2016届陕西省西安一中高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2016年陕西省西安一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1已知集合M=x|（x+2）（x2）0，N=x|x10，则MN=（）Ax|2x1Bx|2x1Cx|2x1Dx|x22设i是虚数单位，则复数（1i）（1+2i）=（）A3+3iB1+3iC3+iD1+i3已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）=2x21，则f（1）的值为（）A1B1C2D24已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为（）AB2CD5如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）ABCD6在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2cos2的值等于（）A1BCD7已知向量=（cos，2），=（sin，1），且，则tan（）等于（）A3B3CD8下面命题中假命题是（）AxR，3x0B，R，使sin（+）=sin+sinCmR，使是幂函数，且在（0，+）上单调递增D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”9执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A1023B512C511D25510已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）ABC3D611一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A29B30CD21612若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1x2，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A3B4C5D6二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=14已知p：2x11，q：13mx3+m（m0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为15如图，菱形ABCD的边长为1，ABC=60，E、F分别为AD、CD的中点，则=16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，ABC的面积为S=c，则ab的最小值为三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=lnan，n=1，2，求数列bn的前n项和Tn18某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量11.52频数102515频率0.2ab（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， 求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率； 已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望19如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，ABBC，DFAB于F（）求证：平面ABD平面DEF（）若ADDC，AC=4，BAC=60，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值20已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2x轴，（）求椭圆的方程；（）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求ABO（O为坐标原点）面积的最大值21已知aR，函数f（x）=xln（x）+（a1）x（）若f（x）在x=e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在区间e2，e1上的最大值g（a）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22已知四边形ABCD内接于O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切O于F（）求证：EB=2ED；（）若AB=2，CD=5，求EF的长23在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin2=4cos，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点（）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（）若P（2，4），求|PM|+|PN|的值24设函数f（x）=|x4|+|xa|（a1），且f（x）的最小值为3（1）求a的值；（2）若f（x）5，求满足条件的x的集合2016年陕西省西安一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1已知集合M=x|（x+2）（x2）0，N=x|x10，则MN=（）Ax|2x1Bx|2x1Cx|2x1Dx|x2【考点】交集及其运算【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中不等式解得：2x2，即M=x|2x2，由N中不等式变形得：x1，即N=x|x1，则MN=x|2x1，故选：A2设i是虚数单位，则复数（1i）（1+2i）=（）A3+3iB1+3iC3+iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可【解答】解：复数（1i）（1+2i）=1+2i+2i=3+i故选：C3已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）=2x21，则f（1）的值为（）A1B1C2D2【考点】函数奇偶性的性质【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）=2x21，则f（1）=f（1）=（2121）=1故选：B4已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设M在双曲线=1的左支上，由题意可得M的坐标为（2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值【解答】解：设M在双曲线=1的左支上，且MA=AB=2a，MAB=120，则M的坐标为（2a， a），代入双曲线方程可得，=1，可得a=b，c=a，即有e=故选：D5如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为故选：C6在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2cos2的值等于（）A1BCD【考点】三角形中的几何计算【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cossin）2的值，判断出cossin 求得cossin的值，然后求得2cossin利用配方法求得（cos+sin）2的进而求得cos+sin，利用平方差公式把sin2cos2展开后，把cos+sin和cossin的值代入即可求得答案【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos，短直角边为sin，小正方形的边长为cossin，小正方形的面积是，（cossin）2=又为直角三角形中较小的锐角，cossin cossin=又（cossin）2=12sincos=2cossin=1+2sincos=即（cos+sin）2=cos+sin=sin2cos2=（cos+sin）（sincos）=故选：B7已知向量=（cos，2），=（sin，1），且，则tan（）等于（）A3B3CD【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cos，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果【解答】解：，cos+2sin=0，tan=，tan（）=3，故选B8下面命题中假命题是（）AxR，3x0B，R，使sin（+）=sin+sinCmR，使是幂函数，且在（0，+）上单调递增D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”【考点】命题的否定；命题的真假判断与应用【分析】根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断【解答】解：A根据指数函数的性质可知，xR，3x0，A正确B当=0时，满足sin（+）=sin+sin=0，B正确C当m=1时，幂函数为f（x）=x3，且在（0，+）上单调递增，C正确D命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”，D错误故选：D9执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A1023B512C511D255【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S=2+21+22+23+28=291=511故选：C10已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）ABC3D6【考点】抛物线的简单性质【分析】考查抛物线的图象，利用抛物线的定义以及=3，求解即可【解答】解：如下图所示，抛物线C：B的焦点为（3，0），准线为A，准线与C轴的交点为AB，P过点f（x）=|x+1|+|x1|作准线的垂线，垂足为f（x）4，由抛物线的定义知M又因为M，所以，a，bM所以，2|a+b|4+ab|，所以，故选：B11一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A29B30CD216【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：该三棱锥的外接球的表面积为：，故选A12若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1x2，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A3B4C5D6【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断【分析】求导数f（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x）2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3【考点】二项式定理的应用【分析】给展开式中的x分别赋值1，1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+a5=f（1）=16（a+1），令x=1，则a0a1+a2a5=f（1）=0得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以232=16（a+1），所以a=3故答案为：314已知p：2x11，q：13mx3+m（m0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为8，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】将条件p是q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解【解答】解：因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即pq，但q推不出p，即，即，所以m8故答案为：8，+）15如图，菱形ABCD的边长为1，ABC=60，E、F分别为AD、CD的中点，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】把要求的式子化为（）（），再利用两个向量的数量积的定义可得要求的式子等于 11cos60+ 11cos60，运算求得结果【解答】解： =（）（）=+=11cos60+11cos60=+=，故答案为 16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，ABC的面积为S=c，则ab的最小值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=，C=根据ABC的面积为S=absinC=ab=c，求得c=3ab再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的最小值【解答】解：在ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面积为S=absinC=ab=c，c=3ab再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当a=b时，取等号，ab，故答案为：三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=lnan，n=1，2，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（I）设an是公比q大于1的等比数列，由于a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2=a3+4+a1+3，即6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解出即可得出（II）bn=lnan=（n1）ln2，再利用等差数列的前n项和公式即可得出数列bn的前n项和【解答】解：（I）设an是公比q大于1的等比数列，a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解得a1=1，q=2an=2n1（II）bn=lnan=（n1）ln2，数列bn的前n项和Tn=ln218某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量11.52频数102515频率0.2ab（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， 求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率； 已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【分析】（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b（2）利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率列出分布列，求得期望【解答】解：（1）=50a=0.5，b=0.3（2）依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则XB（5，0.5）P（X=2）=C520.52（10.5）3=0.3125X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）20.20.5=0.2p（X=6）0.52+20.20.3=0.37p（X=7）20.30.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：X45678P0.040.20.370.30.09EX=40.04+50.2+60.37+70.3+80.09=6.219如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，ABBC，DFAB于F（）求证：平面ABD平面DEF（）若ADDC，AC=4，BAC=60，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（I）由DE平面得出DEAB，又DFAB，故而AB平面DEF，从而得出平面ABD平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos|即为所求【解答】证明：（）DE平面ABC，AB平面ABC，ABDE，又ABDF，DE，DF平面DEF，DEDF=D，AB平面DEF，又AB平面ABD，平面ABD平面DEF（）DA=DC，DEAC，AC=4，ADCD，E为AC的中点，DE=2ABBC，AC=4，BAC=60，AB=以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），B（，1，0）=（0，2，2），=（，1，2），=（，1，0）设平面DAB的法向量为=（x，y，z）则，令z=1，得=（，1，1）=2，|=，|=2，cos=BE与平面DAB所成的角的正弦值为20已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2x轴，（）求椭圆的方程；（）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求ABO（O为坐标原点）面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值【解答】解：（I）由已知得，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2，得椭圆方程为，因为点M在第一象限且MF2x轴，可得M的坐标为，由，解得c=1，所以椭圆方程为；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得（3k2+2）x2+12kx+6=0，由0，即144k224（3k2+2）0，可得3k220，则有所以，因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0，2），所以OAB的面积，令3k22=t，由知t（0，+），可得，所以t=4时，面积最大为21已知aR，函数f（x）=xln（x）+（a1）x（）若f（x）在x=e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在区间e2，e1上的最大值g（a）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f（x）0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减区间，即可得到答案（II）先研究f（x）在区间e2，e1上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间e2，e1上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得【解答】解：（）f（x）=ln（x）+a，由题意知x=e时，f（x）=0，即：f（e）=1+a=0，a=1f（x）=xln（x）2x，f（x）=ln（x）1令f（x）=ln（x）1=0，可得x=e令f（x）=ln（x）10，可得xe令f（x）=ln（x）10，可得ex0f（x）在（，e）上是增函数，在（e，0）上是减函数，（）f（x）=ln（x）+a，xe2，e1，xe1，e2，ln（x）1，2，若a1，则f（x）=ln（x）+a0恒成立，此时f（x）在e2，e1上是增函数，fmax（x）=f（e1）=（2a）e1若a2，则f（x）=ln（x）+a0恒成立，此时f（x）在e2，e1上是减函数，fmax（x）=f（e2）=（a+1）e2若2a1，则令f（x）=ln（x）+a=0可得x=eaf（x）=ln（x）+a是减函数，当xea时f（x）0，当xea时f（x）0f（x）在（，e）e2，e1上左增右减，fmax（x）=f（ea）=ea，综上：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22已知四边形ABCD内接于O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切O于F（）求证：EB=2ED；（）若AB=2，CD=5，求EF的长【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定【分析】（）根据圆内接四边形的性质，可得EAD=C