高中数学正弦定量和余弦定理课件新人教A

正弦定理和余弦定理要点梳理1.正弦定理:,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:（1）abc=sinAsinBsinC;（2）a=,b=,c=;（3）等形式,以解决不同的三角形问题.,2RsinC,2RsinA,2RsinB,基础知识自主学习,2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA,cosB=,cosC=.3.r（r是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R、r.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5.解三角形的类型在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：,基础自测1.（2008陕西理，3）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120,则a等于（）A.B.2C.D.解析,D,2.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于()A.B.C.D.解析由已知得b2=ac,c=2a,B,3.在ABC中，A=60,a=4,b=4,则B等于（）A.45或135B.135C.45D.以上答案都不对解析由正弦定理得又ab,A=60,B=45.,C,4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A.B.C.D.解析,C,5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B=45，b=，a=1，则C=.解析ab,A=60或A=120.当A=60时，C=180-45-60=75,当A=120时，C=180-45-120=15.,(2)B=60,C=75,A=45.（3）a，b，c成等比数列，b2=ac，又a2-c2=ac-bc，b2+c2-a2=bc.在ABC中，由余弦定理得,（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.,知能迁移1在ABC中，若b=,c=1,B=45,求a及C的值.解由正弦定理得因为cb,所以CB,故C一定是锐角，所以C=30,所以A=105，,题型二余弦定理的应用在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.由利用余弦定理转化为边的关系求解.解（1）由余弦定理知,(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.,知能迁移2已知ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,题型三三角形形状的判定在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.解方法一已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B0;若A为直角，则b2+c2-a2=0；若A为钝角，则b2+c2-a20.（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论.,知能迁移3在ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析方法一因为在ABC中，A+B+C=，即C=-（A+B），所以sinC=sin(A+B).由2sinAcosB=sinC,得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.,又因为-A-B0,2cosB=1,B是三角形的内角，B=60.6分（2）在ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,8分将b=,a+c=4代入整理，得ac=3.10分,12分,在求角问题中，一般都是用正、余弦定理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2.将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.,知能迁移4（2008辽宁理，17）在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,（1）若ABC的面积等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.解(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于，所以absinC=,所以ab=4.,(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,方法与技巧1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题.2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=,中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数.,思想方法感悟提高,3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,可以进行化简或证明.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.,一、选择题1.ABC的三边分别为a，b，c且满足b2=ac，2b=a+c，则此三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析2b=a+c，4b2=（a+c）2，又b2=ac,(a-c)2=0.a=c.2b=a+c=2a.b=a，即a=b=c.,D,定时检测,2.ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且cos2B+3cos(A+C)+2=0，b=,则csinC等于（）A.31B.1C.1D.21解析cos2B+3cos(A+C)+2=2cos2B-3cosB+1=0,cosB=或cosB=1(舍).,D,3.ABC中，AB=,AC=1,B=30，则ABC的面积等于（）A.B.C.D.解析C=60或120.(1)当C=60时,A=90,BC=2,此时,（2）当C=120时，A=30，,D,4.（2008四川文，7）ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若A=2B，则cosB等于（）A.B.C.D.解析由正弦定理得,B,5.（2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为（）A.B.C.D.解析(a2+c2-b2)tanB=ac,D,6.在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且,则角C的值为（）A.45B.60C.90D.120解析由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,C,二、填空题7.（2009上海春招）在ABC中，若AB=3,ABC=75,ACB=60，则BC=.解析根据三角形内角和定理知BAC=180-75-60=45.根据正弦定理得,8.在ABC中,AB=2,AC=,BC=1+，AD为边BC上的高，则AD的长是.解析,9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积（b2+c2-a2），则A=.解析,三、解答题10.在ABC中，若试判断ABC的形状.解方法一利用正弦定理边化角.即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B.因为B、C均为ABC的内角，所以2C=2B或2C+2B=180,所以B=C或B+C=90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二由余弦定理，得即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2),所以a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=0,所以a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0,所以b2=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.所以ABC为等腰三角形或直角三