谐波分析三角函数系的正交性

一、谐波分析三角函数系的正交性,二、傅里叶级数,三、奇函数与偶函数的傅里叶级数,四、函数f(x)在0,上展开为正弦级数与余弦级数,第六节傅里叶(Fourier)级数,第十二章无穷级数,一、谐波分析三角函数系的正交性,由,组成的函数序列叫做三角函数系，,三角函数系的正交性是指:,如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，,在区间,上的定积分，,其值都为零.,这实际上只需证明以下五个等式成立:,以上结果，这里就不证明了.,二、傅里叶级数,如下形式的函数项级数,称为三角级数.,假定,且可逐项积分，,注意到三角函数系的正交性，,即有,于是有,所以,为了求出系数an，,我们用coskx乘级数，,然后在逐项积分,由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，,当k=n时，,有,其余各项均为零.,因此,用类似的方法，,可得到,注意到在求系数an的公式中，令n=0就得到a0的表达式，,因此求系数an,bn的公式可以归并为,由傅里叶系数组成的三角级数称为傅里叶级数.,an,bn称为傅里叶系数.,收敛定理(狄利克雷(Dirichlet)定理),设函数f(x)是周期为2的周期函数，,如果它满足条件:,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，,并且至多只有有限个极值点，,则f(x)的傅里叶级数收敛，,并且,级数收敛于,(2)当x是f(x)的间断点时，,级数收敛于f(x);,(1)当x是f(x)的连续点时，,其中f(x0)表示f(x)在x处的左极限，,f(x+0)表示f(x)在x处的右极限.,它在,)上的表达式为,试将函数f(x)展开成傅里叶级数.,设函数f(x)是周期为2的周期函,例2,数，,这是一个矩形波，,它显然满足收敛定理的条件，,由式(12.6.4),因为在计算,又,根据收敛定理可知，,当xk(k=0,1,2，)时，,傅里叶级数收敛于f(x)，,即,所求傅里叶级数和函数的图形如图所示.,图形在x=k(k=0,1,2，)各点处与例2不同.,当x=k(k=0,1,2，)时，,级数收敛于,例3设函数f(x)是周期为2的周期函数，,它在,)上的表达式为,试将其展开成傅里叶级数.,解计算傅里叶系数,所求的傅里叶级数在连续点处收敛于f(x)，,即,级数收敛于,当x=2k(k=0,1,2,)时，,当x=(2k+1)(k=0,1,2，)时，,级数收敛于0.,图中给出了它的和函数的图形.,展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，,称为正弦函数，,只含有余弦函数包括常数项的称为余弦级数.,假设以2为周期的周期函数f(x),在,内是奇函数，,那么傅里叶级数一定是正弦级数.,即,此时傅氏系数,三、奇函数与偶函数的傅里叶级数,于是在区间()内f(x)cosnx为奇函数，,而奇函数在对称区间上的积分为零，,所以,又因f(x)sinnx在区间()内是偶函数，,故有,同理可以推出，当函数f(x)是偶函数时，其展开式为余弦级数，,即,此时傅里叶系数为,试将其展开成傅里叶级数.,解函数f(x)的图形如图所示，,因此我们应根据(12.6.6)式计算傅里叶系数.,由图形的对称性可知f(x)是偶函数，,即,故所求的傅里叶级数收敛于f(x)，,又因为f(x)处处连续，,(x)称为f(x)的周期延拓函数.,且以2为周期的函数，,如果(x)满足收敛定理的条件，,我们设想有一个函数(x)，,设函数f(x)定义在0,上，,它是定义在()上,而在0,上，,(x)=f(x).,那么(x)在()上就可展开为傅里叶级数，,取其0,上一段，,即为f(x)在0,上的傅里叶级数，,四、函数f(x)在0,上展开为正弦级数与余弦级数,在理论上或实际工作中，,下面的周期延拓是最为常用:,将f(x)先延拓到(,0)，,使延拓后的函数成为奇函数，,然后再延拓为以2为周期的函数.,这种延拓称为周期奇延拓;,这种延拓称为周期偶延拓.,将f(x)先延拓到(,0)，,使延拓后的函数为偶函数，,然后再延拓为以2为周期的函数，,显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，,其傅里叶系数按公式(12.6.5)计算.,即,(因在0,上，(x)=f(x).,周期偶延拓的结果为余弦级数，,其傅里叶系数公式为,例5试将,解