电力系统潮流的计算机算法.ppt

电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,第4章电力系统潮流的计算机算法,电力系统分析教材配套课件,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.1电力网络的数学模型4.2高斯塞德尔法潮流计算4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算4.4P-Q分解法,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,第4章电力系统潮流的计算机算法电力系统的基本计算包括电力系统的潮流计算、电力系统的故障计算和电力系统的稳定计算。潮流计算是电力计算分析中的一种最基本的方法。对于复杂电力系统做潮流分析时采用手算已不适用，随着计算机技术的迅速发展和普及，计算机已成为分析计算复杂电力系统各种运行方式的主要工具。在本章主要介绍应用计算机计算复杂电力系统潮流分布的原理和方法。由于应用计算机计算潮流时大都用标幺值，因此，在本章中如无特殊说明，所有量均为标幺值。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.1电力网络的数学模型,反映电力系统中电流和电压之间相互关系的数学方程称为网络方程，或称为数学模型。网络方程常用节点电压方程或回路电流方程来描述。由于在实际电力系统中的等值电路中接地支路较多，而且采用节点电压方程的方程式数目比回路方程时的方程式的数目少，同时对一个结构复杂的网络建立节点电压方程比较容易，并且在网络结构发生变化时可以方便对方程式进行修改。因此，节点电压方程法对于大多数电力系统分析问题都较为合适，并且已经被广泛应用于电力系统分析中。因此本章本节主要应用节点电压法来求解电力网络的等效电路，从而建立电力网络的数学模型。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.1.1节点电压方程与节点导纳矩阵及阻抗矩阵,1节点电压方程将节点电压法应用于电力系统潮流计算，其变量为节点电压与节点注入电流。通常以大地作为电压幅值的参考，而以系统中某一指定母线的电压角度作为电压相角的参考，并以支路导纳作为电力网的参数进行计算。下面以图4-1a所示的简单电力系统为例说明建立节点电压方程的方法。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,图4-1简单电力系统,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,可得图4-1a各节点净注入功率为,（4-1）,对图4-1b中的等值电路进行化简，将在同一节点上的接地导纳并联得：,（4-2）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,从而可得4-1c所示简化等值电路。于是，可以列出网络的节点电压方程。以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫电流定律，可以写出3个独立节点的电流平衡方程,（4-3）,上述方程组整理可得,（4-4）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,式中Y11=y10+y12+y13；Y22=y20+y12+y13；Y33=y30+y13+y23；Y12=Y21=-y12;Y23=Y32=-y23。,由此可以推导出对于有n个独立节点的网路，其n个节点电压方程为,用矩阵形式表示为,(4-5),(4-6),或简记为：,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,2节点导纳矩阵元素的物理意义节点导纳矩阵是nn方阵，其对角元素Yii称为节点的自导纳，其值等于连接节点的所有支路导纳之和。非对角元素Yij称为节点i，之间的互导纳，它等于直接连接于节点、间的支路导纳的负值。若节点i、j间不存在直接支路，则Yij=0。（1）自导纳自导纳在数值上等于仅在节点i施加单位电压而其余节点电压均为零（其余节点全部接地）时，经节点注入网络的电流。显然，等于与节点i直接相连的所有支路的导纳之和。,上式中I是注入节点的电流列向量，电流方向定义为流向节点为正，流出节点为负；U是相对于参考节点的节点电压列向量；矩阵Y称为节点导纳矩阵。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（2）互导纳互导纳Yij在数值上等于仅在节点施加单位电压而其余节点电压均为零（即接地）时，经节点i注入网络的电流。其显然等于-yij即Yij=Yji=-yij。yij表示支路ij的导纳，负号表示该电流流出网络。如节点ij之间无支路，则该电流为零，即Yij=0。,如电流已知时，对式（4-5）求解，直接得到节点电压为,节点导纳矩阵的逆称为节点阻抗矩阵，以一个节点为参考节点得到的导纳矩阵是非奇异矩阵（非奇异矩阵有逆矩阵），否则，节点矩阵是奇异的（奇异矩阵没有逆矩阵）。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,例4-1求图4-2所示的电力系统的节点导纳矩阵。其中接地支路标注的是导纳标幺值（两侧相同），非接地支路标注的是阻抗标幺值。,解：选地为参考节点。以节点1为例说明自导纳的形成过程。可以看出在本网络图中和节点1直接相连的支路只有支路12，而和节点1直接相连的对地导纳只有一条j0.1，将支路阻抗j0.5转换为导纳为-j2，从而有Y11=-2j+j0.1=-j1.9,Y12=-y12=-(-2j)=j2。,图4-2电力系统网络图,同理，得到该系统的节点导纳矩阵,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,节点导纳矩阵具有以下性质：（1）Y是nn阶方阵；（2）Y是对称，Yij=Yji。如网络中含有有源元件，如移相变压器，则对称性不成立。（3）Y是复数矩阵；（4）每一非对角元素Yij是节点和间支路导纳的负值，当i和j间没有直接的连接支路，即Yij为零，根据一般电力系统的特点，每一节点平均与35个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一高度稀疏的矩阵；（5）对角线元素Yii为所有连接点i的支路（包括节点i的接地支路）的导纳之和。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,3节点导纳矩阵的修改方法,（1）原网络节点增加一接地支路设在节点i处对地增加一条支路，如图4-3a所示，由于没有增加新的节点数，节点导纳矩阵阶数应不变，且互导纳没有发生任何变化，只有自导纳Yii发生变化，变化量为节点新增的接地支路的导纳。改变后的i节点自导纳为：,图4-3电力网络变化图,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,图4.3一根长直圆导线的磁通链,（2）原网络节点，间增加一条新支路在原网络节点i、j间增加一条新支路，如图4-3b所示，由于只是在原有两节点之间新增支路，因此没有改变网络节点数，此时节点导纳矩阵的阶数不变。只是由于节和间增加了一个支路导纳yij而使节点i和j之间的互导纳、节点i和j的自导纳发生变化，其变化量为：,图4-3电力网络变化图,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（3）从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点设原网络有个节点，现从节点引出一条新支路，同时新增一个节点，如图4-3c所示。新增支路只与原网络节点相连，而与其他节点不直接相连，因而原节点导纳矩阵中的元素只有与有所改变。由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵也增加一阶，即第行和第列，而新增节点只与节点相连，因此新的节点导纳矩阵中第列和第行中非对角元素除外其余都为零，而对角元素新增为，具体修改形式如下所示：,图4-3电力网络变化图,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,其中，原节点导纳矩阵的对角元素应修正为新增导纳矩阵元，。,修改原网络中支路参数，可以理解为先将修改支路切除，然后再投入以修改后参数为导纳值的支路，因而，修改原网络中的支路参数可以通过给原网络支路并联两条支路来实现。如图4-3d所示。一条支路的参数为原来该支路导纳的负值，另一条支路参数为修改后支路的导纳。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（4）新增加一台变压器，可以先将变压器用含有非标准变压器的型等值电路代替，然后按以上三种基本方法处理。例如节点间增加一台变压器（图4-4a），节点导纳矩阵有关元素的变化量可以由型等值电路（图4-4b）求得：,图4-4增加变压器示意图,（4-14）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（5）网络存在非标准变比变压器在包括变压器的输电线路中，变压器线圈匝数比为标准变比时，变压器的高、低压两侧的电压都和电流值用线圈匝数比来换算是不成问题的。但是变压器的线圈匝数比不等于标准变比时必须加以注意。因此当有非标准变比变压器时，可按如下次序形成节点导纳矩阵。1）先不考虑非标准变比（认为变比），然后正常求得节点导纳矩阵。2）把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上（k2-1）Y，其中是从变压器相连接的另一端点来看变压器的漏抗与两节点输电线的阻抗之和的倒数。3）由接入非标准变比变压器的端点来看自导纳不变。4）变压器两节点间的互导纳加上（k-1）Y。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4节点阻抗矩阵,节点电压方程YU=I改写为U=Y-1I=ZI的形式。其中Y-1为节点导纳矩阵的逆矩阵，称为节点阻抗矩阵，也是一个n阶的复数方阵。,将此方程展开为,用矩阵表示为U=ZI,（4-16）,（4-17）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,这里Z即节点阻抗矩阵。它是节点导纳矩阵的逆矩阵。对于n个节点的网络是一个nn阶的方阵，同样它具有对称性，即Zij=Zji。,阻抗矩阵是一个满矩阵，这是一个重要的特点。由于网络结构复杂，直接应用公式（4-17）计算是很困难的。,综上所述，阻抗矩阵具有以下特点：（1）阻抗矩阵是n阶方阵，且Zij=Zji，既为对称矩阵。（2）在一般情况下，阻抗矩阵无零元素，是满矩阵。矩阵的元素与节点数的平方成正比，将需要更多的计算机内存容量。（3）由于阻抗矩阵中的自阻抗Zii一般大于互阻抗Zij，即矩阵的对角元素大于非对角元素。因此阻抗矩阵具有对角线占优势的性质，应用于迭代计算时收敛性能较好。（4）阻抗矩阵不能从系统网络接线图上直观的求出，需要采用其他办法，如直接对导纳矩阵求逆。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.1.2功率方程和变量及节点分类,1、功率方程每节点的注入功率方程式为：其中：对于n个节点的电力网络，可以列出2n个功率方程。每个节点具有四个变量，n个节点有4n个变量，但只有2n个关系方程式。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,2、变量的分类,1、负荷消耗的有功、无功功率（PL、QL）取决于用户，因而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。一般以列向量表示，即,2、电源发出的有功、无功功率（PG、QG）是可以控制的变量，故称为控制变量，以列向量u表示，即,3、母线或节点电压和相位角（U、），是受控制变量控制的因变量。其中QG主要受U的控制，PG主要受的控制。故U、称为系统的状态变量，以列向量X表示，即,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,3.电力系统节点分类为将个变量定为已知量，根据电力系统的实际运行情况，按给定变量不同，将电力网络中的节点分为以下三种类型。（1）PV节点（调整节点）这些节点是发电机节点，也被称为电压控制节点。节点的注入有功功率和电压幅值已知。节点的无功功率和电压的相位未知。无功功率限制通常已确定。这类节点必须有足够的可以调节的无功容量，用以维持给定的电压幅值。因而又称为电压控制节点。一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为节点。在电力系统中，这一类节点数目很少。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（2）PQ节点（负荷节点）这种节点的注入有功和无功功率是已知的，节点电压幅值和相角未知。相应于实际电力系统中的一个负荷节点，或有功和无功功率给定的发电机母线。（3）V节点（平衡节点）这种节点又称为摇摆节点，用来作为系统的参考节点，该节点的节点电压的幅值及相角已知，这个节点平衡了负荷功率与发动机功率在网络损耗情况下的差异。这种节点用来平衡全电网的功率。由于电网的损耗在潮流计算前是未知的，因而无法确定电网中各台发电机所发功率的总和，所以必须选一台容量足够大的发电机担任平衡全电网功率的职责，该发电机节点称作平衡节点。平衡节点的电压大小与相位是给定的通常以它的相角为参考量，即取其电压相角为零。一个独立的电力网中只设一个平衡节点。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,节点的分类1.PQ节点：已知节点注入功率P、Q负荷。过渡节点，PQ是给定的。发电机节点，为大部分节点。2.PV节点：已知节点P、V给定PV的发电机节点，具有可调电源的变电所，为少量节点。3V节点平衡节点基准节点：也称为松弛节点，摇摆节点,PQ节点,平衡节点,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,如果是变量的初始估计值，于是迭格式变为,4.2高斯-塞德尔法潮流计算,4.2.1高斯-塞德尔法迭代格式1.一般格式非线性方程组又可以改写为,当连续迭代结果的差得绝对值小于某一特定值时，就得到方程的解。,式中是要求的精度。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,2功率方程迭代格式节点i的有功功率和无功功率为则将其代入节点电压方程YU=I,展开,对于每个节点有两个未知变量，设平衡节点编号为s，则，1sn，用高斯-塞德尔法求解，将式（4-28）改写为,（4-28）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,除平衡节点以外，其他节点电压都有变化，因此对于具有n个节点的网络，用高斯-塞德尔基本格式可以对个节点进行反复计算，直至所有节点电压前一次迭代值与后一次迭代值相量差的模小于给定的允许误差值后，迭代结束，即,；,迭代求出各节点电压，然后再计算各节点的功率以及各支路上的功率。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.2.2对网络PV节点的考虑,如系统内存在PV节点。假设节点P为PV节点，设定的节点电压为。假定高斯法已完成第k次迭代，接着要做第k+1次迭代，此时应先按下式求出节点的注入功率（符号Im为取复数的虚部）；即,然后将其代入下式，求出节点的电压：,（4-31）,（4-32）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,在迭代过程中，按式（4-32）求得的节点p的电压大小不一定等于设定的节点电压Upo所以在下一次的迭代中，应设定的Upo对进行修正，但其相角仍应保持式（4-32）所求得的值，使成为。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.2.3功率及功率损耗的计算,在迭代求出节点电压后，就可以计算线路潮流和损耗。如图4-5所示，线路连接节点i和j，在节点测量支路电流，规定由节点j流向节点i流向节点时为正。在节点测量支路电流，规定由节点流向节点为正。列出节点电压方程如下：,图4-5计算线路潮流的线路模型,（4-33）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,复功率表示从节点i流向节点j，表示从节点j流向节点i。则,节点i和节点j之间线路损耗为,（4-34）,例4-2简单电力系统如图4-6所示，节点1连接发电机，电压幅值调整为1.05，节点2和节点3的负荷如图示，线路阻抗用标幺值表示在图中，基准功率为100（MVA），不计线路电纳。试求：（1）用高斯-塞德尔迭代法求解节点1和2（PQ节点）的电压幅值，结果精确到4位小数；（2）求解平衡节点1的有功功率、无功功率；（3）求解线路潮流和损耗，画出功率流向图，并注明功率方向。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,图4-6例题4-2的电力系统接线图,解：将线路阻抗转换成导纳为y12=10-j20,y13=10-j30,y23=16-j32。并标于图4-7。计算PQ节点1、2的复功率标幺值为,图4-7,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,利用式（4-29）迭代如下：,第二次迭代，可以得到,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,经过七次迭代，结果收敛，精度为510-5，最终结果为,（2）各节点电压已知，由式（4-28）可得平衡节点的功率,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,平衡节点的有功功率和无功功率为P1=4.095100=409.5MW,Q1=1.89100=189Mvar,（3）忽略线路电容，计算线路的电流为,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,潮流计算如下,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,功率分布如图4-8所示。图中用表示有功功率，用表示无功功率，括号内数字表示线路功率损耗数值。,线路损耗为,图4-8例4-2的潮流分布图,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,高斯-塞德尔迭代法在高斯法的每一次迭代过程中是用上一次迭代的全部分量来计算本次的所有分量，显然在计算第i个分量时，已经计算出来的最新分量并没有被利用，从直观上看，最新计算出来的分量可能比旧的分量要好些。因此，对这些最新计算出来的第k+1次近似分量加以利用，就是高斯-塞德尔迭代法。高斯-塞德尔迭代法计算潮流功率方程的特点：描述电力系统功率与电压关系的方程式是一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直接求解。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算,4.3.1牛顿-拉夫逊法简介牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson），简称牛顿法，是求解非线性代数方程的一种有效且收敛速度快的迭代计算方法。在牛顿-拉夫逊的每一次迭代过程中，非线性问题通过线性化逐步近似。下面先对一维非线性方程式求解，阐明它的原理及计算过程，然后再推广到髙维的情况。设有一维非线性方程,设方程解的初始估计值为x(0)，x（0）是偏离真实解得一个微小变化量，则公式（4-37）可写成：,设f（x）有任意阶导数，将上式在x（0）的邻域用泰勒级数展开,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,如果x（0）接近真实解，则x（0）相对来讲非常小，其高次幂的结果更小，因此可以略去x（0）的高次项，得到,上式称为牛顿迭代法的修正方程式，可以由其得到修正量为,将初值x（0）代入上式求得修正量x（0）即可得到逼近真值得近似解,（4-41）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,图4-9中示出上述关系，可见x（1）比x（0）更逼近于真实解。,图4-9N-R迭代图,将x（1）作为新的初值代入公式（4-40），再求出新的修正量x（1）于是x（2）=x（1）+x（1）。如此反复迭代下去，直到x（k）0，f(x（k）)0从而x(k)即为所求解。牛顿迭代法的收敛判据为或。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,设x（k）为第k次的估计值，则x（k+1）为k+1次估计值，则有x（k+1）=x（k）+x（k）。,（4-42）,式（4-42）可以写成：,式中,在n维情况下，n维非线性方程组F(X)=0，其修正方程为；,牛顿迭代公式为：,（4-45）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（4-46）,（4-47）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,J（K）称为雅克比矩阵，矩阵元素是在估计值处的偏导数。牛顿迭代法收敛条件是,（4-48）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,当节点电压以极坐标形式表示时，亦即电压用表示，潮流方程式可以分成实部和虚部两个方程：,4.3.2牛顿-拉夫逊法潮流计算,此处，、为节点导纳矩阵元素Yij的实部和虚部，Pi、Qi为失配功率。,对于PQ节点，式（4-51）响应与非线性方程组中的各方程式相同，其中Pi和Qi分别表示节点i的设定有功和无功功率。,（4-50）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,在第k次迭代时，令,（4-51）,参照公式（4-46），可写出用牛顿-拉夫逊法进行潮流计算时的修正方程（为书写方便，以下公式均略去上标k）：,对于PQ节点,每个PQ节点有两个变量和待求，同时可列出两个方程。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,在电力系统潮流计算中，需要将全部节点分为PQ、PV节点和平衡节点。设系统有n个节点，其中系统中有m个PQ节点，而除了PQ节点和一个平衡节点外其余的都是PV节点。显然，PV点数目为n-m-1。在潮流计算中实际上需要求解的非线性方程组中包含n-1个有功功率方程和m个无功功率方程，总共有n+m-1个。未知量有（n-1）个电压相角（i=1,2,3,m）和m个电压幅值Ui（i=1,2,3,m），总数为m+n-1。方程数和未知数相等，方程有解。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,对每一个PQ节点有两个迭代方程，并需要设定电压初值和，i=1,2,3,m。对于PV节点，因其P和U指定，Q和待求，故仅有一个Pi迭代方程，并需要设定无功功率初值和电压相位初值，i=m+1,m+2,n-1。每次迭代后，对PV节点，令，计算无功功率检验其是否满足约束条件；则越过下限代以下限，越过上限代以上限。这时，PV节点为PQ节点。再转入下次迭代。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,全部节点的修正方程如下：,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,收敛判据为,式（4-56）中，雅克比矩阵中分块矩阵H的阶数为（n-1）（n-1）;N的阶数为（n-1）m；M的阶数为m（n-1）；L的阶数为（mm）。各分块矩阵元素计算公式为：,（4-56）,（4-57）,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（1）雅克比矩阵各分块矩阵的非对角元素（ij）分别为：,(4-60),电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,(4-59),上式中有如下关系：,（2）各分块矩阵的对角元素（j=i）分别为,(4-60),电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,求取雅克比矩阵是牛顿-拉夫逊法的一项重要工作。电力系统潮流计算的雅克比矩阵具有以下性质：,（1）雅克比矩阵为一奇异矩阵。矩阵阶数为n+m-1。（2）矩阵元素随节点电压有效值和相位角变化，故每次迭代时都要重新形成矩阵，每次要解修正方程，因而运算量大，但收敛速度快，一般迭代57次便可以得到满意精度，而且迭代次数不随节点数增大明显增加。（3）与导纳矩阵有相似的结构，当Yij=0时，Hij，Nij，Mij，Lij均为零，因此，也是高度稀疏的矩阵，这是利用稀疏矩阵技巧，减少计算所需的内存和时间是很有好处的。（4）具有结构对称性，但数值不对称。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,应用计算机来进行潮流计算其求解修正方程收敛速度快、计算精度高，可以得到满意的计算结果。利用牛顿-拉夫逊法求解潮流的计算流程如图4-10所示。,图4-10,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,例4-2利用牛顿-拉夫逊法求解图4-11给出的系统潮流（只进行一次迭代即可）。设节点5为发电机G1，其端电压为1p.u，发出的有功、无功可调；节点4为发电机G2，其端电压为1p.u，按指定的有功发电P=0.5p.u，取（支路标注的为阻抗标幺值，接地支路标注的为导纳标幺值）。,图4-11电力系统潮流计算等值电路图,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,解：第一步，确定节点类型：由已知条件发电机G1发出的有功、无功可调，可知其满足平衡节点的要求，因此节点5为平衡节点；发电机G2所在的节点4为PV节点；其余节点1、2、3均为PQ节点。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,第二步，形成节点导纳矩阵：由给出的系统图中的数据可以列出节点导纳矩阵如下解：第一步，确定节点类型：由已知条件发电机G1发出的有功、无功可调可知其满足平衡节点的要求，因此节点5为平衡节点；G2所在的节点4为PV节点；其余节点1、2、3则为PQ节点。,因YB为对称阵，只示出了上三角部分，下同。,第三步，设定初值：=，,。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,第四步，计算失配功率,显然，,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,第五步，形成雅可比矩阵（阶数为77）,第六步，解修正方程，得到,，,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,从而,然后转入下一次迭代。经三次迭代后，。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.3.3牛顿-拉夫逊法潮流计算的相关问题,1稀疏矩阵表示法电力网络的节点导纳矩阵是一个高度稀疏的矩阵，也就是矩阵中很多非对角元素是零。如果不考虑导纳矩阵的稀疏性，导纳矩阵要用二维数组存放，那么矩阵中的大量零元素不仅要占用大量的计算机内存，而且还要由于这些零元素进行大量的不必要的运算，从而降低了计算效率。而在用牛顿-拉夫逊计算潮流计算时，雅可比矩阵具有与节点导纳矩阵相似的结构，如果不考虑雅可比矩阵的稀疏性，在每次迭代的雅可比矩阵的形成与分解计算中也必将发生对零元素的不必要的存取和计算。因此，不考虑稀疏性的牛顿-拉夫逊法不仅需要庞大的存贮空间，而且计算效率很低，速度很慢。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,将稀疏矩阵技巧应用于导纳矩阵或雅可比矩阵时可将这些矩阵的对角元素存放在一个数组A中，而将矩阵的上三角矩阵的非对角元素的非零元素按行按列紧凑的压缩在一个一维数组B中由导纳或雅可比矩阵的性质可知，A数组元素的个数等于系统结点个数，B组数组原数的个数与系统不接地支路数相应（为支路数与消去过程中出现的非零注入元素之和）。因此，矩阵的稀疏存放极大地减少了所需存贮单元，所以，在以一个稀疏方式存贮一个n阶的稀疏方阵时大约需要6b+3n个存贮单元，其中b是系统非接地支路数，n为系统节点数。在典型的电力系统中，b11.5n，所以总的存贮单元大约需要12n，与利用二维数组存放所需单元相比，对500个节点的系统，大约减少了40倍。同时。相应于零元素的额外计算工作也大大减少。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,2节点的优化编号在电力系统的节点导纳矩阵或牛顿-拉夫逊法计算潮流的雅可比矩阵中的非对角元素，相应与矩阵的行、列号相应节点之间直接相连的支路。如果电网节点编号改变，对应的节点导纳矩阵或雅可比矩阵的行，列号也将改变，所以出现非零注入元素的可能性和数目也将发生变化，或者说注入元与节点编号的排序有关。显然，用不同的节点编号方案，所得到的注入元数目是不同的。为了在计算过程中减少内存容量和提高计算速度，要求找到一种或数种使节点注入元最少的节点编号方案，或最优的节点编号方案。事实上由于电力网节点数目很大，要找到注入元最少的最优的节点编号方案非常困难，实用上常常一准优化的节点编号方案来代替。准优化节点排序常用的方法有两种：（1）静态按最少出线支路数排序（2）动态按最少出线支路排序,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（1）静态按最少出线支路数排序这种排序的原则是：1）按节点所连支路数（不包括接地支路，两个节点间有多条并联支路时，只算作一条）的多少排序，连接之路数少的节点排在前面；2）非零元素尽量安排在导纳矩阵的准对角线上或靠近对角线应用这种静态优化法时，在导纳矩阵形成前，通过各节点连接支路多少的分析，可一次定出节点编号，因而计算工作量小。（2）动态按最少出线支路排序在高斯消去法按列消元的过程中，每消去一列所增加的注入元个数，相当于网络中消去与该列同号的节点，给剩余节点增加的相互连线数。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,3牛顿-拉夫逊法的收敛特性,牛顿-拉夫逊法具有平方收敛特性。它在开始时收敛得比较慢，而在几次迭代以后，收敛得特别快。由于他的这种收敛特性，在使用稀疏矩阵技巧和优化节点编号以后，在使用平直电压启动（设置全网电压初值幅值均为1.0pu，相角为0）时，牛顿-拉夫逊法的迭代次数实际上与系统规模无关。一个设计良好的牛顿拉夫逊潮流计算程序的每一次迭代时间仅与系统节点数成正比。因此，牛顿-拉夫逊法在计算速度上的优势是很明显的。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,牛顿-拉夫逊的收敛性与下述因素有关：（1）初始估计值的选取牛顿-拉夫逊法对初值选取很敏感，当初值取值合适时，通过逼近真值，则收敛；当初值取的不合适时，由离开真值越来越远，则发散。如果有更好的初值设定，可以减少迭代次数，加快计算进程，提高求解的稳定性。如第一步设定电压相角初值，第二步设定节点电压幅值的初值。第一步采用两点假设。1）节点电压相角差很小，有，；2）取所有节点电压幅值均为1.0p.u。第二步中只需要计算PQ节点电压幅值的初值，因为PV节点和节点的电压幅值已给定。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,（2）函数的平滑性,牛顿-拉夫逊法对所处理函数的平滑性是敏感的，所处理的函数越接近线性，牛顿-拉夫逊收敛越好。为了改善功率方程的非线性，实用中可以通过限制修正变量、U的幅度来取得。对X的幅度加以限制以后，使本来可能不收敛的情况改变了。但是，幅度也不能取得太小，否则将会使本来处于良好状态的收敛放慢。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,4.4P-Q分解法,4.4.1P-Q分解法的修正方程式P-Q分解法也称为P-Q解耦迭代方法。它将有功功率和无功功率的迭代分开进行。将公式（4-58）极坐标形式表示的牛顿-拉夫逊法的修正方程展开为：(4-63)(4-64）然后对其进行如下简化：（1）考虑到电力系统中有功功率分布主要受节点电压相角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，表现在迭代方程中矩阵N的元素相对于矩阵H的元素小得多，矩阵M的元素相对于L的元素也小得多，从而可以略去N和M。,电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社,则公式（4-61）和（4-62）可改写为：,这样就可使有功功率修正方程与无功功率修正方程分开进行迭代。以不变的矩阵和分别代替式（4-63）、（4-64）中的H和L。从式（4-58）和（4-60）可见，矩阵H和L中的元素在迭代过程中是变化的，每次均需要重新计算。然后求解