础22.已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点，倾斜角为求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；设直线l与曲线C交于AB两点，求【答案】（1），（2）.【解析】分析：曲线C的极坐标方程为，得，利用代入即可得出由直线l过点，倾斜角为，可得参数方程把直线l代入圆的直角坐标方程，得，化简后利用韦达定理可求，的值，由即可求值得解详解：对于C：由，得，对于l：有设A，B两点对应的参数分别为，将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程，得，化简得，点睛：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题23.如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进