(第5讲)求解函数解析式的几种常用方法

高中数学复习专题系列讲座 付淞整理高中数学复习专题讲座求解函数解析式的几种常用方法高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法：已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。2、待定系数法若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。3、凑配法若已知的表达式，欲求的表达式，用换元法有困难时，（如不存在反函数）可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。4、消元法若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。5、赋值法在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题例示范讲解 例1 如果，那么f(x)=_.例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式。例3 设y=f(x)是实数函数，且，求证：。例4 已知，其中奇数，试求。例5 已知，且求的表达式。解：令,由已知得：例6 (1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式 (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同时等于1或1，所以所求函数为 f(x)=2x21 或f(x)=2x2+1 或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1 或f(x)=x2+x+1 或f(x)=x2+x1 例7设f(x)为定义在R上的偶函数，当x1时，y=f(x)的图像是经过点(2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图像 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图像的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱 技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式 解 (1)当x1时，设f(x)=x+b射线过点(2，0) 0=2+b即b=2，f(x)=x+2 (2)当1x1时f(x)等于( )A f(x)=(x+3)21B f(x)=(x3)21C f(x)=(x3)2+1D f(x)=(x1)213 已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_ 4 已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_ 5 设二次函数f(x)满足f(x2)=f(x2),且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式 6 设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式 若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0x2)的图像上，求这个矩形面积的最大值 7 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图 8 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(1x1)是奇函数，又知y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为5 (1)证明 f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求y=f(x)在4，9上的解析式 参考答案 1 解析 f(x)= ff(x)=x,整理比较系数得m=3 答案 A2 解析 利用数形结合，x1时，f(x)=(x+1)21的对称轴为x=1,最小值为1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为1 答案 B3 解析 由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3 由上面两式联立消去f()可得f(x)=x 答案 f(x)= x4 解析 f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0 又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1 故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,f(x)=x2+x 答案 x2+x5 解 利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)= 6 解 (1)设x1,2,则4x2,3,f(x)是偶函数，f(x)=f(x),又因为4是f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4 (2)设x0，1，则2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知x0,2时，f(x)=2(x1)2+4,设A、B坐标分别为(1t,0）,(1+t,0)(0t1,则|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令S矩=S，=2t2(2t2)(2t2)()3=,当且仅当2t2=2t2,即t=时取等号 S2即S,Smax= 7 解 (1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由RtABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由RtADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4x,故f(x)的表达式为 f(x)=(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解 如原题图，当P在线段AB上时，ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1x2时，SABP=ABBP=(x1）；当P在CD上时，即2x3时，SABP=11=；当P在DA上时，即3x4时，SABP=(4x) 故g(x)=8 (1)证明 y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0 (2)解 当x1,4时，由题意，可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4) (3)解 y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x) (0x1)是