高升专文科数学-第九章：平面向量

第九章平面向量,考点：向量的几何表示，共线向量，向量的运算；用平面向量处理长度、角度和垂直问题等等分值：分,第九章平面向量,1.向量的基本概念2.向量的加、减法运算3.数量向量运算4.向量的数量积5.向量的直角坐标运算,一、向量的基本概念,1.有向线段规定了起点和终点的线段叫做有向线段.以为起点，以为终点的有向线段记作.有向线段包含三要素：起点、方向和长度线段的长度，记作|,一、向量的基本概念,2.向量定义：向量是既有大小又有方向的量.表示方法：向量可以用有向线段表示.同向且等长的有向线段表示同一向量或者相等的向量.向量常用表示一个确定的向量，另外还常用带箭头的小写黑体字母如,表示.,一、向量的基本概念,2.向量向量的模：有向线段表示向量，的长度叫向量的模（或长度），记作|或|.相等向量：模相等、方向相同的向量叫做相等向量.如果向量与的模相等，即|=|,且与的方向相同，则向量等于，记为=.,一、向量的基本概念,2.向量零向量：模为0的向量叫做零向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行.单位向量：模为1的向量叫做单位向量.,一、向量的基本概念,2.向量平行向量：任意一组方向相同或相反的非零向量可以移到同一直线上，称为平行向量，记作/.只有大小、方向两个要素.相反向量：与大小相等、方向相反的向量.称为的相反向量，记作-.,一、向量的基本概念,例1下列说法正确的是（）.数量可以比较大小，向量也可以比较大小.方向不同的向量不能比较大小，但同向可以C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小,D,二、向量的加、减法运算,1.向量的加法运算已知向量、,使向量的起点与的终点重合，得到以的始点为起点，的终点为终点的向量c，则c叫做向量和的和，记作c=+.,二、向量的加、减法运算,1.向量的加法运算（1）三角形法则已知向量、，作=,=,则=+.,二、向量的加、减法运算,1.向量的加法运算（2）平行四边形法则已知向量、，作=,=,以,D为邻边作平行四边形CD，则=+.,二、向量的加、减法运算,1.向量的加法运算三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量首尾连接时，用三角形法则，向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加.,二、向量的加、减法运算,2.向量的减法运算定义-=+(-)，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.一个向量（）等于它的终点（）的位置向量减去它的起点（）的位置向量.,二、向量的加、减法运算,3.运算法则（1）+=+（加法交换律）（2）(+)+c=+(+c)（加法结合律）（3）+0=0+=（4）+(-)=(-)+=0,二、向量的加、减法运算,例2化简(-)-(-),原式=-CD-C+=+DC+C+D=(+D)+(DC+C)=D+D=0,三、数乘向量运算,1.数乘向量运算实数与向量的乘积是一个向量，记为，满足|=|.若0，当0时，与同向；当0时，与反向；当=0或=0时，=0.,三、数乘向量运算,1.数乘向量运算实数乘向量满足下列运算法则（、为任意向量，、为任意实数）（1）=（2）+=+（3）+=+,四、向量的数量积,1.向量的夹角设、是两个非零向量，它们的夹角记作,且规定0,则当,=90时，称与垂直；当,=0时，称与同向；当,=180时，称与反向.,四、向量的数量积,2.向量的数量积|cos,为已知两个非零向量与的数量积，即=|cos,.数量积的几何意义：等于的长度|与向量在的方向上的投影|cos,的乘积.,四、向量的数量积,3.平面向量数量积的运算法则设、c是任意向量，是实数.（1）=（交换律）（2）()=()=()（对实数的结合律）（3）(+)=c+c（分配律）,四、向量的数量积,4.向量的数量积的性质（1）两个向量的数量积是实数，可以等于正数、负数或零.（2）为单位向量，则=|cos,.（3）=0,四、向量的数量积,4.向量的数量积的性质（4）=|2或|=（5）,五、向量的直角坐标运算,1.向量的直角坐标设,j为平面直角坐标系Oy中分别与轴，y轴同向的两个单位向量，如果向量=1+2,则（1,2）叫做向量在平面直角坐标系Oy中的坐标，记作=（1,2）.,五、向量的直角坐标运算,2.向量的直角坐标运算设=（1,2），=（1,2）,则（1）+=(1,2)+(1,2)=(1+1,2+2（2）=1,2(1,2)=(11,22,五、向量的直角坐标运算,2.向量的直角坐标运算（3）=（1,2）=（1,2）（4）=（1,2）（1,2）=（11）+（22）（5）设=（1,2），=（2,2），则=（11,22）,五、向量的直角坐标运算,3.基本公式（1）向量的长度及两点间的距离公式设=(1,2),则|=12+22,五、向量的直角坐标运算,3.基本公式（2）中点公式设=1,1,=2,2.线段的中点为M（,y）,则=1+22,=1+22,五、向量的直角坐标运算,3.基本公式（3）非零向量夹角公式设=(1,2),=(1,2),则cos=cos,=12+1212+1222+22,历年真题,（2014）1.已知平面向量=（1，1），=(1,-1),则两向量的夹角为（）.6.4C.3D.2,历年真题,（2013）2.若向量=（1，2）与=(3,)平行,则=(),历年真题,（2012）3.若向量=(1,)，=(2,4)，且=1