1.2直线的方程

1.2直线方程的点斜式,授课教师：吴昊然,复习回顾,1.倾斜角的定义及其取值范围;,直线的倾斜角的取值范围是:00,1800),3.确定一条直线需要具备几个独立条件,1、直线上的一个点;2、直线的方向（即斜率）。,在平面直角坐标系内，如果给定一条直线经过的一个点和斜率，是直线上不同于点P的任意一点，能否将直线上Q满足的关系表示出来呢？,问题引入,由于点P,Q都在直线l上，所以，可以用点P,Q的坐标表示直线l的斜率，即得方程：,这表明直线l上任一点的坐标都满足另外，满足方程的每一个所对应的点都在直线l上。,直线经过点，且斜率为，设点是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得：,即：,问题引入,（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程吗？,（2）坐标满足方程的点都在过点，斜率为的直线上吗？,经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是过点，斜率为的直线的方程,探究,方程由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（pointslopeform）,直线的点斜式方程,（1）垂直轴的直线的方程是什么？,，或,这时直线的倾斜角为，即这时直线与轴平行或重合，,的方程就是,思考,故垂直轴的直线的方程是:,（2）垂直轴的直线的方程是什么？,，或,直线的倾斜角为，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示这时，直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程就是,故垂直轴所的直线的方程是：,方程由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（pointslopeform）,直线的点斜式方程,例1直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线,代入点斜式方程得：.,画图时，只需再找出直线上的另一点，例如，取，得的坐标为，过的直线即为所求，如图所示,解：直线经过点，斜率，,典型例题,例2分别求出通过点（3,4）且满足下列条件的直线方程，并画出图形。(1)斜率（2）与轴平行（3）与轴垂直,解：（1）直线经过点（3,4），斜率代入点斜式方程得：可化为,（2）y=4,(3)x=3,解：由于直线过点（0，b）并且斜率为k，所以它的点斜式方程是可化为,例3求经过点（0，b）,斜率为k的直线的方程。,如果直线的斜率为，且与轴的交点为，代入直线的点斜式方程，得：,也就是：,x,y,O,l,b,我们把直线与轴交点的纵坐标b叫做直线在轴上的截距（intercept）,该方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slopeinterceptform）,直线的斜截式方程,观察方程，它的形式具有什么特点？,我们发现，左端的系数恒为1，右端的系数和常数项均有明显的几何意义：,思考,斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。,截距的值是实数，它是坐标值，不是距离,方程与我们学过的一次函数的表达式类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数中和的几何意义是什么？,你能说出一次函数及图象的特点吗？,思考,（1）直线的点斜式方程：,（2）直线的斜截式方程:,知识小结,一、选择题（每题4分，共16分）1.方程y=k(x+4)表示（）(A)过点(-4,0)的所有直线(B)过点(4,0)的一切直线(C)过点(-4,0)且不垂直于x轴的一切直线(D)过点(-4,0)且除去x轴的一切直线【解析】选C.据点斜式方程的使用范围,显然该方程不能表示过点(-4,0)且垂直于x轴的直线,即x=-4.,2.(2010临沂模拟)经过点(1,-2),倾斜角是直线y=x-3的倾斜角的2倍的直线方程是()(A)x=1(B)x=-2(C)y=2x-4(D)y=2x+4【解析】选A.易知直线y=x-3的倾斜角为45,从而过点(1,-2)的直线方程的倾斜角为90,此时方程为x=1.,3.已知直线l的方程为3x-5y=4,则l在y轴上的截距为()(A)3(B)-3(C)5(D)【解析】选D.方法一:将直线方程3x-5y=4变形为直线方程的斜截式,即l在y轴上的截距为.方法二:令x=0代入直线l方程,得y=,l在y轴上的截距为.,4.（2010开封高一检测）如图所示，在同一直角坐标系中，能正确的表示直线l1:y=ax与l2:y=x+a图象的大致情况的是(),【解析】选C.因为l2的斜率k2=1,其倾斜角为45，B、D选项不合题意.A项中，由图l2得其在y轴上的截距a0,而l1的斜率a0，矛盾，A也不合题意，故只有C满足题意.,二、填空题（每题4分，共8分）5.直线l经过点(-1,1),且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距,则直线l的斜截式方程为_.【解析】方法一:因为直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距,故可设l的方程为y=kx+6,又点(-1,1)在l上,所以k=5,即所求直线l的斜截式方程为y=5x+6.方法二:因为直线y=x+6在y轴上的交点坐标为(0,6),从而直线l的斜率所求直线l的斜截式方程为y=5x+6.答案：y=5x+6,6.已知m0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为_.【解题提示】把（1，-1）点代入直线方程，建立a与m的等量关系，然后求其斜率.【解析】点(1,-1)在直线ax+3my+2a=0上,a-3m+2a=0,即a=m0,故方程ax+3ay+2a=0可化为x+3y+2=0,即该直线的斜率为答案：,三、解答题（每题8分，共16分）7.(2010吉林高一检测)直线l经过点P（1，2）且倾斜角=45，求直线的点斜式方程，并画出直线l.【解析】直线l的倾斜角为45，k=tan=tan45=1.又直线l过点P（1,2），故l的点斜式方程为y-2=x-1,在方程y-2=x-1中，令x=0,则y=1，即直线l过点（0，1）及（1，2），其图象如图所示:,8.直线x-y+1=0上一点P(3,y),把已知直线绕点P逆时针方向旋转15后得直线l,求直线l的方程.【解题提示】借助直观图求出直线l的斜率，用点斜式得到l的方程.,【解析】直线x-y+1=0的倾斜角为45,如图所示,直线l的倾斜角=45+15=60,故其斜率k=tan60=.又点P(3,y)在x-y+1=0上,y=4,即点P(3,4),由点斜式方程得y-4=(x-3),化简得x-y+4-=0.,9.(10分)如图所示,已知ABC中,A(1,1),B(5,1),A=60,点C在直线AB上方.求：(1)线段AB的方程;(2)AC所在直线的方程及在y轴上的截距.,【解析】(1)由已知得直线AB与x轴