第八章8.4 直线、平面垂直的判定及其性质

,一轮复习讲义,直线、平面垂直的判定及其性质,忆一忆知识要点,相交,垂直,任意,平行,平行,忆一忆知识要点,一条垂线,交线,忆一忆知识要点,两个半平面,垂直,直线与平面垂直的判定与性质,平面与平面垂直的判定与性质,线面、面面垂直的综合应用,线面、二面角的求法,06,几何证明过程要规范,答题规范,(1)定义：如果直线l与平面内的_直线都垂直，则直线l与此平面垂直(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_,任意一条,相交,平行,1直线与平面垂直,(1)定义：如果两个平面所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_的直线与另一个平面垂直,直二面角,垂直于交线,垂线,2平面与平面垂直,3线面角,射影,锐,(1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的平面角的范围：_.,两个半平面,垂直于棱,4二面角的有关概念,判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.,1直线与平面垂直,性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.,1直线与平面垂直,判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.,2平面与平面垂直,性质：如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.,2平面与平面垂直,立体几何,证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE,AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点,又D是AB的中点，,在ABC1中，DEBC1.,BC1平面CA1D.,又DE平面CA1D，,BC1平面CA1D，,E,E,(1)证法二：,(1)证法三：,A1,B1,C1,A,B,C,D,D1,又AA1ABA，,CD平面AA1B1B.,又CD平面CA1D，,平面CA1D平面AA1B1B.,又AA1平面ABC，,CD平面ABC，,AA1CD.,证明：(2)ACBC，,D为AB的中点，,在ABC中，ABCD.,例2.如图，在RtABC中，已知ACB=90,AC=BC=1,PA平面ABC,且PA=,求PB与平面PAC所成的角.,解：PA平面ABCBC平面ABC,BCPA,BCACPAAC=A,BC平面PAC.,BPC是PB与平面PAC所成的角.,在RtPAC中,AC=1,PA=,在RtPBC中,即PB与平面PAC所成的角是300.,例3.(09天津)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2.,(1)证明PA平面BDE；(2)证明AC平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值,(1)证明：设ACBDH，连结EH.,在ADC中，因为DACD，且DB平分ADC，,又E为PC的中点，,PA平面BDE，,故EHPA.,所以PA平面BDE.,所以H为AC的中点,又EH平面BDE,例3.(09天津)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2.,例3.(09天津)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2.,(1)若PA=PB=PC，则O是ABC的.,P,A,B,C,O,外心,例4.关于三角形的四心问题,设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影.,(2)若PA=PB=PC,C=900,则O是AB的_点.,中,P,A,B,C,O,例4.关于三角形的四心问题,垂心,E,F,P,A,B,C,O,(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是ABC的.,例4.关于三角形的四心问题,(4)若P到ABC三边的距离相等,且O在ABC的内部,则O是ABC的_.,D,E,F,内心,P,A,B,C,O,例4.关于三角形的四心问题,E,F,P,A,B,C,O,(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是ABC的_.,外心,例4.关于三角形的四心问题,【1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则A1D与平面ABCD所成的角是_；BD1与平面ABCD所成的角的正弦值是_；A1B与平面A1B1CD所成的角是_.,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,O,补偿练习,V,B,C,A,D,解:设棱长为2,取VC的中点,连接AD,BD.,【2】已知正三棱锥VABC所有的棱长均相等，则二面角AVCB的余弦值为_.,补偿练习,【3】已知ABCD为正方形，PA平面AC,问：图中所示的7个平面中，共有_对平面互相垂直.,1.平面PAB平面ABCD2.平面PAC平面ABCD3.平面PAD平面ABCD4.平面PAB平面PBC5.平面PAB平面PAD6.平面PAD平面PCD7.平面PAC平面PBD,7,补偿练习,【4】在正方体AC1中，M、N分别是AA1和AB的点，若B1MMN，则C1MN=_.,N,A,D,C,B,A1,D1,B1,C1,M,90,补偿练习,【5】如图,AB为平面的一条斜线,B为斜足,AO平面,垂足为O,直线BC在平面内,已知ABC=60,OBC=45,则斜线AB和平面所成的角是_.,A,C,O,D,B,45,补偿练习,设OB=2,【6】在棱长为1的正方体中,则点A1到平面AB1D1的距离是_.,A,C,D,B,A1,B1,D1,C1,方法一：坐标法,补偿练习,【6】在棱长为1的正方体中,则点A1到平面AB1D1的距离是_.,A,C,D,B,A1,B1,D1,C1,方法二：等体积法,补偿练习,【6】在棱长为1的正方体中,则点A1到平面AB1D1的距离是_.,A,C,D,B,A1,B1,D1,C1,x,y,z,方法三：综合法,补偿练习,(2010四川)如图，二面角l的大小是60，线段AB,Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦是.,C,O,学习改变命运思考成就未来,今日作业,又AD平面ABC，,ADBC,因为D为正三角形ABC的边BC的中点，,即二面角C1DAC的正切值为2,今