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文档简介
平面向量的数量积,一、知识梳理：,1、平面向量的数量积（1）a与b的夹角：,（2）向量夹角的范围：,（3）向量垂直：,00，1800,共同的起点,（4）两个非零向量的数量积：,规定：零向量与任一向量的数量积为0,ab=|a|b|cos,几何意义：,数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。,2、平面向量数量积的重要性质,（1）ea=ae=|a|cos（2）ab的充要条件是ab=0(3)当a与b同向时，ab=|a|b|;当a与b反向时，ab=-|a|b|特别地：aa=|a|2或|a|=（4）cos=（5）|ab|a|b|,ab为非零向量，e为单位向量,3、平面向量的数量积满足的运算率,（1）(交换律）ab=ba,（2）（实数与向量结合律）（a）b=（ab）=a（b）,（3）（分配律）（a+b）c=ac+bc,二、基础练习1、判断下列命题的真假,（1）平面向量的数量积可以比较大小（2）因为直线的夹角范围为00，900，所以向量的夹角范围也为00，900。（3）已知b为非零向量因为0a=0，ab=0,所以a=0(4)对于任意向量a、b、c，都有abc=a（bc）,2已知|a|=12，|b|=9，ab=-542，求a和b的夹角,3、已知ABC中，a=5，b=8，C=600，求BCCA,4、已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为/3，a在e方向上的投影为,三、典型例题,例1、已知（ab）（a+3b），求证：|a+b|=2|b|,解：（ab）（a+3b）（ab）（a+3b）=0即aa+3abba3bb=0即aa+2ab3bb=0(a+b)2=4b2即|a+b|2=4|b|2|a+b|=2|b|,例2、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。,解：（a+3b）（7a5b）（a4b）（7a2b）（a+3b）（7a5b）=0且（a4b）（7a2b）=0即7aa+16ab15bb=07aa-30ab+8bb=0两式相减得：2ab=b2，,代入其中任一式中得:a2=b2,cos=,例3、求证：直径所对圆周角为直角,证明：设AC是圆O的一条直径，ABC为圆周角，如图,设AO=a，OB=b，,则AB=a+b，OC=a，则BC=OC-OB=a-b|a|=|b|ABBC=（a+b）（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0ABBCABC=900即直径所对圆周角为直角,四、巩固练习,1、已知ABC中，AB=a，AC=b，当ab0,ab=0时，ABC各是什么样的图形？2、已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角=1500，求ab，(a+b)2，|a+b|3、设a是非零向量，且bc，求证：ab=ac的充
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