1996年全国高考数学试题

一九九六年全国高考数学试题理科试题一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集I=N，集合，。则 （ C ）（A） （B） （C） （D）（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) y o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x （3）若，则x的取值范围是 （ D ）（A）（B）（C）（D）（4）复数等于 （ B ）（A） （B） （C） （D）（5）如果直线、与平面、满足：和，那么必有 （ A ）（A）且 （B）且（C）且 （D）且（6）当时，函数的 （ D ）（A）最大值是1，最小值是-1（B）最大值是1，最小值是（C）最大值是2，最小值是-2（D）最大值是2，最小值是-1（7）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）（A）（-3，5），（-3，-3） （B）（3，3），（3，-5）（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）（8）若，则等于 （ A ）（A） （B） （C） （D）（9）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）（A） （B） （C） （D）（10）等比数列的首项，前n项和为，若，则等于 （ B ）（A） （B） （C）2 （D）-2（11）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）（A）（3，0），（1，） （B）（），（）（C）（2，），（2，） （D）（），（）（12）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）（A）130 （B）170 （C）210 （D）260（13）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）（A）2 （B） （C） （D）（14）母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角等于 （ D ）（A） （B） （C） （D）（15）设是上的奇函数，当时，则等于 （ B ）（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5二填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（16）已知圆与抛物线的准线相切。则p=_答：2（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_个（用数字作答）答：32(18)的值是_ D C A B F E 答：（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_答：三解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（20）（本小题满分11分）解不等式解：（）当时，原不等式等价于不等式组：因为所以（）当时，原不等式等价于不等式组：由（1）得，由（2）得，综上，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为（21）（本小题满分12分）已知ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，求的值。解：由题设条件知：B=600，A+C=1200利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式并整理得从而得（22）（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1 A C B E A1 C1 B1 （）求证：BE=EB1;（）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（）的完整证明，并解答（）。（）证明：在截面A1EC内，过E作EGA1C，G是垂足。 A F C B G E A1 C1 D B1 面A1EC侧面AC1，EG侧面AC1;取AC中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BFAC，面ABC侧面AC1，BF侧面AC1;得BFEG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。BE侧面AC1，BEFG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，BEAA1，FGAA1，AA1CFGC，AF=FC，FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。（）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1DEB1CC1，EB1=BB1=CC1，DB1=DC1=B1C1=A1B1，B1A1C1=B1C1A1=600，DA1B1=A1DB1=（1800-DB1A1）=300，DA1C1=DA1B1+B1A1C1=900，即DA1A1C1。CC1面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1A1C所以CA1C1是所求二面角的平面角。CC1=AA1=A1B1=A1C1，A1C1C=900，CA1C1=450，即所求二面角为450。（23）（本小题满分10分）某地现有耕地0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到公顷）？（=，=）解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意得不等式化简得答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。（24）（本小题满分12分）已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。（）求的斜率k1的取值范围;（）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。解：（）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组 （1）有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得 （2）若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。故，即。方程（2）的判别式为设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组 （3）有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得 （4）同理有，又因为，所以有于是，与双曲线各有两个交点，等价于（）设A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.将（5）、（6）代入上式得解得取时，取时，（25）（本小题满分12分）已知是实数，函数当时，（）证明：（）证明：当时，（）设当时，的最大值为2，求.（）证明：由条件当时，取x=0得，即（）证法一：当时，在-1，1上是增函数，由此得 当时，在-1，1上是减函数，由此得 当时，综上得 证法二：由可得当时，有根据含绝对值的不等式的性质，得即（）因为时，在-1，1上是增函数，当x=1时取最大值2，即因为当时，即根据二次函数的性质，直线x=0为的图象的对称轴，由此得由（1）得所以文科试题一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集I=1，2，3，4，5，6，7集合A=1，3，5，7，B=3，5.则 （ C ）（A） （B） （C） （D）（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) y o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x （3）若，则x的取值范围是 （ D ）（A）（B）（C）（D）（4）复数等于 （ B ）（A） （B） （C） （D）（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 （ C ）（A）720种 （B）360种 （C）240种 （D）120种（6）已知是第三象限角且，则 （ D ）（A） （B） （C） （D）（7）如果直线、与平面、满足：和，那么必有 （ A ）（A）且 （B）且（C）且 （D）且（8）当时，函数的 （ D ）（A）最大值是1，最小值是-1（B）最大值是1，最小值是（C）最大值是2，最小值是-2（D）最大值是2，最小值是-1（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（A） （B） （ A ）（C） （D）（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是 （ C ）（A） （B） （C） （D）（11）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）（A）（-3，5），（-3，-5） （B）（3，3），（3，-5）（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）（A） （B） （C） （D）（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）（A）130 （B）170 （C）210 （D）260（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）（A）2 （B） （C） （D）（15）设是上的奇函数，当时，则等于 （ B ）（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5二填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=_答：4（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_个（用数字作答）答：32(18)的值是_ D C A B F E 答：（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_答：三解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（20）（本小题满分11分）解不等式解：（）当时，原不等式等价于不等式组：（）当时，原不等式等价于不等式组：综上，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为（21）（本小题满分12分）设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解：q=1，则有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S62S9，与题设矛盾，故.又依题意S3+S6=2S9可得（22）（本小题满分12分）已知ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，求的值。解：由题设条件知：B=600，A+C=1200利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式并整理得从而得（23）（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标本的写法，在标本、的横线上填写适当步骤，完成（）证明的全过程;并解答（）.】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=，CF=2 A1 C1 B1 F E A C B （）求证：面AEF面ACF;（）求三棱锥A1-AEF的体积。（）证明：BE=，CF=2，BECF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD。DBEDCF，BE:CF=1:2，DC=2DB，DB=BC，DB=AB.ABD是等腰三角形，且ABD=1200，BAD=300，CAD=900，DAAC.FC面ACD，CA是FA在面ACD上的射影，且CAAD，FAAD.FFAC=A，DA面ACF，而DA 面ADF， A1 G C1 B1 F E A C B D 面ADF面ACF.面AEF面ACF.（）解：VA1-AEF=VE-AA1F.在面A1B1C1内作B1GA1C1，垂足为G. B1G=.面A1B1C1面A1C，EBB1，而BB1面A1C，三棱锥E-AA1F的高为.SA1AF=AA1AC=.VA1-AEF=VE-AA1F=（24）（本小题满分10分）某地现有耕地0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到公顷）？（=，=）解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意的不等式化简得答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。（25）（本小题满分12分）已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。（）求的斜率k1的取值范围;（）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值。解：（）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组 （1）有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得 （2）若，则方程组（1）只有一个解，即与双