控制系统的时域分析.ppt

1,第四章控制系统的时域分析,2,系统时间响应的基本概念；一阶、二阶系统时间响应分析；高阶系统的时间响应及主导极点的概念；瞬态响应的性能指标；系统误差分析。,3,1时间响应以及典型输入信号,Back,1.1时间响应的组成,1.时间响应的一般形式,系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规律,称为系统的时间响应,它也是系统动力学微分方程的解.,4,2.有关概念,按振动形式，时域响应可分为：自由响应：由系统结构、参数所决定的输出强迫响应：由外加输入所决定的输出,按输入形式，时域响应可分为：零输入响应：无外加输入时系统初态引起的输出零状态响应：系统初态为零仅由外加输入引起的输出,5,系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成,瞬态响应:系统受到外加激励作用后，从初始状态到最后状态的响应过程。,稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。,6,1.阶跃信号,1.2典型输入信号,卸载加载,A=1时称为单位阶跃信号,7,2正弦信号,8,3脉冲信号,单位脉冲信号(t),9,4等速、等加速及随机信号,干扰、电压不稳、风载荷,随机信号,等速(单位斜坡A=1)信号,等加速(单位抛物线A=1)信号,Back,10,2.脉冲响应函数（权函数）,脉冲响应函数系统在单位脉冲激励（输入）时所产生的响应（输出），它描述了时域中系统输入输出的动态因果关系。,11,若系统的输入为单位阶跃函数，因为单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，即,则,根据传递函数的定义和拉氏变换积分定理可得,即得,上式表明，系统对输入信号积分的响应，等于对该输入信号响应的积分，同样系统对输入信号微分的响应，等于系统对输入信号响应的微分。该结论仅适用于线性定常系统，不适于非线性或线性时变系统,12,3.任意输入作用下系统的时间响应,13,例4.1系统的脉冲响应函数为，系统的输入如图所示，求系统的输出,14,4.2一阶系统的时间响应,1.一阶系统的数学模型,15,2一阶系统的瞬态响应,2.1一阶系统的形式,用一阶微分方程就可描述完全的系统称为一阶系统,16,(t0),2.2一阶系统的单位阶跃响应,1数学表达式,系统输入,稳态分量,暂态分量,17,(t0),随时间增长，稳态误差趋于0,2响应曲线,18,3有关性质,T暂态分量瞬态响应时间极点距虚轴距离；响应慢T暂态分量瞬态响应时间极点距虚轴距离响应快,(t0),1)阶跃响应的质量取决于特征参数T.,19,t=Txo(t)=63.2%实验法求T,t=3Txo(t)=95%允许误差5%调整时间ts=3Tt=4Txo(t)=98.2%允许误差2%调整时间ts=4T,3）调整时间（信号加入到输出稳定所需时间）ts,调整时间也称为过渡过程时间，理论上应为无穷大，工程上按响应值在一定范围内变化进行定义。,20,(t0),2.3一阶系统的单位斜坡响应,1数学表达式,系统输入,21,稳态误差=T,经过足够长的时间(4T)，输出增长速率近似与输入相同；输出相对于输入滞后时间T.,2斜坡响应性质,22,(t0),(只包含瞬态分量),2.4一阶系统的单位脉冲响应,23,(对于一阶系统),输入信号微分系统响应的微分输入信号积分系统响应的积分,线性定常系统的一个性质,24,4.3二阶系统的时间响应1.系统的数学模型,二阶系统是用二阶微分方程描述的系统，如图所示的弹簧质量阻尼系统，x(t)为输入作用力，y(t)输出位移。,微分方程为：,系统的传递函数为,25,为使研究结果具有普遍意义引入新的参变量：,式中：为无阻尼自然频率；为阻尼比,系统的特征方程为：,特征根为：,Bc为临界阻尼系数,26,引入新变量后，系统传递函数可改写为,其方块图和简化图如下：,为系统增益,为典型二阶系统的传递函数,27,2.二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的特征方程为:,特征根为：,根据阻尼比的不同取值，对特征根和阶跃响应分下面几种情况,（1）欠阻尼情况：,（2）零阻尼情况：,（3）临界阻尼情况：,（4）过阻尼情况：,28,（1）欠阻尼情况，特征根为一对共轭复根,式中：为阻尼自然频率，其极点分布如图,当输入为阶跃函数，即：,拉氏反变换得：,29,(t0),称n为衰减系数,无稳态误差；含有衰减的复指数振荡项,其振幅衰减的快慢由和n决定,振荡幅值随减小而加大;d和可由传递函数的极点来确定.,特点:,30,无稳态误差；含有衰减的复指数振荡项,其振幅衰减的快慢由和n决定,振荡幅值随减小而加大;d和可由传递函数的极点来确定.,特点:,31,（2）零阻尼情况，特征根为一对共轭虚根，此时：,系统对单位阶跃信号的响应为,系统以无阻尼自然频率作等幅振荡,32,（3）临界阻尼情况，特征根两相等负实根,此时,拉氏反变换得,此时，系统达到衰减振荡的极限而不再振荡,33,（4）过阻尼情况,其中,特征根两不相等的负实根：,34,二阶系统在不同阻尼比情况下对单位阶跃信号的时间响应曲线,35,5负阻尼(0)情况,-10,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。,-1,振荡发散,单调发散,36,6几点结论,1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：,0,阶跃响应发散，系统不稳定；,=0,等幅振荡,01,欠阻尼：01,(t0),欠阻尼：01,临界阻尼：=1,无阻尼：=0,Back,稳态误差ess=2/n,42,4.4高阶系统的时间响应,一般情况，我们把三阶及三阶以上的系统称为高阶系统，对于高阶系统不易得到时间响应的表达式，主要定性分析极点对系统性能的影响，,1.高阶系统的阶跃响应,设高阶系统的闭环传递函数可写成如下形式,式中：是系统闭环零点，是系统闭环极点，是增益。,43,二阶因子引起的阻尼振荡,一阶因子引起的非周期指数衰减,三阶系统的瞬态响应,44,其中：,45,1）当=，系统即为二阶系统响应曲线；,2）附加一个实数极点（0n呈二阶系统特性；实数极点P3距离虚轴远；共轭复数极点p1、p2距离虚轴近;特性主要取决于p1、p2。,4)1,即1/Tn呈一阶系统特性；实数极点P3距离虚轴近；共轭复数极点p1、p2距离虚轴远;特性主要取决于p3。,Back,47,式中：和是与系统参数有关的常数,设在系统所有闭环极点中，包含q个实数极点和r对共轭复数极点则系统对单位阶跃信号的响应为:,48,3）极点的性质决定瞬态分量的类型；实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。,1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。,2）如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则随着时间t，c()=a，系统是稳定的。,有以下几点结论,49,2.闭环主导极点,闭环主导极点是指在系统所有闭环极点中，距离虚轴最近且周围没有闭环零点的极点，而所有其它极点都远离虚轴，闭环主导极点对系统的响应起主导作用，而其它极点的影响在分析中可以忽略。若系统具有一对共轭复数主导极点,而其余闭环零、极点都相对的远离虚轴，由顶端式子可以看出，距离虚轴远的非主导极点，响应的动态分量衰减的较快，对系统的过渡过程影响不大，而主导极点对应的动态分量衰减最慢，对过渡过程起主导作用。因此对于高阶系统可以用一对共轭复数主导极点确定的二阶系统的时间响应来近似。,50,例4.2利用matlab分析下面三个系统单位阶跃响应。,51,可以看出与阶跃响应基本相同，这是由于在系统中复极点要比实极点更靠近虚轴，且实极点远离虚轴，因此的主导极点为复极点，其响应近似为二阶系统。而对于，其实极点更靠近虚轴，所以为主导极点，其响应近似为一阶系统,52,53,4.4瞬态响应的性能指标,一般对机械工程系统有三个方面的性能要求，即稳定性、快速性和准确性。准确性用误差来衡量，而系统的瞬态响应则反应了系统本身的动态性能，表征了相对稳定性和快速性,1.瞬态响应的性能指标,通常，在下面两个假设下定义系统的瞬态响应的性能指标,（1）系统在单位阶跃信号（工作状况较恶劣）作用下的瞬态响应；（2）初始条件为零，即在阶跃信号作用前，系统处于静止状态，输出量及各阶导数均为零。,54,瞬态响应的性能指标：,(1)延迟时间td：单位阶跃响应第一次达到其稳态值的50所需时间；(2)上升时间tr：单位阶跃响应第一次从稳态值的10上升到90（过阻尼情况），或从0上升到100（欠阻尼情况）所需时间;(3)峰值时间tp：单位阶跃响应超过其稳态值而达到第一个峰值所需时间；,55,(4)超调量Mp：单位阶跃响应第一次超过稳态值而达到的峰值时，对稳态值的偏差与稳态值之比，即：,在上述指标中，Mp，N表征了系统的相对稳定性；td，tr，tp，ts了系统的快速性。,调整时间ts：单位阶跃响应与稳态值之差进入允许的误差范围所需的时间。允许误差通常取5或2。振荡次数N.,56,2.二阶系统的瞬态响应的性能指标,（1）上升时间tr，当ttr时，即,因为，所以,令且根据tr的定义，得：,即上升时间：,针对典型二阶欠阻尼系统,57,（2）峰值时间tp,输出达到峰值时，阶跃响应的导数为零，即,解得：,因为是第一次超调时间，故：,58,（3）超调量Mp,由超调量的定义：,59,（4）调整时间ts：,调整时间ts的表达式难以确切求出，用近似的方法，对于欠阻尼系统：,瞬态响应为衰减振荡，曲线,是该瞬态响应的包络线。,60,如图所示：设允许误差范围为,由调整时间的定义得：,即,两边取自然对数，整理得：,可近似为,故,61,无阻尼自然频率和阻尼比对系统性能指标影响如下：,62,无阻尼自然频率和阻尼比对系统性能指标影响如下,63,当时，都比较小，故称为最佳阻尼比。,分析设计二阶系统时，通常先根据要求的超调量确定，然后通过调整使其达到快速性。,无阻尼自然频率和阻尼比对系统性能指标影响如下,64,例4.3设系统如图所示，其中当有一单位阶跃输入时，求最大超调量Mp，上升时间tr，峰值时间tp和调整时间ts,解：（1）,（2）,其中,得,65,（3）,（4）,误差范围取5时，,误差范围取2时，,66,例4.4如图所示系统，在质量块m上施加F3N的阶跃力后，时间响应x（t）如图所示。根据响应曲线，确定质量m，粘性阻尼系数B和弹簧刚度系数k。,67,解：（1）列写传递函数,（2）求k,由拉氏变化的终值定理：,由图可知：,所以,68,可得：,由传递函数可知：,所以可得：,（3）求m和B,两边取对数得：,69,例4.5有一位置随动系统，其方块图如下所示，当输入单位阶跃时，要求,（1）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一微分负反馈，求满足要求的负反馈时间系数。,70,解：（1）系统的闭环传递函数为：,可以看出此二阶系统的,故：,该系统不满足设计要求。,71,为了满足系统超调量要求（）计算得，而系统，所以有,故,由本题可以看出，加入了负反馈后相当于增大了阻尼比，改善了系统的相对稳定性，减小了超调量，而没有改变系统的无阻尼自然频率,（2）加上负反馈后,72,3.零点对二阶系统瞬态响应的影响,当典型二阶系统含有零点时，系统的瞬态响应不仅与极点分布有关，还与零点和极点的相对位置有关。,73,典型含零点的欠阻尼二阶系统的传递函数为：,该系统在典型二阶系统上增加了一个零点，上式可改写为,则其单位阶跃响应为：,其中为典型二阶系统的单位阶跃响应。,显然此时系统的响应不仅与而且与的变化率有关。,74,例4.6一位置伺服系统，为了提高系统阻尼分别在前向通道和反馈通道采用比例微分控制器，试分别求：各系统的阻尼比、无阻尼自然频率、单位脉冲响应的超调量、峰值时间和调整时间。,75,解：(1)由图（a）可得系统闭环传递函数,则：,76,(2)由图（b）可得系统闭环传递函数,则：,77,(3)由图（c）可得系统闭环传递函数,当输入为单位阶跃函数时,由前面所述：,78,则：,令得,所以,79,G2(s),G1(s),G3(s),80,例4.7已知二阶系统传递函数为,试分别用matlab求其阶跃响应，并分析零点的影响。,81,可以看出零点对系统响应的影响有：（1）超调量增大，上升时间和峰值时间减小；（2）附加零点越靠近虚轴对系统影响越大；（3）附加零点离虚轴很大时，其影响可以忽略。,82,4.6系统误差分析,系统在输入信号作用下，时间响应的瞬态分量反应了系统的动态性能，而稳态分量的值的反应了系统的准确性。,83,(1)误差的定义控制系统误差信号：,用输入信号和反馈信号的差来定义系统的误差，它直接或间接的反应了系统输出希望值和实际值之差，从而反映精度。,1.误差和稳态误差的概念,单位反馈系统的误差信号：,84,(2）稳态误差,控制系统误差信号：,误差和输入之间的传递函数：,误差的时间响应：,系统输出信号：,85,1.瞬态误差,e(t)反应了输入输出之间的误差随时间变化的函数关系，即为瞬态误差。,2.稳态误差,时间趋于无穷大时，误差的时间响应e(t)的输出值ess:,根据终值定理，稳态误差：,系统的误差分为瞬态误差和稳态误差：,86,2.系统稳态误差分析,(1)影响稳态误差的因素,系统的开环传递函数：,K为开环增益，sl表示系统在原点处有l重极点，也就是说系统开环传递函数有l个积分环节，按系统拥有积分环节的个数将系统进行分类：l=0，无积分环节，称为0型系统；l=1，有一个积分环节，称为I型系统；l=2，有两个积分环节，称为II型系统。,注意：系统的类型和系统的阶次是两个不同的概念,87,系统开环传递函数可以改写为：,式中：,可以看出稳态误差与系统的类型、开环增益以及输入信号有关，而与时间常数无关。,88,稳态误差系数,1定义,89,0型系统的稳态偏差,有差系统,V=0,90,I型系统的稳态偏差,一阶有差系统,V=1,91,II型系统的稳态偏差,二阶有差系统,V=2,92,稳态偏差系数和稳态偏差,系统在控制信号作用下,93,说明尽管将阶跃输入、斜坡输入及抛物线输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。,如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加(见例1、例2).,系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差、误差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。,9