概率论与数理统计课件中国矿业大学第六章-2012

第六章,样本及抽样分布,二、抽样分布,一、随机样本,1,100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：,1、估计这批合金材料的强度均值是多少?,(参数的点估计问题）,2、强度均值在什么范围内？,(参数的区间估计问题）,3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这,批材料是否合格？,(参数的假设检验问题）,例如某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取,我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。,下面首先引入一些数理统计中的基础知识。,2,随机样本,第六章,第一节,一、总体,二、样本,3,一、总体,研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。,总体中每个研究对象(元素)称为个体(样品)。,一个统计问题总有它明确的研究对象。,例如：测试矿大全体男生的身高；,总体,有限总体,无限总体,4,总体可以用一个随机变量X及其分布来描述。,此总体就可以用随机变量X或其分布函数,例如，研究某批灯泡的寿命时，,这批灯泡中每个,灯泡的寿命是我们所关心的指标.,表示.,5,二、样本,样本：在总体中抽取的部分个体。,样本容量：样本中所含个体的数目n。,定义为了准确地进行判断，对抽样有所要求：,代表性：样本的每个分量,与总体X有相同的,分布函数；,独立性：,为相互独立的随机变量，,满足以上条件的样本,称为来自总体,X的容量为n的一个简单随机样本（简称样本）。,6,样本的一次具体实现,称为样本值。,联合分布函数为,联合概率密度为,联合分布律为,7,例1设总体，求样本的联合分布律。,总体,解:,其分布律为,于是的联合分布律为,8,例2设总体,求样本的联合密度函数。,解:,由已知,总体X的密度函数为,于是的联合分布律为,9,例3设总体X的密度函数为,解:,样本的联合密度函数为,求样本的联合密度函数.,10,抽样分布,第六章,第二节,一、统计量的定义及常用的统计量,二、几种常用的分布,三、正态总体统计量的分布,11,的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统,由样本值去推断总体情况，,需要对样本值进,行“加工”，,这就要构造一些合适的依赖于样本,计量。它是完全由样本决定的量.,息集中起来。,一、统计量的定义及常用的统计量,12,定义1设,是来自总体X的一个样本，,为一实值连续函数，,其不包含任何,未知参数，则称,为一个统计量。,为,的观测值。,注：,仍为随机变量。,是一个数。,例如总体,是一个样本，,则,均为统计量。,13,当,未知时，,均不是统计量。,当,已知时，其为统计量。,下面介绍几种常用的统计量,1、样本均值,2、样本方差,设,是来自总体X的一个样本，,它反映了总体X取值的平均值的信息，常用来估计EX,14,3、样本标准差,4、样本k阶原点矩,5、样本k阶中心矩,它反映了总体k阶矩的信息。,可见,它们的观察值分别为：,15,统计量是样本的函数，它是一个随机变量.,16,证1、由于,是独立同分布的随机变量，,且,例1设总体X的数学期望为,其样本为,17,18,下面介绍几种常用的统计量的分布,统计量的分布称为抽样分布。,19,记为,1.定义设,相互独立,都服从正态,分布N(0,1),则称随机变量：,所服从的分布为自由度为n的,分布.,分布,(一),二、几种常用的分布,20,分布的密度函数为,来定义。,通过积分,其中伽玛函数,21,分布的密度函数,单击可播放电影,22,由分布的定义，不难得到：,相互独立,都服从,则,(1)设,2.性质,正态分布,证明因为,所以,又X1,X2,Xn相互独立，,23,且X1,X2相,这个性质叫分布的可加性。,(2)设,互独立，则,也是相互独立的。,24,则可以求得，E(X)=n,D(X)=2n,(3)若,证明,，则,所以,应用中心极限定理可得，,的分布近似正态分布N(0,1)。,25,(4)c2分布的分位点,称满足条件,定义：对于给定的正数,的点为的上分位点。,231页查表,26,记为Tt(n)。,所服从的分布为自由度为n的t分布.,1.定义:,设XN(0,1),Y,则称变量,且X与Y,相互独立，,（二）t分布,T的密度函数为：,27,t分布的密度函数关于x=0对称,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。,28,（1）具有自由度为n的t分布的随机变量T的,（2）t分布的密度函数关于x=0对称,2.性质,E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n2,数学期望和方差为:,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布,密度函数的图形。（138页）,但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大。,29,（3）t分布的分位点,称满足条件,定义：对于给定的正数,的点为分布的上分位点。,性质：,例、,30,因为,由图可知,所以查表可得,故,31,1.定义:设,X与Y相互,独立，则称统计量,服从自由度为,（三）F分布,n1及n2的F分布，,记作FF(n1,n2)。,32,即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,(2)X的数学期望为:,若n22,(1)由定义可见，,F(n2,n1),2.性质,若n24,33,(3)F分布的分位点,对于给定的正数,称满足条件,分位点.,分布的上,的点,为,34,证明:设,由定义,35,又因为,故,36,统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！,37,例1设总体X,Y相互独立,其样本为,试求统计量,服从什么分布？,解由已知得,所以,38,例2设总体X服从正态分布,，其样本为,解由已知得,所以,故,39,例3已知总体X服从自由度为n的t分布，求证：,解由已知得,其中,故,所以,还能得,40,1、单个正态总体的统计量的分布,定理1,设X1,X2,Xn是取自正态总体,的样本，,分别为样本均值和样本方差，则有,相互独立,三、正态总体统计量的分布,41,定理2设总体X服从正态分布,是X的样本，,分别为样本均值和样本方差，则有,证明：因为,是样本,的线性组,合，故,，标准化后可得,42,又因为,相互独立，所以,也相互独立，则由t分布的定义得,43,2、两个正态总体的统计量的分布,定理3,设X1,X2,Xn1与Y1,Y2,Yn2分别是来自,正态总体,的样本，并且这两个样,本相互独立，记,则有,44,当,时,其中,45,例4设总体X服从正态分布,，其样本为,解由已知得,，得,46,例5设总体X服从正态分布,，其样本为,解由已知得,查表,47,例6设总体X服从正态分布,，其样本为,解因为,48,例7设总体X服从正态分布,，其样本为,解由已知得,所以,标准化得,